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2015年高考真题理科数学新课标全国卷ⅡWord版


绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1) 已知集合 A ? ??2, ?1,0,1,2? , B ? x ? x ? 1?? x ? 2 ? ? 0 ,则 A (A) {-1,0} (B) {0,1} (C) {-1,0,1} (D) {0,1,2} (2)若 a 为实数,且 ? 2 ? ai ?? a ? 2i ? ? ?4i ,则 a = (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

?

?

B =

(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结 论不正确的是

(A) 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B) 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 (C) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 (4)等比数列{an}满足 a1=3,a1+ a3+ a5=21,则 a3+ a5+ a7 = (A)21 (B)42 (C)63 (D)84

(5)设函数 f ? x ? ? ? (A)3

?1 ? log 2 (2 ? x)
x ?1 ?2

,则 f ? ?2? ? f ? log2 12? = (D)12

(B)6

(C)9

(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩 余部分体积的与剩余部分体积的比值为 (A)

1 8

(B)

1 7

(C)

1 6

(D)

1 5

(7)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C ?1, ?7 ? 的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 MN = (A)2 6 (B)8 (C)4 6 (D)10

(8)右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”。执行该程序框图,若输入 a , b 分别为 14,18,则输出的 a = (A)0 (B)2 (C)4 (D)14 (9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 (A) 36π (B) 64π (C) 144π (D) 256π (10).如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC, CD 与 DA 运动,∠BOP= x 。将动点 P 到 AB 两点距离之和表示为 x 的函数 f ? x ? , 则 f ? x ? 的图像大致为

(11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120° ,则 E 的离心率为 (A) 5 (B)2 (C) 3 (D) 2

( 12 ) 设 函 数 f ? ? x ? 是 奇 函 数 f ? x ? ? x ? R? 的 导 函 数 , f ? ?1? ? 0 , 当 x ? 0 时 ,

x f? ? x ? ? f? ?x? 0 ,则使得 f ? x? ? 0 成立的 x 的取值范围是
(A) ? ??, ?1?

? 0,1?

(B) ? ?1,0?

?1, ???

(C) ? ??, ?1?

? ?1,0?

(D)

? 0,1? ?1, ???

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b ,则实数 ? = .

?x ? y ?1 ? 0 ? (14)若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为____________. ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
(15) ? a ? x ??1 ? x ? 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a =__________.
4

(16)设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an?1 ? Sn Sn?1 ,则 Sn=___________________________. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分 12 分)?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠ BAC,?ABD 是?ADC 面 积的 2 倍。 (Ⅰ )求

sin ? B ; sin ?C

(Ⅱ )若 AD ? 1 , DC ?

2 ,求 BD 和 AC 的长。 2

(18)(本小题满分 12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调 查了 20 个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ )根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评 分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ;

A 地区 4 5 6 7 8 9

B 地区

(Ⅱ )根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C: “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。 假设两地区用户的评价 结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率

19. (本小题满分 12 分)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16, BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1 , D1C1 上, A 1E ? D 1F ? 4 。 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ )在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) (Ⅱ )求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 9x2 ? y2 ? m2 ? m ? 0? ,直线 l 不过原点 O 且不平行 于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ )证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ )若 l 过点 ?

?m ? , m ? ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若 ?3 ?

能,求此时 l 的斜率,若不能,说明理由。

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? e

mx

? x2 ? mx .

(Ⅰ )证明: f ? x ? 在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ )若对于任意 x1, x2 ?? ?1,1? ,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? e ? 1 ,求 m 的取值范围

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清 题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M、N 两点与底边上的 高 AD 交于点 G,且与 AB、AC 分别相切于 E、F 两点.

(1)证明:EF 平行于 BC (2) 若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE=MN= ,求四边形 EBCF 的面积。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? (t 为参数, t ? 0 )其中 0 ? ? ? ? ,在以 ? y ? t sin ?

O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2 : ? ? 2sin ? , 曲线 C3 : ? ? 2 3 cos? . (1).求 C2 与 C3 交点的直角坐标 (2).若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 的最大值

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设 a、b、c、d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (1)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (2) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件。


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