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数学:1.3.1《算法案例(辗转相除法)》课件1(新人教版A必修3)1


算 法 案 例
第一课时

复习引入
1.前面我们已经研究了算法,主要从算法 步骤、程序框图和编写程序三方面展开. 在程序框图中算法的基本逻辑结构有哪几 种?在程序设计中基本的算法语句有哪几 种?2.“求两个正整数的最大公约数”是 数学中的一个基础性问题,它有各种解决 办法,我们以此为案例,对该问题的算法 作一些探究.

/> 2. 思考: 小学学过求两个正数的最大公约数的方法? 1)列举法: 2)短除法:

例:求下面两个正整数的最大公约数:

(1)用列举法求25和35的最大公约数 (2)用断除法求18和30的最大公约数
例:求下面两个正 整数的最大公约数:
(2) 2 3 18 9 3 30 15 5

所以,49和63的最大公约数为7

如果两个数公有的质因数较大时(如8251与 6105),使用上述方法比较困难,因此,我们 今天要学习用另一种方法去求两数的公因数。

新课讲解: 一、辗转相除法(欧几里得算法)

所谓辗转相除法,就是对于给定的 两个数,用较大的数除以较小的数。若 余数不为零,则将余数和较小的数构成 新的一对数,继续上面的除法,直到大 数被小数除尽,则这时较小的数就是原 来两个数的最大公约数。

例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
解:8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0
显然37是148和37的最大 公约数,也就是8251和 6105的最大公约数

辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停 止的步骤,这实际上是一个循环结构。
用程序框图表示出右边的过程

m=n×q+r

8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333

r=m MOD n

m=n
n=r r=0? 否

1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0



思考:你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗?
(1)、算法步骤: 第一步:输入两个正整数m,n(m>n). 第二步:计算m除以n所得的余数r. 第三步:m=n,n=r. 第四步:若r=0,则m,n的最大公约数等于m; 否则转到第二步.

算法步骤:
第一步:输入两个正整数m,n(m>n).
第二步:计算m除以n所得的余数r. 第三步:m=n,n=r. 第四步:若r=0,则m,n的最大公约数 等于m;

(2)、程序框图:
开始 输入m,n 求m除以n的余数r m=n n=r r=0? 是 否

否则转到第二步.

输出m

(3)、程序:
开始 输入m,n 求m除以n的余数r

INPUT m,n

m=n
n=r r=0? 是 输出m 结束 否

DO r=m MOD n m=n n=r
LOOP UNTIL r=0

PRINT END

m

练习1:利用辗转相除法求两数4081与 20723的最大公约数.

? 解:20723=4081×5+318;
?

4081=318×12+265;

?

318=265×1+53;

? 265=53×5+0. ?所以,53为4081与20723的最大公

约数

二、更相减损术
1、背景介绍: (1)、《九章算术》中的更相减损术: 可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少 减多,更相减损,求其等也,以等数约之。

(2)、现代数学中的更相减损术:
第一步:任意给定两个正整数;判断他们是否都是 偶数。若是,则用2约简;若不是则执行第二步。 第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差 与较小的数比较,并以大数减小数。继续这个操作, 直到所得的减数和差相等为止,则这个等数就是所 求的最大公约数。

2、更相减损术

定义:所谓更相减损术,就是对于给 定的两个数,用较大的数减去较小的 数,然后将差和较小的数构成新的一 对数,再用较大的数减去较小的数, 反复执行此步骤直到差数和较小的数 相等,此时相等的两数便为原来两个 数的最大公约数。

例2: 用更相减损术求98与63的最大公约数.

3、方法:

解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数, 并辗转相减 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=21 14-7=7 所以,98和63的最大公约数等于7

***思考:你能根据更相减损术设计程序,求两 个正整数的最大公约数吗?

(1)、算法步骤 第一步:输入两个正整数a,b(a>b); 第二步:若a不等于b ,则执行第三步;否则转 到第五步; 第三步:把a-b的差赋予r;

第四步:如果b>r, 那么把b赋给a,把r赋给b;否 则把r赋给a,执行第二步; 第五步:输出最大公约数b.

(2)、程序框图
开始
输入a,b a≠b? 是 r=a-b a=r 否 r<b? 是 a=b b=r 输出b



结束

(3)、程序
INPUT “a,b=“;a,b WHILE a<>b r=a-b IF b>r THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END

练习: 1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数.

思路分析:先约简,再求21与18的最大公 约数,然后乘以两次约简的质因数4。
2、求324、243、135这三个数的最大公约数。

思路分析:求三个数的最大公约数可以先求出 两个数的最大公约数,第三个数与前两个数的 最大公约数的最大公约数即为所求。

小结
比较辗转相除法与更相减损术的区别 (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗 转相除法以除法为主,更相减损术以减法为 主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较 少,特别当两个数字大小区别较大时计算次 数的区别较明显。 (2)从结果体现的形式来看,辗转相除法 体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减 损术则以减数与差相等而得到。

小结 1.辗转相除法,就是对于给定的两个正整 数,用较大的数除以较小的数,若余数不为 零,则将余数和较小的数构成新的一对数, 继续上面的除法,直到大数被小数除尽为止, 这时的较小的数即为原来两个数的最大公约 数. 2. 更相减损术,就是对于给定的两个正 整数,用较大的数减去较小的数,然后将差 和较小的数构成新的一对数,继续上面的减 法,直到差和较小的数相等,此时相等的两 数即为原来两个数的最大公约数.


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