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专题四立体几何中的向量方法空间距离


专题四:利用向量解决空间距离

向量法求空间距离的求解方法
1.空间中的距离主要有:两点间的距离、点到直线的 距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行 平面的距离、异面直线间的距离.其中直线到平面的 距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离. 2.空间中两点间的距离:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),则

??? ? 2 2 2 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 )

3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点, 点A为平面内的任一点,平面的法向量为n,过 点P作平面?的垂线PO,记PA和平面?所成的 角为?,则点P到平面的距离 n
? P

O

?A

??? ? d ?| PO | ??? ? ?| PA | sin ? ? ??? ? ??? | n ? PA | ? ? ?| PA | ? ??? | n || PA | ? ??? ? | n ? PA | ?? ? ? |n|

典 例

例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,

以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的 夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对
D1
B1 D C

角线的长与棱长有什么关系? 解:如图1,不妨设 AB ? AA1 ? AD ? 1 , A 1 ?BAD ?
?BAA1 ? ?DAA1 ? 60?
化为向量问题 依据向量的加法法则, ???? ??? ??? ???? ? ? ? ?

C1

AC? ? AB?? AD ????? 1 AA 1 ???? ??? ??? ? ?
2

B AC1 ? ( AB ? AD ? AA1 )2 进行向量运算 A ??? 2 ??? 2 ???? 2 ? ? ? ??? ??? ??? ???? 图1 ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 ) ? 1 ? 1 ? 1 ? 2(cos 60? ? cos 60? ? cos 60? ) ? 6 ???? ? 回到图形问题 所以| AC1 |? 6

这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的

6 倍。

思考: (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系?
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以 某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于? , 那么 有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
A1 B1 D C D1 C1

(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 A B 是多少? (提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求点到平 面的距离或两点间的距离)
???? ??? ??? ???? ? ? ? ? 思考(1)分析: BD ? BA ? BC ? BB 1 1 其中 ?ABC ? ?ABB1 ? 120? , B1 BC ? 60? ?

易知对角线 BD1 的长与棱长的关系.

思考(2)分析: 设 AC1 ? a , ? AD ? AA1 ? x , BAD ? ?BAA1 ? ?DAA1 ? ? AB ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ??? ???? ???? 2 ??? 2 ???? 2 ???? 2 ??? ???? ??? ???? ???? ???? ? ? ? ? 由 AC1 ? AB ? AD ? AA1 ? AC1 ? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 )

即 a 2 ? 3 x 2 ? 2(3 x 2 cos ? ) ? x ?

1 a 3 ? 6cos ?

∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.

思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? 分析:面面距离转化为点面距离来求
解: 过 A1点作 A1 H ? 平面 AC 于点 H . 则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离 .
A1 B1 D B D1 C1

C

???? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? ? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? AA1 ? AC ? AA1 ? ( AB ? BC ) ? AA1 ? AB ? AA1 ? BC ? cos60? ? cos60? ? 1. ???? ???? ? AA ? AC 1 6 ???? 1 ???? ? ? ? cos ?A1 AC ? ? sin?A1 AC ? 3 | AA1 | ? | AC | 3

H 由 ?A1 AB ? ?A1 AD ? ?BAD 且 AB ? AD ? AA1 A ? H 在 AC上. ???? 2 ??? ??? 2 ? ? AC ? ( AB ? BC ) ? 1 ? 1 ? 2cos 60? ? 3 ? AC ? 3

?

如何用向量法求点到平面的距离?

6 6 ∴ 所求的距离是 . A1 H ? AA1 sin?A1 AC ? 3 3

例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱 长为1,E为D1C1的中点,求下列问题:
???? ???? 1 解:A1E =(-1, ,0),A1B =(0,1,-1) 2 ? 设n ? ( x, y, z )为面A1BE的法向量, A1 ? ???? 则 ?n ? A1 E ? 0, ? ? x ? 1 y ? 0, ? y ? 2 x, ? ? ? ???? ? 2 即? ? ?n ? A1 B ? 0, ? y ? z ? 0, ? ? z ? 2 x, ? ? 取x=,得平面A1BE的一个法向量n ? (1, 2, 2) 1 A ???? ? 选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 ? ? 0,1,0 ? , ???? ? ? A1B1 ? n 2 得B1到面A1BE的距离为d ? ? ? 3 n

(1) 求B1到面A1BE的距离;

z

D1

E

C1

B1
D
C

y

x

B

例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱 长为1,E为D1C1的中点,求下列问题: (2) 求D1C到面A1BE的距离;
解:∵D1C∥面A1BE ∴ D1到面A1BE的距离即为 D1C到面A1BE的距离

z
D1
A1
E

C1

B1
D
C

????? ? D1 A1 ? n 1 D1到面A1 BE的距离为d ? ? ? 3 n

仿上法求得

A

y

B

x

例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱 长为1,E为D1C1的中点,求下列问题: (3) 求面A1DB与面D1CB1的距离;

z

解:∵面D1CB1∥面A1BD ∴ D1到面A1BD的距离即为 面D1CB1到面A1BD的距离

D1
A1

C1

? 易得平面A1 BD的一法向量 n ? ( ?1,1,1) ????? ????? ? 且 D1 A1 ? (1, 0, 0) D1 A1 ? n 3 则D1到面A1 BD的距离为d ? ? ? 3 n

B1
D
A

C

y

x

B

练习
已知ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,PD =DC=a,AD= 2a ,M、N分别是AD、 P PB的中点。
⑴求证:平面MNC⊥平面PBC; ⑵求点A到平面MNC的距离。
D
M? A B
?

N

C


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