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河北衡水中学2013—2014学年度第一学期高三年级五调考试理科数学


河北衡水中学 2013—2014 学年度第一学期高三年级五调 考试
数学(理)试卷

本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案 的序号填涂在答题卡上) 1. 设 i 是虚数单位,则复数 i A. - 2 i 的虚部是( -1+i 1 C. 2
2

) D. i 2 )

1 B.- 2

2.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x ? 0 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q) 是真命题 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q) 是假命题

3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为(

)m .

3

A.

7 3

B.

9 2

C.

7 2

D.

9 4

4.以下四个命题中: ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样; ②两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1; ③在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ )(σ >0).若 ξ 在(0,1)内取值的概率
2

为 0.4,则 ξ 在(0,2)内取值的概率为 0.8 ;

④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 k 来说,k 越小,判断“X 与 Y 有关系”的把握 程度越大. 其中真命题的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4 )

2

5. 已知等比数列{ A.127

an }的公比 q ? 2 ,且 2a4 , a6 ,48 成等差数列,则{ an }的前 8 项和为(
B.255 C.511 D.1023

6.程序框图如图所示:

如果上述程序运行的结果 S=1320,那么判断框中应填入( A.K<10? 7.已知 sin(? ? A. ? B.K≤10? C.K ? 9? D.K≤11?

)

?
3

) ? sin ? ? ?
B. ?

4 3 ? 2? , ? ? ? ? 0, 则 cos(? ? ) 等于( 5 2 3



4 5

3 5

C.

4 5

D.

3 5

8.已知菱形 ABCD 的边长为 4, ?ABC ? 150 ,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四个顶点的
0

距离大于 1 的概率( ) A.

? 4

B. 1 ?

?
4

C.

? 8

D. 1 ?

?
8

? a, x ? 1 ? 2 9. 函数 f ( x) ? ? 1 | x ?1| 若关于 x 的方程 2 f ( x) ? (2a ? 3) f ( x) ? 3a ? 0 有五个不同的实数 ( ) ? 1, x ? 1 ? ? 2
解,则 a 的取值范围是 ( A. (1, 2) B. (1, ) ? ( ,2) )

3 3 3 C. [ , 2) D. (1, ) 2 2 2 10.已知向量 a,b,c 满足 | a |?| b |? a ? b ? 2 ,(a ? c) ? (b ? 2c) ? 0 ,则 | b ? c | 的最小值为(
A.

3 2



7? 3 2

B.

3 ?1 2

C.

3 2

D.

7 2

11.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1、F2 , O 为双曲线的中心, P 是双曲线右支上的点, a2 b2

?PF1 F2 的内切圆的圆心为 I ,且圆 I 与 x 轴相切于点 A ,过 F2 作直线 PI 的垂线,垂足为 B ,
若 e 为双曲线的离心率,则( A. | OB |? e | OA | ) C. | OB |?| OA | D. | OA | 与 | OB | 关系不确定

B. | OA |? e | OB |

12.数列 {an } 共有 12 项,其中 a1

,11 , ? 0 , a5 ? 2 , a12 ? 5 ,且 ak ?1 ? ak ? 1, k ?1,2,3 ???
C.76 D.152

则满足这种条件的不同数列的个数为( ) A.84 B.168

第Ⅱ卷

非选择题

(共 90 分)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置)
4 13.已知 ( x ? m) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a7 x 的展开式中 x 的系数是-35,
7 2 7

则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 = 14.已知 f (x)是 R 上的减函数, A(3,-1),B(0,1)是其图象上两个点,则不等式 | f (1 ? ln x) |? 1 的 解集是__________

y2 1,m) 到其焦点的距离为 5,双曲线 x ? 15.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0)上一点M( ? 1 的左顶 a
2

2

点为 A,若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a= 16.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 AC1、A1B1 的中点.点 P 在正方体的表面上运 动,则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于 .

三、解答题(共 70 分.解答应写在答题纸的相应位置,并写出必要的文字说明、推理过程) 17. (本小题满分 12 分)已知圆 O 的半径为 R (R 为常数),它的内接三角形 ABC 满足

2 R(sin 2 A ? sin 2 C ) ? ( 2a ? b) sin B 成立,其中 a, b, c 分别为 ?A, ?B, ?C 的对边,
求三角形 ABC 面积 S 的最大值.

18.(本小题满分 12 分)某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动:在一个不透明的口袋中装 入外形一样号码分别为 1,2,3,?,10 的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球,三球号

码有且仅有两个连号的为三等奖,奖金 30 元;三球号码都连号为二等奖,奖金 60 元;三球号 码分别为 1,5,10 为一等奖,奖金 240 元;其余情况无奖金。 (1)求员工甲抽奖一次所得奖金 ξ 的分布列与期望; (2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会,他得奖次数 的方差是多少?

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 直 四 棱 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , 底 面 ABCD 为 菱 形 , 且

?BAD ? 60? , A1 A ? AB, E 为 BB1 延长线上的一点, D1 E ? 面 D1 AC .设 AB ? 2 .

(Ⅰ)求二面角 E ? AC ? D1 的大小; (Ⅱ)在 D1 E 上是否存在一点 P ,使 A1 P // 面 EAC ? 若存在,求 D1 P : PE 的值;不存在,说明理由.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,椭圆的离心率为 且椭圆经过点 P(1, ) . (1)求椭圆 C 的标准方程;

1 , 2

3 2

(2)线段 PQ 是椭圆过点 F2 的弦,且 PF2 ? ? F2 Q ,求 ?PF1Q 内切圆面积最大时实数 ? 的值.

2 2 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ?ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x (其中 a ? R ).

?

?

(Ⅰ) 若 x

? 0 为 f ? x ? 的极值点,求 a 的值;
?1 ? f ? x ? ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? ; ?2 ?

(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式

(Ⅲ) 若函数

f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上单调递增,求实数 a 的取值范围.

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分) 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4 , C 为半圆上一 点,过点 C 作半圆的切线 CD ,过点 A 作 AD ? CD 于 D , 交圆于点 E , DE ? 1 . (Ⅰ)求证: AC 平分 ?BAD ;(Ⅱ)求 BC 的长.

23. (本小题满分 10 分)在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ? 原 点 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 点 P( 3 ,

? ? x ? 5 cos ? ? ? y ? 15 sin ?

( ? 为参数)。以

?
2

) ,直线 l 的极坐标方程为

??

3 2 cos(? ? ) 6

?



(1)判断点 P 与直线 l 的位置关系,说明理由; (2)设直线 l 与直线 C 的两个交点为 A、B,求 | PA | ? | PB | 的值。

24. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ?| x ? 1 | (1)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 8; (2)若 | a |? 1, | b |? 1, a ? 0 .求证: f (ab) ?| a | f ( ) .

b a

2013—2014 学年度第一学期高三年级五调考试
数学(理)答案
一、选择题:BCCBB ACDBA 二、填空题: 1

CA
1 4
2 2

1 2 ( , e ) e

2? 5

三、解答题:17. 解:由 2 R(sin A ? sin C ) ? ( 2a ? b) sin B ,

? 4 R 2 (sin 2 A ? sin 2 C ) ? 2 R( 2a ? b) sin B
由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C 代入得

? a 2 ? c 2 ? 2ab ? b 2 ,由余弦定理 cos C ?

a2 ? b2 ? c2 2 ? , 2ab 2

?C ?

?
4

,A? B ?

3? . ---6 分 4

所以 S ?

1 2 2 ab sin C ? ab ? ? 4 R 2 sin A ? sin B 2 4 4 3? 2 2 ? R2 ? A) ? R (sin 2 A ? ) ? 4 2 4 2 2 ?1 2 R . -------------------------12 分 2

= 2 R sin A ? sin(
2

当且仅当 A ? B ?

3 ? 时, S max ? 8

E

19. 解:(Ⅰ)设 AC 与 BD 交于 O ,如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz ,

则 A( 3, 0, 0), B(0,1, 0), C ( ? 3, 0, 0), D(0, ?1, 0), D1 (0, ?1, 2), 设 E (0,1, 2 ? h), 则 D1 E ? (0, 2, h), CA ? (2 3, 0, 0), D1 A ? ( 3,1, ?2),

???? ?

??? ?

???? ?

? D1 E ? 平面 D1 AC ,

? D1E ? AC , D1E ? D1 A,
????????2 分

? 2 ? 2h ? 0,? h ? 1, 即 E (0,1,3)

???? ? ??? ? ?? ? D1 E ? (0, 2,1), AE ? (? 3,1,3) 设平面 EAC 的法向量为 m ? ( x, y, z )

?? ??? ? x?0 m ? CA, 则由 ?? ??? ? 得 ? 3x ? y ? 3z ? 0 m ? AE ,

令 z ? ?1

?? ?平面 EAC 的一个法向量为 m ? (0,3, ?1)
?? ???? ? ???? ? ?? ???? ? m ? D1 E 2 ???? ? ? , 又平面 D1 AC 的法向量为 D1 E ? (0, 2,1),? cos ? m, D1 E ?? ?? 2 | m | ? | D1 E |

?二面角 E ? AC ? D1 大小为 45? ????????????????6 分
? ? ???? 2? ? D1E ? (0, , ), 1? ? 1? ? 1? ? ???? ????? ???? ? 2? ? ? ?1 ? ? A1P ? A1D1 ? D1P ?? (? 3, ?1, 0) ? (0, , ) ? (? 3, , ) ??10 分 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ???? ?? ? ?1 ? 3 ? A1 P // 面 EAC ,? A1P ? m,?? 3 ? 0 ? 3 ? ? (?1) ? ? 0,? ? ? , 1? ? 1? ? 2
(Ⅱ)设 D1 P ? ? PE ? ? ( D1 E ? D1 P), 得 D1 P ?

???? ?

??? ?

???? ? ???? ?

???? ?

? 存在点 P 使 A1 P // 面 EAC , 此时 D1P : PE ? 3: 2 ?????????12 分
3 ( )2 c 1 3 1 2 2 2 20. (1) e ? ? , P(1, )满足 2 ? 22 ? 1 ,又 a ? b ? c a 2 2 a b
a 2 ? 4, b 2 ? 3,? x2 y 2 ? ? 1 ????4 分 4 3

(2)显然直线 PQ 不与 x 轴重合 当直线 PQ 与 x 轴垂直时,| PQ |=3, | F1 F2 |? 2 , S ?PF1Q ? 3 ;??????5 分 当直线 PQ 不与 x 轴垂直时,设直线 PQ : y ? k ( x ? 1), k ? 0 代入椭圆 C 的标准方程, 整理,得 (3 ? 4k ) y ? 6ky ? 9k ? 0,
2 2 2

? ? 0. y1 ? y 2 ?

? 6k ? 9k 2 , y ? y ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

??????7 分

S ?PF1Q

1 k2 ? k ? ? | F1 F2 | ? | y1 ? y 2 |? ... ? 12 2 (3 ? 4k 2 ) 2
2 2

令 t ? 3 ? 4k ,? t ? 3, k ?

t ?3 4
2

所以 S ?PF1Q ? 3 ? 3( ? ) ?

1 t

1 3

4 1 1 ? 0 ? ? ? S ?PF1Q ? (0,3) 3 t 3

由上,得 S ?PF1Q ? (0,3] 所以当直线 PQ 与 x 轴垂直时 S ?PF1Q 最大,且最大面积为 3 设 ?PF1Q 内切圆半径 r ,则 S ?PF1Q ? 即 rmax ? ?????10 分

1 (| PF1 | ? PF2 | ? | PQ |) ? r ? 4r ? 3 2

3 ,此时直线 PQ 与 x 轴垂直, ?PF1Q 内切圆面积最大 4
??????12 分

所以, PF2 ? F2 Q, ? ? 1
21. 【解析】(Ⅰ)因为

2 2 f ? x ? ? ?ax2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x ? ?

2 2 2 2 2 ? x ? f ? ? x ? ? ?2ax ? ? a ? 1? ? e x ? ?ax2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x ? ? ?ax ? ? a ? 1? x ? a ? e ? ? ? ?

?2 分 因为 x

? 0 为 f ? x ? 的极值点,所以由 f ? ? 0 ? ? ae0 ? 0 ,解得 a ? 0 ?????3 分 ? 0 时, f ? ? x ? ? xe x ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 .

检验,当 a 所以 x

? 0 为 f ? x ? 的极值点,故 a ? 0 .?????4 分 ? 0 时,不等式

(Ⅱ) 当 a

?1 ? ?1 ? f ? x ? ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? e x ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? , ?2 ? ?2 ?
整 理 得

? ? x ? 1? ? ?

x

?1 ? e? ?2

2

?? ? x? ? ? 1?x ??

,0 即

?x ?1 ? 0 ? ? x ?1 2 ? ?e ? ? 2 x ? x ? 1 ? ? 0 ? ? ?



?x ?1 ? 0 ? ?6 分 ? x ?1 2 ? ?e ? ? 2 x ? x ? 1 ? ? 0 ? ? ?
令g 当x

? x ? ? ex ? ? ?

1 2 ? x ? x ? 1? , h ? x ? ? g ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? , h? ? x ? ? e x ? 1 , ?2 ?

? 0 时, h? ? x ? ? e x ? 1 ? 0 ;当 x ? 0 时, h? ? x ? ? e x ? 1 ? 0 ,

所以 h 所以 g 故e
x

? x ? 在 ? ??, 0 ? 单调递减,在 (0, ??) 单调递增,所以 h ? x ? ? h ? 0 ? ? 0 ,即 g ? ? x ? ? 0 ,

? x ? 在 R 上单调递增,而 g ? 0 ? ? 0 ;

?1 ? ?1 ? ? ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 ; e x ? ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 , ?2 ? ?2 ?

所以原不等式的解集为 (Ⅲ) 当 a ? 0 时,

? x x ? 0或x ? 1? ;?????8 分

2 2 ? x f ?? x? ? ? ? ax ? ? a ? 1? x ? a ? ? e

因为 x ?

?1, 2 ? ,所以 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上是增函数.
1? ? f ? ? x ? ? a ? x ? a ? ? x ? ? ? e x , x ? ?1, 2 ? 时, f ? x ? 是增函数, f ? ? x ? ? 0 . a? ?
a ? ?1
, 则

当 a ? 0 时,





1? ? ? 1 ? f ? ? x ? ? a ? x ? a ? ? x ? ? e x ? 0 ? x ? ? ? , ?a ? a? ? ? a ?

,



?1, 2 ? ? ? ??
② 若

1 ? , ?a ? 得 a ? ?2 ; ? a ?
1? 1? ? ? 1? ? ?1 ? a ? 0 , 则 f ? ? x ? ? a ? x ? a ? ? x ? ? ? e x ? 0 ? x ? ? ?a, ? ? , 由 ?1, 2 ? ? ? ?a, ? ? 得 a? a? ? ? a? ?

1 ? ? a ? 0. 2
③ 若 a ? ?1 ,

f ? ? x ? ? ? ? x ? 1? ? e x ? 0 ,不合题意,舍去.
2

综上可得,实数 a 的取值范围是

? ??, ?2? ? ? ??

1 ? , ?? ? ? 2 ?

??12 分](亦可用参变分离求解).

22.解:(Ⅰ)连结 AC ,因为 OA ? OC ,所以 ?OAC ? ?OCA , 因为 CD 为半圆的切线,所以 OC ? CD ,又因为 AD ? CD ,所以 OC ∥ AD ,

2分

所以 ?OCA ? ?CAD , ?OAC ? ?CAD ,所以 AC 平分 ?BAD . ···· 4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 BC ? CE , ····················· 6 分 连结 CE ,因为 ABCE 四点共圆, ?B ? ?CED ,所以 cos B ? cos ?CED , 所以 8分

DE CB ? ,所以 BC ? 2 . ···················· 10 分 CE AB

23.解:(1)直线 l : 2 ? cos(? ?
?

?
6

) ? 3 即 3? cos ? ? ? sin ? ? 3

直线 l 的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ,点 P(0, 3 ) 在直线 l 上。

? 5?

1 ? x?? t ? x2 y2 2 ? ? ?1 (2)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),曲线 C 的直角坐标方程为 5 15 3 ?y ? 3 ? t ? ? 2
将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程, 有 3(? t ) ? ( 3 ?
2

1 2

3 2 t ) ? 15,? t 2 ? 2t ? 8 ? 0 , 2

设两根为 t1 , t2 ,? PA ? PB ? t1 t2 ? t1t2 ? ?8 ? 8

?10?

? ?-2x-2,x<-3, -3≤x≤1, (24)解:(Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ? ?2x+2, x>1.
当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. ?4 分 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}. (Ⅱ)f (ab)>|a|f ( ?5 分 ?6 分

b ),即|ab-1|>|a-b|. a
2 2

因为|a|<1,|b|<1,所以|ab-1| -|a-b| =(a b -2ab+1)-(a -2ab+b ) =(a -1)(b -1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|.故所证不等式成立.
2 2 2 2 2 2

10 分


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