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2015届湖南省长郡中学高三上学期第四次月考数学(理)试题及答案


长郡中学 2015 届高三上学期第四次月考数学(理)试题
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.若复数

2 ? ai (a ? R)是纯虚数(i 是虚数单位) ,则 a 的值为 1? i
D.2 D.22

A.-2 B.-1 C.1 2.若 Sn,是等差数列{an}的前 n 项和,有 S8-S3=10,则 S11 的值为 A.12 B.18 C.44 3.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A. 2? ? 2 3

B. 4? ? 2 3

C. 2? ?

2 3 3

D. 4? ?

2 3 3

4.设 f(x)= ? A.-1

1gx, x.0 ? ? ,若 f(f(1) )=l,则 a 的值是 a 2 x ? 3 t dt , x ? 0 ? ? ?0
B.2 C .1 D.-2

5.已知 ? , ? 表示两个不同的平面,m 为平面 ? 内的一条直线,则“ ? ⊥ ? ”是 “m⊥ ? ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4 4 6.△ABC 中,锐角 A 满足 sin A-cos A≤sin A-cos A,则

? 6 ? ? C. ≤A≤ 6 4
A.0 ? A≤

? 4 ? ? D. ≤A≤ 4 3
B.0 ? A≤

7.斜率为

x2 y2 2 的直线与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于不同的两点,且这两个交点在 x 轴上的射 2 a b

影恰好是椭圆的两个焦点,该椭圆的离心率为 A.

2 2

B.

1 2

C.

3 3

D.

1 3

8.已知等边△ABC 中,点 P 在线段 AB 上,且 AP ? ? AP ,若 Cp · AB ? PA · PB ,则实数 ? 的 值为 A.2 B.

2 2

C.1-

2 2

D.

3 3

9.已知方程 kx+3-2k = 4 ? x 2 有两个不同的解,则实数 k 的取值范围是 A. ?

? 5 3? , ? ? 12 4 ?

B. ?

?5 ? ,1? ? 12 ?

C. ?

? 5 3? , ? ? 12 4 ?

D. ? 0, ? 4

? ?

3? ?

10.考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选 两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 A.

2 75
5

B.

4 75

C.

2 15

D.

1 25

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

3 ? ? 11. ? x ? 2 ? 的展开式中的常数项为 x ? ?
2



12.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a5·a7=4a 4 ,a2=l,则 a1=



13.由 l,2,3,4,5,6,7 这七个数字构成的七位正整数中,有且仅有两个偶数相邻的个数是 。 14.存在 x ? 0 使得不等式 x2 ? 2 ? x ? t 成立,则实数 t 的取值范围是 。

15.已知圆 O:x2+y2=l 与 x 轴交于点 A 和 B,在线段 AB 上取一点 D(x,0),作 DC⊥AB 与圆 O 的 一个交点为 C,若线段 AD、BD、CD 可作为一个锐角三角形的三边长,则 X 的取值范围为 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)=

4 cos4 x ? 2 cos 2 x ? 1 。 ?? ? ?? ? sin ? ? x ? sin ? ? x ? ?4 ? ?4 ?

(1)求 f ? ?

? 11? ? ? 的值; ? 12 ?
1 ? ?? 时,求 g(x)= f(x)+sin 2x 的最大值. ? 2 ? 4?

(2)当 x ? ?0,

17. (本小题满分 12 分) 如图,在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,BC=l,E 是 PD 的中点. (1)求 AB 与平面 AEC 所成角的正弦值; (2)若点 F 在线段 PD 上,二面角 E-AC-F 所成的角为 ? ,且 tan ? ?

PF 2 ,求 的值. FD 2

18. (本小题满分 12 分) 已知定理:“若 a,b 为常数,g(x)满足 g(a+x)+g(a-x)=2b,则函数 y=g(x)的图象关于 点(a,b)中心对称”.设函数 f(x)=

x ?1? a ,定义域为 A. a?x

(1)写出 y=f(x)的图象的对称中心,并用以上定理证明; (2)当 x ? [a-2,a-l]时,求 f(x)的值域; (3)对于给定的 x1 ? A,设计构造过程:x2=f(x1) ,x3=f(x2) ,…,xn+1=f(xn) .如果 x1 ? A(i=2, 3,4,…) ,构造过程将继续下去;如果 xi ? A,构造过程将停止.若对任意 xi ? A,构造过程可 以无限进行下去,求 a 的值.

19. (本小题满分 1 3 分) 已知数列{an}中,a1=l,且当 x=
n-

1 1 - 时,函数 f(x)= an·x2+(2 n-an+1) ·x 取得极值. 2 2

(1)若 bn=-2 1·an 求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (3)试证明:n ? 3(n ? N*)时,Sn ?

4n . n ?1

20. (本小题满分 13 分) 如图,已知两点 A( ? 5 ,0) 、B( 5 ,0) ,△ABC 的内切圆的圆心在直线 x=2 上移动. (1)求点 C 的轨迹方程; (2)过点 M(2,0)作两条射线,分别交(1)中所求轨迹于 P、Q 两点,且 MP · MQ =0, 求证:直线 PQ 必过定点,并求出定点坐标.

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=a(x ?

1 )-21nx(a ? R) . x

(1)若 a=2,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x) ? ? 的取值范围.

a .若至少存在一个 x0 ? [1,e],使得 f(x0) ? g(x0)成立,求实数 a x


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