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数学(人教版)选修2-3:3.2独立性检验的基本思想及其初步应用(1)


问题 : 数学家庞加莱每天都从一家 面包店买一块 1000g 的面包,并记 录下买回的面包的实际质量。一年 后,这位数学家发现,所记录数据 的均值为 950g 。于是庞加莱推断这 家面包店的面包分量不足。 ? 假设“面包分量足”,则一年购买面包的质量 数据的平均值应该不少于1000g ; ? “这个平均值不大于 950g ”是一个与假设“面 包分量足”矛盾的小概率事件; ?

这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果。 一:假设检验问题的原理 假设检验问题由两个互斥的假设构成,其中一个 叫做原假设,用 H 0 表示;另一个叫做备择假设, 用H1表示。 例如,在前面的例子中, 原假设为: H0:面包分量足, 备择假设为 H1:面包分量不足。 这个假设检验问题可以表达为: H0:面包分量足 ←→ H1:面包分量不足 二:求解假设检验问题 考虑假设检验问题: H0:面包分量足 ←→ H1:面包分量不足 求解思路: 1. 在H0成立的条件下,构造与H0矛盾的小概 率事件; 2. 如果样本使得这个小概率事件发生,就能 以一定把握断言H1成立;否则,断言没有 发现样本数据与H0相矛盾的证据。 1.分类变量 三:二个概念 对于性别变量,取值为:男、女 这种变量的不同取“值”表示个体所属的不 同类别,这类变量称为分类变量 分类变量在现实生活中是大量存在的,如是 否吸烟,是否患肺癌,宗教信仰,国别,年龄, 出生月份等等。 利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为” 两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变 量的独立性检验.(为假设检验的特例) 列联表 为了调查吸烟是否对肺癌有影响,某肿瘤研究所随机 地调查了9965人,得到如下结果(单位:人) 吸烟与肺癌列联表 不患肺癌 不吸烟 7775 患肺癌 42 总计 7817 吸烟 总计 2099 9874 49 91 2148 9965 在不吸烟者中患肺癌的比重是 0.54% 2.28% 在吸烟者中患肺癌的比重是 说明:吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异, 吸烟者患肺癌的可能性大 1)通过图形直观判断两个分类变量是否相关: 三维柱 状图 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 不患肺癌 患肺癌 不吸烟 吸烟 吸烟 不吸烟 2) 通过图形直观判断两个分类变量是否相关: 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 不吸烟 吸烟 患肺癌 不患肺癌 二维条 形图 3)通过图形直观判断两个分类变量是否相关: 患肺癌 比例 患肺癌 不患肺癌 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 不吸烟 吸烟 不患肺癌 比例 独立性检验 通过数据和图表分析,得到 结论是:吸烟与患肺癌有关 H0: 吸烟和患肺癌之间没有关系 ←→ H 1 : 吸烟 和患 结论的可靠 肺癌之间有关系 程度如何? 用 A 表示“不吸烟”, B 表示“不患肺癌” 则 H0: 吸烟和患肺癌之间没有关系 等价于 “吸烟”与“患肺癌”独立,即A与B独立 等价于 P(AB)= P(A)P(B) 吸烟与肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌 b 总计 a+b a 不吸烟 吸烟 总计 c a+c d b+d c+d a+b+c+d a+b a+c a P(A)≈ ,P(B)≈ ,P(AB)≈ n n n 其中n = a + b + c + d a a+b a+c ?

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