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广东省佛山一中2012届高三上学期


广东省佛山一中 2012 届高三上学期期中考试 文科数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。请把正确答案的序号填涂在答卷上.

?2, 1.已知 U= 3, 4, 5? ,M ? ?3,4,5?, N ? ?2,4,5?,则(
A. M ? N ? ?4? B. M ? N ? U D. (CU M ) ? N ? N C. (CU N ) ? M ? U A.15
2



,则a12 的值是( 2.已知等差数列 {a n } 中, a7 ? a9 ? 16, a 4 ? 1
B.30 B.[8,+∞) C.31 C. (-∞,- 8]

) D.64 )

3.函数 f ( x) ? 2 x ? mx ? 3,当x ?[?2,??) 时是增函数,则 m 的取值范围是( A.[-8,+∞) 4.下列结论正确的是( D. (-∞,8]

) A.当 x ? 0且x ? 1 时, lg x ? 1 ? 2 lg x C. 当x ? 2时, x ?

B. 当x ? 0 时, x ? 1 ? 2 x

1 1 的最小值为 2 D.当 0 ? x ? 2 时, x ? 无最大值 x x 5.设 b, c 表示两条直 线, ? , ? 表示两个平面,则下列命题是真命题的是( )
A.若 b ? ? , c ∥ ? ,则 c ∥ b C.若 c ∥ ? , ? ? ? ,则 c ? ? B.若 b ? ? , b // c,则c // ? D.若 c // ? , c ? ?,则? ? ? ??? ? ???? ???? 6.如图,在 ?ABC 中,已知 BD ? 2 DC ,则 AD ? ( ) ? 3 ???? ? 3 ???? 1 ??? 1 ??? A. ? AB ? AC B. AB ? AC A 2 2 2 2 ? 2 ???? ? 2 ???? 1 ??? 1 ??? C. AB ? AC D. AB ? AC 3 3 3 3 B D ?2 x ? y ? 0 2x ? y 7.已知正数 x、y 满足 ? ,则 z ? 2 的最大值为( ) ?x ? 3 y ? 5 ? 0 A.8 B.16 8.下列四种说法中,错误 的个数是( ..
2

C

C.32 )

D.64
2

①.命题“ ?x ? R, 均有x ? 3x ? 2 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R, 使得x ? 3x ? 2 ? 0 ” ②.“命题 p ? q 为真” 是“命题 p ? q 为真”的必要不充分条件; ③.“若 am ? bm , 则a ? b ”的逆命题为真; ④. A ? ?0,1? 的子集 有 3 个 A. 0 个 B.1 个 C .2 个
2 2

D.3 个

9. 将函数 y ? 2sin x 图象上的所有点的横坐标缩小到原来的 图象 C1 沿 x 轴向左平移

? 个单位,得到图象 C2 ,则图象 C2 的解析式可以是( 6

1 (纵坐标不变) ,得到图象 C1 ,再将 2


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A. y ? 2sin( x ? C. y ? 2sin(2 x ?

1 2

?
3

)

B. y ? 2sin(2 x ? D. y ? 2sin(2 x ?

? ?
3 6

) )

?

6

)

10.函数 f ( x) ? ln x ? A. 0 个

1 的零点的个数是( x ?1
C.2 个

) D.3 个

B.1 个

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 11.当 x ? (1,2) 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值
2

2 4 4 4 4

范围是



12. 已知某实心几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何 体的表面积为 。

? ,其中 ? 为 a 与 b 的夹角。若 13 . 已 知 两 个 非 零 向 量 a与b , 定 义 a ? b ? a b s i n
a ? b ? (?1,3), a ? b ? (?1,?1) ,则 a ? b =


? ?

14.已知整数对的序列如下: (1,1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (2,2) , (3,1) , (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) , (1,5) , (2,4) , ?? ,则第 80 个数对是 。
[来源:学科网]

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 12 分) 如图所示,直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是直角梯形, ?BAD ? ?ADC ? 90? ,

AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 . (1)求证: AC ? 平面 BB1C1C ;
(2)在 A1B1 上是否存一点 P ,使得 DP 与平面 D1

A1 C1

B1

ACB1 平行?证明你的结论.
A D C B

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16. (本小题满分 12 分)

已知直角坐标平面上四点 O(0,0), A(1,0), B(0,1), C (2cos ? ,sin ? ) ,满足 OC ? AB ? 0 . (1)求 tan ? 的值;

???? ??? ?

2cos(
(2)求

?
3

??)
2

1 ? 2sin

?
2

的值

17. (本小题满分 14 分) 设集合 A ? ? x

? 1 ? ? 2 ? x ? 4? , B ? x x 2 ? 3mx ? 2m 2 ? m ? 1 ? 0 . ? 32 ?

?

?

(1)若 B ? ? ,求 m 的取值范围; (2)若 A ? B ,求 m 的取值范围.

18. (本小题满分 14 分) 某单位建造一间地面面积为 12m2 的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的 长度 x 不得超过 a 米,房屋正面的造价为 400 元/m2,房屋侧面的造价为 150 元/m2,屋顶和地面的造 价费用合计为 5800 元,如果墙高为 3m,且不计房屋背面的费用. (1)把房屋总造价 y 表示成 x 的函数,并写出该函数的定义域. (2)当侧面的长度为多少时,总造价最底?最低总造价是多少?

19. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(1)求 a、b 的值; (2)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围.
2

20. (本小题满分 14 分)
2 已知数列 ?a n ? 中, a1 ? t , a2 ? t (t ? 0) ,且 an ?1 ? (t ? 1)an ? tan ?1 (n ? 2) .

(1)若 t

(2)求数列 ?a n ?的通项公式.

? 1,求证:数列 ?a n?1 ? a n ?是等比数列.

? 2a n 1 1 1 1 1 (n ? N *) ,试比较 ? ? ? ? ? ? ? 与 2 n ? 2 2 的大小. (3)若 ? t ? 2, bn ? 2 2 b1 b2 b3 bn 1 ? an

n

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佛山一中 2011-2012 学年度上学期高三期中考试 文科数学答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。请把正确答案的序号填涂在答卷上.

题号 答案

1 B

2 A

3 C

4 B

5 D

6 C

7 B

8 D

9 B

10 C

二、填空题: 本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分。 11、 ?-?,-5? 12、 96 ? 8?cm
2

13、 2

14、 (2,12) A1 D1 A D C C1 P B1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 12 分) 直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是直角梯 形, ?BAD ? ?ADC ? 90? , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 . (1)求证: AC ? 平面 BB1C1C ;

B

(2)在 A1B1 上是否存一点 P ,使得 DP 与平面 ACB1 平行?证明你的结论. 15. (1)证明:直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BB1 ? 平面 ABCD ,? BB1 ? AC 又? ?BAD ? ?ADC ? 90? , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 ∴ AC ? …2分

2, ?CAB ? 45?,? BC ? 2,? BC ? AC

…………………5 分 ………………6 分 …………………7 分

又 BB1 ? BC ? B

? AC ? 平面 BB1C1C .
1 AB 2

(2)存在点 P , P 为 A1 B1 的中点可满足要求. 证明:由 P 为 A1 B1 的中点,有 PB1 // AB ,且 PB1 ? 又∵ CD // AB, CD ?

…………………8 分

1 AB,? CD // PB1 ,且 CD ? PB1 , 2 ∴ CDPB1 为平行四边形, ? DP // CB1 …………………10 分
…………………12 分

又 CB1 ? 面 ACB1 , DP ? 面 ACB1 ,? DP // 面 ACB1 16. (本小题满分 12 分)

已知直角坐标平面上四点 O(0,0), A(1,0), B(0,1), C(2cos ? ,sin ? ) ,满足 OC ? AB ? 0 . (1)求 tan ? 的值;

???? ??? ?

2cos(
(2)求

?
3

??)
2

1 ? 2sin 2 ???? ??? ? 16.解 (1) OC ? (2 cos ? ,sin ? ) , AB ? (?1,1) 由已知有 ?2cos? ? sin ? ? 0 ? tan? ? 2

?

的值

?? ?? ?? ?? ?? 2 分 ?? ?? ?? ?? 6 分

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2 cos( ? ? ) cos? ? 3 sin ? 3 (2) ? ? cos? 1 ? 2 cos2 2 = 1 ? 3 tan? = 1 ? 2 3
17. (本小题满分 14 分) 设集合 A ? ? x

?

?? ?? ?? ?? 10 分 ?? ?? ?? ?? 12 分

? 1 ? ? 2 ? x ? 4? , B ? x x 2 ? 3mx ? 2m 2 ? m ? 1 ? 0 . ? 32 ?

?

?

(1)若 B ? ? ,求 m 的取值范围; (2)若 A ? B ,求 m 的取值范围.

18. (本小题满分 14 分) 某单位建造一间地面面积为 12m2 的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长 度 x 不得超过 a 米,房屋正面的造价为 400 元/m2,房屋侧面的造价为 150 元/m2,屋顶和地面的造价 费用合计为 5800 元,如果墙高为 3m,且不计房屋背面的费用. (1)把房屋总造价 y 表示成 x 的函数,并写出该函数的定义域. (2)当侧面的长度为多少时,总造价最底?最低总造价是多少?
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19. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(1)求 a、b 的值; (2)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围。
2

19.解: (1) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,
2

?? ?? ?? ?? 1 分 ?? ?? ?? ?? 4 分
?? ?? ?? ?? 5 分

依题意,得 ?

? f ' (1) ? 0 ? a ? ?3 ?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?? ,即 ? ?24 ? 12a ? 3b ? 0. ?b ? 4 ? f ' ( 2) ? 0
) 由 ( 1 ) 可 知 ,

经检验, a ? ?3 , b ? 4 符合题意. ( 2

f ( x) ? 2 x3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 8c f ?( x) ? 6 x 2 ? 18 x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) . ?? ?? ?? ?? ?? 7 分



x
f '( x) f ( x)

0

(0,1)

1

(1,2)

2

(2,3)

3

?
递增

0
极大值 5+8c

?
递减

0
极小值

?
递增 9+8c

3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 所以,当 x ? ? 0, 3? ,有 f ( x) ? c 恒成立,所以 因为对于任意的 x ? ? 0,
2

?? ?? ?? ?? 11 分

9 ? 8c ? c2 ?? ?? ?? 13 分
?? ?? ?? ?? ?? 14 分

因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) ? (9, ? ?) . 20. (本小题满分 14 分)

2 已知数列 ?a n ? 中, a1 ? t , a2 ? t (t ? 0) ,且 an ?1 ? (t ? 1)an ? tan ?1 (n ? 2) .

(1)若 t

(2)求数列 ?a n ?的通项公式.

? 1,求证:数列 ?a n?1 ? a n ?是等比数列.

? 2a n 1 1 1 1 1 n 2 的大小. ( n ? N *) ? ? ? ? ? ? ? (3)若 ? t ? 2, bn ? ,试比较 与 2 ? 2 2 2 b1 b2 b3 bn 1 ? an

n

20.解:⑴由已知得,当 t

? 1 时, an?1 ? an ? t (an ? an?1 )(n ? 2)

?? ?? ?? 2 分



an ?1 ? an ? t (n ? 2) ,又? a2 ? a1 ? t 2 ? t ? t (t ? 1) ? 0 an ? an ?1
2

∴ {an ?1 ? an } 是首项为 t ? t ,公比为 t 的等比数列 ⑵由⑴得,当 t

?? ?? ?? ?? 4 分
5分
2

? 1 时, an ?1 ? an ? (t ? t )t
2 n n ?1

n ?1

(t ? 1) ,即 an ?1 ? an ? t n ?1 ? t n
n?2 n

∴ an ? an ?1 ? t ? t

, an ?1 ? an ? 2 ? t
n

n ?1

?t

,…, a2 ? a1 ? t ? t ,

将上列各等式相加得 an ? a1 ? t ? t ,∴ an ? t (t ? 1) 综上可知 an ? t (t ? 0)
n

?? ?? ?? ?? 6 分

当 t ? 1时, an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? … ? a2 ? a1 ? 0 ,∴ an ? 1

?? ?? ?? ?? ?? 8 分 ?? ?? ?? ?? ?? 9 分

1 1 n 1 2an 2t n ? (t ? n ) ? ⑶由 bn ? 2 2 n ,得 1 ? an 1 ? t bn 2 t
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∵ (2 ?
n

n 1 1 1 n n n (2t ) ? 1 n n ) ? ( t ? ) ? (2 ? t ) ,又 ? t ? 2 ,∴ 2 ? t , 2t ? 1, n n n 2 t (2t ) 2

[来源:Z,xx,k.Com]

∴ (2t ) ? 1 ,∴ 2 ?
n

n

1 1 1 1 1 ? t n ? n ,∴ ? (2n ? n ) ?? ?? ?? ?? 11 分 n bn 2 2 2 t



1 1 1 1 1 1 1 ? ? … ? ? [(2 ? 22 ? … ?2n ) ? ( ? ? … ? n )] b1 b2 bn 2 2 2 4
n 2

1 1 [1 ? ( )n ] 1 2(2n ? 1) 2 2 ] ? 2n ? 1 (1 ? 2? n ) ? 2n ? 1 ? 2 1? 2? n ? 2n ? 2? ? [ ? 1 2 2 ?1 2 2 1? 2

?? ?? ?? ?? ?? 14 分

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