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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 第四章算法阶段质量检测 理 北师大版


阶段质量检测(三)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α ,且 sinα +cosα =0,则 a,b 满足( A.a+b=1 C.a+b=0 D.a-b=0 【解析】 由 sinα +cosα =0,得 tanα =-1. ∴α =135°

,即 a=b,a-b=0. 【答案】 D π 2.直线 2x-y-2=0 绕它与 y 轴的交点逆时针旋转 所得的直线方程是( 2 A.-x+2y-4=0 B.x+2y-4=0 C.-x+2y+4=0 D.x+2y+4=0 【解析】 由题意知所求直线与 2x-y-2=0 垂直. 又 2x-y-2=0 与 y 轴交点为(0,-2). 1 故所求直线方程为 y+2=- (x-0), 2 即 x+2y+4=0. 【答案】 D 3.“a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 当 a=1 时,直线 x+y=0 与直线 x-y=0 垂直成立;当直线 x+y=0 与直 线 x-ay=0 垂直时,a=1. 所以“a=1”是“直线 x+y=0 与直线 x-ay=0 互相垂直”的充要条件. 【答案】 C 4.若 PQ 是圆 x +y =9 的弦,PQ 的中点是(1,2),则直线 PQ 的方程是( A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0 C.2x-y+4=0 D.2x-y=0 【解析】 结合圆的几何性质易知直线 PQ 过点 A(1,2),且和直线 OA 垂直,故其方程 1 为:y-2=- (x-1),整理得 x+2y-5=0. 2 【答案】 B
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)

B.a-b=1

)

)

)

5.若 k,-1,b 三个数成等差数列,则直线 y=kx+b 必经过定点( A.(1,-2) B.(1,2)

)

C.(-1,2) D.(-1,-2) 【解析】 选 A.∵k,-1,b 成等差数列, ∴k+b=-2. ∴当 x=1 时,y=k+b=-2. 即直线过定点(1,-2). 【答案】 A 6.过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x +y -4y=0 所截得的弦长为( A. 3 C. 6 B.2 D.2 3
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)

【解析】 过原点且倾斜角为 60°的直线方程为 3x-y=0,圆 x +(y-2) =4 的圆 心(0,2)到直线的距离为 d= 【答案】 D 7.两圆相交于点 A(1,3),B(m,-1),两圆的圆心均在直线 x-y+c=0 上,则 m+c 的值为( ) | 3×0-2| 2 2 =1.因此弦长为 2 R -d =2 4-1=2 3. 3+1

A.-1 B.2 C.3 D.0 【解析】 依题意有 kAB=-1,即 4 =-1,所以 m=5,又因为直线 x-y+c=0 过 1-m

AB 的中点(3,1),所以得 c=-2,于是 m+c=3. 【答案】 C 8.已知直线方程为 Ax+By+C=0,直线在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b, 直线的斜率为 k,坐标原点到直线的距离为 p,则有( b 1 1 A.k= B. + =1 a a b C.a=-kb D.b =p (1+k ) b 【解析】 若直线不过原点,则 k=- ① a 又 p= 1 2 2 2 2 2 ,即 p (a +b )=a b ② 1 1 2+ 2 a b
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)

由①②得,b =p (1+k ). 当 a=0,b=0 时,代入 b =p (1+k )也成立.
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【答案】 D 9.在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“?”,其中 S=a?b 的运算原理 如图所示,则集合{y|y=(1?x)·x-(2?x),x∈[-2,2]}(注:“·”和“-”仍为通常 的乘法和减法)的最大元素是( A.-1 B.1 C.6 D.12 )

【解析】 y=(1 ? x)·x-(2 ? x)= ,不难求出最大值为 6. 【答案】 C 10.已知 A(-3,8)和 B(2,2),在 x 轴上有一点 M,使得|AM|+|BM|为最短,那么点 M 的坐标为( )

A.(-1,0) B.(1,0) C.?

?22,0? D.?0,22? ? ? ? 5? ?5 ? ?

【解析】 点 B(2,2)关于 x 轴的对称点为 B′(2,-2),连接 AB′,易求得直线 AB′ 的方程为 2x+y-2=0,它与 x 轴交点 M(1,0)即为所求. 【答案】 B → → 11.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知 A(3,1),B(-1,3), 若点 C 满足|CA+CB → → |=|CA-CB|,则 C 点的轨迹方程是( A.x+2y-5=0 B.2x-y=0 C.(x-1) +(y-2) =5 D.3x-2y-11=0 → → → → → → 【解析】 由|CA+CB|=|CA-CB|知CA⊥CB,所以 C 点的轨迹是以两个端点 A、B 为直 径的圆,圆心坐标为线段 AB 的中点(1,2),半径等于 5,所以 C 点的轨迹方程是(x-1) + (y-2) =5. 【答案】 C 12.过点 M(1,2)的直线 l 将圆(x-2) +y =9 分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线 l 的方程是( A.x=1 ) B.y=1
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)

C.x-y+1=0 D.x-2y+3=0 【解析】 由条件知 M 点在圆内,故当劣弧最短时,l 应与圆心与 M 点的连线垂直, 设圆心为 O,则 O(2,0), 2-0 ∴KOM= =-2. 1-2 1 ∴直线 l 的斜率 k= , 2 1 ∴l 的方程为 y-2= (x-1).即 x-2y+3=0. 2 【答案】 D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.在坐标平面内,与点 A(1,3)的距离为 2,且与点 B(3,1)的距离为 3 2的直线共有 __________条. 【解析】 以 A(1,3)为圆心,以 2为半径作圆 A,以 B(3,1)为圆心,以 3 2为半径作 圆 B. ∵|AB|= (1-3) +(3-1) =2 2=3 2- 2, ∴两圆内切,公切线只有一条. 【答案】 1 14. 已知圆 C 的圆心与点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称, 直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A、B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为__________. 【解析】 先求出圆心 C(x0,y0)坐标. y -1 ? ?x +2=-1, ?y +1 x -2 ? ? 2 = 2 +1,
0 0 0 0 2 2

? ?x0=0, 解得? ?y0=-1. ?

令圆半径为 R,(0,-1)到 3x+4y-11=0 的距离 d=3, ∴R =3 +3 =18,∴x +(y+1) =18. 【答案】 x +(y+1) =18 15.阅读如图所示的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 的值是________.
2 2 2 2 2 2 2

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【解析】 由所组的程序框图可知是求 S=100+99+98+?+2=5 049. 【答案】 5 049 16.已知△ABC 的两个顶点坐标为 B(1,4)、C(6,2),顶点 A 在直线 x-y+3=0 上,若 △ABC 的面积为 21.则顶点 A 的坐标为__________. 【解析】 点 C(6,2)到直线 x-y+3=0 的距离为 d= |6-2+3| 7 = ,因为点 A 在直 2 2

线 x-y+3=0 上,可以验证点 B(1,4)也在直线 x-y+3=0 上,所以设 A(x,y).又因为直 |1-x| 1 线 x-y+3=0 的倾斜角为 45°,所以|AB|= = 2|1-x|,所以三角形面积 S= cos45° 2 1 7 |AB|d= × 2|1-x|· =21. 2 2 所以 x=7 或 x=-5.故 A 点坐标为(7,10)或(-5,-2). 【答案】 (7,10)或(-5,-2) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知集合 A={(x,y)|(3+m)x+y=2m},B={(x,y)|7x+(5-m)y=8}, 若 A∩B=?,求直线(3+m)x+y=3m+4 与两坐标轴所围成的三角形的面积. 【解析】 由 A∩B=?可知两直线平行, 7 ? ?-(3+m)=-5-m, 所以? 8 ? ?2m≠5-m 解得 m=-2. 将 m=-2 代入(3+m)x+y=3m+4 得 x+y=-2,其在两坐标轴上的截距均为-2,故 所围成的三角形的面积 1 S= ×2×2=2. 2 18.

(12 分)如图, 直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为(-2,0), 直角顶点 B 的坐标为(0, -2 ), 顶点 C 在 x 轴上. (1)求 BC 边所在直线的方程. (2)圆 M 是△ABC 的外接圆,求圆 M 的方程.
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【解析】 (1)设 C(x0,0), 则 kAB= =- . kAB= = . ∵AB⊥BC,∴kAB·kBC=-1,即- × =-1, ∴x0=4,∴C(4,0),∴kBC= , ∴直线 BC 的方程为 y-0= (x-4),即 y= x-2 . (2)圆 M 以线段 AC 为直径,AC 的中点 M 的坐标为(1,0),半径为 3, ∴圆 M 的方程为 x2+y2-2x-8=0. 19.(12 分)已知△ABC 的顶点 A(5,1),AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5= 0.AC 边上的高 BH 所在直线为 x-2y-5=0. 求:(1)顶点 C 的坐标; (2)直线 BC 的方程. 【解析】 (1)直线 AC 的方程为:y-1=-2(x-5), 即 2x+y-11=0,

解方程组 得 则 C 点坐标为(4,3). (2)设 B(m,n),则 M( , ), m+5 n+1 ? ?2 - -5=0 2 ? 2 ? ?m-2n-5=0
? ?2m-n-1=0 整理得? ?m-2n-5=0 ? ?m=-1 ? 解得? ? ?n=-3





则 B 点坐标为(-1,-3) 6 直线 BC 的方程为 y-3= (x-4),即 6x-5y-9=0. 5 20.(12 分)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x- 3y=4 相切. (1)求圆 O 的方程;

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→ → (2)圆 O 与 x 轴相交于 A、 B 两点, 圆内的动点 P 使|PA|、 |PO|、 |PB|成等比数列, 求PA·PB 的取值范围. 【解析】 (1)依题设, 圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y=4 的距离, 即 r= =2. 所以圆 O 的方程为 x +y =4. (2)不妨设 A(x1,0),B(x2,0),且 x1<x2,由 x =4, 得 A(-2,0),B(2,0). 设 P(x,y),由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列, 得 (x+2) +y · (x-2) +y =x +y , 即 x -y =2. → → 所以PA·PB=(-2-x,-y)·(2-x,-y) =x -4+y =2(y -1).
? ?x +y <4, 由于点 P 在圆 O 内,故? 2 2 ?x -y =2, ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 1+3

由此得 0≤y <1. → → 所以PA·PB的取值范围为[-2,0). 21.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3) +(y-1) =4 和圆 C2:(x- 4) +(y-5) =4. (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程;
2 2 2 2

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(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们 分别与圆 C1 和圆 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, 试求所有满足条件的点 P 的坐标.

【解析】 (1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程 为 y=k(x-4),圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 , 所以 d= 2 -( 3) =1.
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2 2

|1-k(-3-4)| 由点到直线的距离公式得 d= , 2 1+k 从而 k(24k+7)=0. 7 即 k=0 或 k=- ,所以直线 l 的方程为 y=0 24 或 7x+24y-28=0. (2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k≠0,则直线 l2 1 的方程为 y-b=- (x-a). k 因为圆 C1 和圆 C2 的半径相等, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长 相等,所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等, 1 |5+ (4-a)-b| k |1-k(-3-a)-b| 即 = , 2 1 1+k 1+ 2 k 整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|, 从而 1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3 或(a-b+8)k=a+b-5, 因为 k 的取值范围有无穷多个,
?a+b-2=0, ? 所以? ? ?b-a+3=0 ?a-b+8=0, ? 或? ? ?a+b-5=0.

5 a= , ? ? 2 解得? 1 b=- ? ? 2

3 a=- , ? ? 2 或? 13 b= ? ? 2

.

1? ?5 ? 3 13? 这样点 P 只可能是点 P1? ,- ?或点 P2?- , ?.经检验点 P1 和 P2 满足题目条件. 2? ?2 ? 2 2? 22.(12 分)已知圆 C:x +y =r (r>0)经过点(1, 3). (1)求圆 C 的方程; → 1 (2)是否存在经过点(-1,1)的直线 l,它与圆 C 相交于 A,B 两个不同点,且满足OM= 2 3→ → OA+ OB(O 为坐标原点)关系的点 M 也在圆 C 上,如果存在,求出直线 l 的方程; 2 如果不存在,请说明理由.
2 2 2

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【解析】 (1)由圆 C:x +y =r ,再由点(1, 3)在圆 C 上,得 r =1 +( 3) =4 所以圆 C 的方程为 x +y =4; (2)假设直线 l 存在,设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0) ①若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为:y-1=k(x+1),
? ?y=k(x+1)+1 联立? 2 2 ?x +y -4=0 ?
2 2 2 2 2

2

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2

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2

消去 y 得,

(1+k )x +2k(k+1)x+k +2k-3=0, 2k(k+1) 2-2k 由韦达定理得 x1+x2=- =-2+ 2 2, 1+k 1+k k +2k-3 2k-4 x1x2= =1+ 2 2, 1+k 1+k 2k+4 2 2 y1y2=k x1x2+k(k+1)(x1+x2)+(k+1) = 2 -3, 1+ k 因为点 A(x1,y1),B(x2,y2)在圆 C 上, 因此,得 x1 +y1 =4,x2 +y2 =4, 3→ x1+ 3x2 y1+ 3y2 → 1→ 由OM= OA+ OB得 x0= ,y0= , 2 2 2 2 由于点 M 也在圆 C 上,则?
2 2 2 2 2 2 2 2

?x1+ 3x2?2 ?y1+ 3y2?2 ? +? ? =4, ? 2 ? ? 2 ?
2

x1 +y1 x2 +y2 3 1 整理得, +3 + x1x2+ 3y1y2=4, 4 4 2 2 2k-4 2k+4 即 x1x2+y1y2=0,所以 1+ 2 +( 2 -3)=0, 1+k 1+k 从而得,k -2k+1=0,即 k=1,因此,直线 l 的方程为 y-1=x+1,即 x-y+2=0, ②若直线 l 的斜率不存在, 则 A(-1, 3),B(-1,- 3),M? 3-3? ?-1- 3 , ? 2 ? ? 2
2

?-1- 3?2 ? 3-3?2 ? ? +? ? =4- 3≠4, ? 2 ? ? 2 ?
故点 M 不在圆上与题设矛盾. 综上所知:k=1,直线方程为 x-y+2=0

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