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2014年长宁、嘉定区高三数学二模(理)含答案


2013 学年度长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试

数学试卷(理)
2014 年 4 月 考生注意:本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.解答必须写在答题纸上的规定 区域,写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分. 一.填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格 填对

得 4 分,否则一律得零分.

3?i ? ___________. 2?i 2 2.已知集合 A ? {?2 , ? 1 , 0 , 1 } ,集合 B ? {x x ? 1 ? 0 , x ? R } ,则 A ? B ? _______.
1.已知 i 为虚数单位,计算: 3.函数 y ? (sin x ? cos x)2 的最小正周期是__________________. 4. ( x ? 1)(x ? 1) 8 展开式中含 x 5 项的系数是_________. 5.某校选修篮球课程的学生中,高一学生有 30 名,高二学生有 40 名,现用分层抽样的方法在这 70 名学 生中抽取一个样本,已知在高一学生中抽取了 6 人,则在高二学生中应抽取__________人. 6.在直角三角形 ABC 中, ?C ? 90 ? , AC ? 4 ,则 AB ? AC ? __________. 7.对于任意 a ? (0 , 1) ? (1 , ? ?) ,函数 f ( x) ? 标是______________. 8.已知函数 f ( x) ? ?

1

?1

1 loga ( x ? 1)

的反函数 f

?1

( x) 的图像经过的定点的坐

? ?x , 0 ? x ? 1 , 将 f ( x) 的图像与 x 轴围成的封闭图形绕 x 轴旋转一周, 2 ? ? 1 ? ( x ? 1) , 1 ? x ? 2 ,

所得旋转体的体积为___________. 9.已知点 P(4 , m) 在曲线 C : ?

? x ? 4t 2 , ? y ? 4t

( t 为参数)上,则 P 到曲线 C 的焦点 F 的距离为__________.

10.已知抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时,量得水面宽为 8 米.则水面升高1 米后,水面宽是_______米 (精确到 0.01 米) . 11.设随机变量 ? 的概率分布律如下表所示:

x
P(? ? x)

0

1

2

a

b

c
4 ,则 ? 的方差为___________. 3

其中 a , b , c 成等差数列,若随机变量 ? 的的均值为

12.若不等式 | x ? a |? 2 在 x ? [1 , 2] 时恒成立,则实数 a 的取值范围是__________. 13.设 f n ( x) ? sin?

? nπ ? ,若△ ABC 的内角 A 满足 f1 ( A) ? f 2 ( A) ? ? ? f 2014 ( A) ? 0 , ? x ? ( n ? N* ) ? 2 ?

则 sin A ? cos A ? ____________. 14 .定义函数 f ( x) ? { x ? {x}} ,其中 { x} 表示不小于 x 的最小整数,如 {1.4} ? 2 , {?2.3} ? ?2 .当

x ? (0 , n] ( n ? N * ) 时 , 函 数 f ( x) 的 值 域 为 An , 记 集 合 An 中 元 素 的 个 数 为 an , 则
1/4

?1 1 1 lim? ? ? ? ? n ?? ? a an ? 1 a2

? ? ? ? ________________. ?

二.选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个选项正确,考生应在答题纸相应编号上, 将代表答案选项的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分. 15.运行如图所示的程序框图,则输出的所有实数对 ( x , y ) 所对应的点都在函数??( A. y ? x ? 1 的图像上 B. y ? 2 x 的图像上 C. y ? 2 x 的图像上 D. y ? 2
x ?1



开始

x ?1, y ?1

x ? x ?1, y ? 2y

的图像上

x?5
否 结束



输出 ( x ,

y)

16.下列说法正确的是???????????????????????????( A.命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题是“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ” 2 B. “ x ? ?1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的必要不充分条件 C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题是真命题



a t D. “n

x ? 1 ”是“ x ?

?
4

”的充分不必要条件

x2 y2 17 . 设 F1 、 F2 是 双 曲 线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的 两 个 焦 点 , P 是 C 上 一 点 , 若 a b | PF1 | ? | PF2 |? 6a ,且△ PF ) 1F2 最小内角的大小为 30 ? ,则双曲线 C 的渐近线方程是???(
A. x ? 2 y ? 0 B. 2 x ? y ? 0 C. x ? 2 y ? 0 D. 2 x ? y ? 0

x2 ? D , 18. 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D , 若对于任意 x1 、 当 x1 ? x2 ? 2a 时, 恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2b , 则称点 (a , b) 为函数 y ? f ( x) 图像的对称中心.研究函数 f ( x) ? x ? sin ? x ? 3 的某一个对称中心,并利
用 对 称 中 心 的 上 述 定 义 , 可 得 到 f? 为????????( A. 4027 ) B. ? 4027

? 1 ? ? 2 ? ? 4026? ? 4027? ?? f? ? ??? f ? ?? f? ? 的值 ? 2014? ? 2014? ? 2014? ? 2014?
C. 8054 D. ? 8054

三.解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要 的步骤. 19. (本题满分 12 分,本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知 sin A ? sin C ? p ? sin B ( p ? R ) , 且 ac ?

1 2 b . 4

5 , b ? 1 时,求 a , c 的值; 4 (2)若 B 为锐角,求实数 p 的取值范围.
(1)当 p ?
2/4

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 在如图所示的多面体中, 四边形 ABCD 为正方形, 四边形 ADPQ 是直角梯形, AD ? DP ,CD ? 平 面 ADPQ , AB ? AQ ?

1 DP . 2

(1)求证: PQ ? 平面 DCQ ; (2)求平面 BCQ 与平面 ADPQ 所成的锐二面角的大小.

C B D A Q P

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 (2 2 , 0) ,且椭圆 ? 过点 (3 , 1) . a 2 b2

(1)求椭圆 ? 的方程; (2)设斜率为 1 的直线 l 与椭圆 ? 交于不同两点 A 、 B ,以线段 AB 为底边作等腰三角形 PAB ,其 中顶点 P 的坐标为 (?3 , 2) ,求△ PAB 的面积.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设数列 {an } ,{bn } ,{cn } ,已知 a1 ? 4 ,b1 ? 3 ,c1 ? 5 ,an ?1 ? an ,bn ?1 ? (n?N ) .
*

an ? cn a ? bn ,cn ?1 ? n 2 2

(1)求数列 {cn ? bn } 的通项公式; (2)求证:对任意 n ? N , bn ? cn 为定值;
* * (3)设 Sn 为数列 {cn } 的前 n 项和,若对任意 n ? N ,都有 p ? (Sn ? 4n) ?[1 , 3] ,求实数 p 的取值

范围.

3/4

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 设 a 是实数,函数 f ( x) ? 4x ? | 2x ? a | ( x ? R ) . (1)求证:函数 f ( x) 不是奇函数; (2)当 a ? 0 时,求满足 f ( x) ? a 2 的 x 的取值范围; (3)求函数 y ? f ( x) 的值域(用 a 表示) .

4/4

2013 学年度长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试 数学试卷(理)参考答案与评分标准
2014 年 4 月 注:解答题评分标准中给出的为各小题的累计分,请阅卷老师注意. 一.填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1. 1 ? i 8. π 2. {?1 , 0 , 1} 9. 5 3. π 4. 14 11. 5. 8 6. 16 7. (1 , 2) 14. 2

10. 5.66

5 9

12. [ ?3 , 0]

13. 2

二.选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15.D 16.C 17.B 18.D 三.解答题(共 5 题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分,本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. (1)由正弦定理得, a ? c ? pb ,所以 a ? c ?

5 , 4

????(2 分)

1 ?a ? 1 , ? 1 ? ?a ? , 又 ac ? ,所以 ? 4 1 或? 4 c? ? ? 4 ?c ? 1 . ?

????(5 分) (少一组解扣 1 分)

(2)由余弦定理, b2 ? a2 ? c2 ? 2accos B ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2accos B ,??(1 分)

1 2 b (1 ? cos B ) , 2 3 1 2 所以 p ? ? cos B . 2 2
2 2 2 即b ? p b ?

????(2 分) ????(4 分)

由 B 是锐角,得 cos B ? (0 , 1) ,所以 p 2 ? ?

?3 ? , 2? . ?2 ?

????(6 分)

由题意知 p ? 0 ,所以 p ? ?

? 6 ? ?. , 2 ? 2 ? ? ?

????(7 分)

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (1)由已知,DA ,DP ,DC 两两垂直,可以 D 为原点,DA 、DP 、DC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、

z 轴建立空间直角坐标系.

????(1 分)

设 AB ? a ,则 D(0 , 0 , 0) , C (0 , 0 , a) , Q(a , a , 0) , P(0 , 2a , 0) , 故 DC ? (0 , 0 , a) , DQ ? (a , a , 0) , PQ ? (a , ? a , 0) , 因为 DC ? PQ ? 0 , DQ ? PQ ? 0 ,故 DC ? PQ , DQ ? PQ ,
5/4

??????(3 分)

即 DC ? PQ , DQ ? PQ , 所以, PQ ? 平面 DCQ .

?????????(5 分) ?????????(6 分)

(2)因为 DC ? 平面 ADPQ ,所以可取平面 ADPQ 的一个法向量为 n1 ? (0 , 0 , 1) , ??(1 分) 点 B 的坐标为 (a , 0 , a) ,则 QB ? (0 , ? a , a) , QC ? (?a , ? a , a) ,????(2 分) 设平面 BCQ 的一个法向量为 n2 ? ( x , y , z ) ,则 n2 ? QB ? 0 , n2 ? QC ? 0 , 故?

?

?

?

?

?? ay ? az ? 0 , ?? y ? z ? 0 , ? 即? 取 y ? z ? 1 ,则 x ? 0 ,故 n2 ? (0 , 1 , 1) . ?? ax ? ay ? az ? 0 , ?? x ? y ? z ? 0 ,

?(5 分)

? ? ? ? n1 ? n2 1 2 设 n1 与 n2 的夹角为 ? ,则 cos? ? ? ? ? . ?????????(7 分) ? | n1 || n2 | 2 2
所以,平面 BCQ 与平面 ADPQ 所成的锐二面角的大小为 解法二: (1)因为 CD ? 平面 PDAQ,所以 CD ? PQ , ????????????(1 分)

? . ????????(8 分) 4

作 QE ? DP , E 为垂足,则四边形 ADEQ 是正方形,设 AB ? a ,则 DE ? a , DQ ? 又 DP ? 2a ,所以 E 是 AP 的中点, EP ? a ,所以 PA ? 所以 DQ2 ? PQ2 ? DP2 ,所以 DQ ? PQ . 所以, PQ ? 平面 DCQ .

2a ,

2a ,

????????????(5 分) ????????????(6 分)

(2)连结 CE ,由(1)知 QE ? DP ,又 QE ? CD ,所以 QE ? 平面 DCP ,?(2 分) 所以 QE ? CE ,所以 ?CED 为所求二面角的平面角. 因为△ CED 是等腰直角三角形,所以 ?CED ? ?????????(4 分) ?????????(7 分)

?
4



所以,平面 BCQ 与平面 ADPQ 所成的锐二面角的大小为

? . 4

???????(8 分)

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

1 ?9 ? 2 ? 2 ?1, (1)由已知得 c ? 2 2 ,因为椭圆 ? 过点 (3 , 1) ,所以 ? a b 2 ?a ? b 2 ? 8 , ?

???(2 分)

6/4

解得 ?

2 ? ?a ? 12 , 2 ? ?b ? 4 .

?????????????(5 分)

所以,椭圆 ? 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 12 4

?????????????(6 分) ?????????????(1 分)

(2)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,

?y ? x ? m , ? 由 ? x2 y 2 得 4 x 2 ? 6mx ? 3m2 ? 12 ? 0 ?1, ? ? ?12 4

① ?????????????(2 分)

因为直线 l 与椭圆 ? 交于不同两点 A 、B ,所以△ ? 36m2 ? 16(3m2 ? 12) ? 0 ,所以 m2 ? 16 .?(3 分) 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是方程①的两根,所以 x1 ? x2 ? ? 设 AB 的中点为 E ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?

3m , 2

x1 ? x2 3m m ?? , y0 ? x0 ? m ? , ????(4 分) 2 4 4

因为 AB 是等腰三角形 PAB 的底边,所以 PE ? AB ,向量 PE 是直线 l 的一个法向量, 所以 PE ∥向量 (1 , ? 1) ,即 ? ?

m ? 3m ? ? 3 , ? 2 ? ∥向量 (1 , ? 1) , 4 ? 4 ?
????????????????(5 分)

所以

3m m ? 3 ? ? 2 ,解得 m ? 2 . 4 4

2 此时方程①变为 4 x ? 6 x ? 0 ,解得 A(?3 , ? 1) , B(0 , 2) ,所以 | AB |? 3 2 .

又 P(?3 , 2) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ? 所以△ PAB 的面积 S ?

| ?3 ? 2 ? 2 | 3 2 ? , ???(7 分) 2 2

1 9 | AB | ?d ? . 2 2

???????????????(8 分)

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.
* (1)因为 an ?1 ? an , a1 ? 4 ,所以 an ? 4 ( n ? N ) ,

???????(1分)

an ? cn 4 ? cn cn a ? bn bn ? ? ? 2 , cn ?1 ? n ? ? 2, 2 2 2 2 2 1 1 cn ?1 ? bn ?1 ? (bn ? cn ) ? ? (cn ? bn ) , ?????????????(2 分) 2 2 1 即数列 {cn ? bn } 是首项为 2 ,公比为 ? 的等比数列, ??????????(3 分) 2
所以 bn ?1 ? 所以 cn ? bn ? 2 ? ? ?

? 1? ? ? 2?

n ?1



?????????????????????(4 分)

7/4

(2)解法一: bn ?1 ? cn ?1 ?

1 (bn ? cn ) ? 4 , ??????????????(1 分) 2

因为 b1 ? c1 ? 8 ,所以 b2 ? c2 ? 8 , b3 ? c3 ? 8 , 猜测: bn ? cn ? 8 ( n ? N* ) . ????????????????????(2 分) 用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时, a1 ? b1 ? 8 ,结论成立; ???????????????(3 分)

ak ?1 ? bk ?1 ? ②假设当 n ? k( k ? N* ) 时结论成立, 即 bk ? ck ? 8 , 那么当 n ? k ? 1 时,
即 n ? k ? 1 时结论也成立. ???????(5 分)

1 (ak ? bk ) ? 4 ? 8 , 2

由①,②得,当 n ? N* 时, an ? bn ? 8 恒成立,即 an ? bn 恒为定值.????(6 分)

1 (bn ? cn ) ? 4 , ??????????????(1 分) 2 b ? cn 1 ? 4 ? (bn ? cn ? 8) ,????????????(4 分) 所以 bn ?1 ? cn ?1 ? 8 ? n 2 2
解法二: bn ?1 ? cn ?1 ? 而 b1 ? c1 ? 8 ? 0 ,所以由上述递推关系可得,当 n ? N* 时, bn ? cn ? 8 ? 0 恒成立,即 an ? bn 恒为定 值.???????????????????????????(6 分)

?bn ? cn ? 8 , n ?1 ? ? 1? n ?1 (3)由(1) 、 (2)知 ? ,所以 c ? 4 ? ? ? ? ,????(1 分) ? 1? n ? 2? ?cn ? bn ? 2 ? ? ? ? ? 2? ?

? 1? 1? ?? ? n 2? ? 1? ? 2? ? ? 4n ? ?1 ? ? ? ? ? , 所以 S n ? 4n ? 3? ? 1? ? ? 2? ? ? 1? ?? ? 2 ? ?
所以 p ? ( S n ? 4n) ?
n 2p ? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? ? ? , ????????????????(2 分) 3 ? ? ? 2? ? ?

n

n 2p ? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 3 , 由 p ? (Sn ? 4n) ?[1 , 3] 得 1 ? 3 ? ? ? 2? ? ?

? 1? 因为 1 ? ? ? ? ? 0 ,所以 ? 2?
1 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
n

n

1 ? 1? 1? ?? ? ? 2? ? 1 ?1? 1? ? ? ?2?
n n

?

2p ? 3

3 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
n

, ????????(3 分)

当 n 为奇数时,

随 n 的增大而递增,且 0 ?

1 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
n

? 1,

8/4

当 n 为偶数时,

1 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
n n

?

1 ?1? 1? ? ? ?2?
4 , 3
n

随 n 的增大而递减,且

1 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
n

? 1,

所以,

1 ? 1? 1? ?? ? ? 2? 1
n

的最大值为

3 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
n

的最小值为 2 .

???????(4 分)



? 1? 1? ?? ? ? 2?

?

2p ? 3

3 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
n

,得

4 2p ? ? 2 ,解得 2 ? p ? 3 . ????(6 分) 3 3

所以,所求实数 p 的取值范围是 [2 , 3] .

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (1)假设 f ( x) 是奇函数,那么对于一切 x ? R ,有 f (? x) ? ? f ( x) , 从而 f (?0) ? ? f (0) ,即 f (0) ? 0 ,但是 f (0) ? 40 ? | 20 ? a |? 1? | 1 ? a |? 0 ,矛盾. 所以 f ( x) 不是奇函数. (也可用 f (1) ? f (?1) ? 0 等证明) ???????(4 分)

(2)因为 2 x ? 0 , 4 x ? 0 ,所以当 a ? 0 时, f ( x) ? 4x ? 2x ? a ,由 f ( x) ? a2 ,得 4 x ? 2 x ? a ? a 2 , 即 4x ? 2x ? a(a ? 1) ? 0 , (2x ? a)(2x ? a ? 1) ? 0 ,????(2 分)
x x 因为 2 ? a ? 0 ,所以 2 ? a ? 1 ? 0 ,即 2x ? ?(a ? 1) .

?????????(3 分)

①当 a ? 1 ? 0 ,即 ? 1 ? a ? 0 时, 2x ? ?(a ? 1) 恒成立,故 x 的取值范围是 R ; (4 分) ②当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,由 2x ? ?(a ? 1) ,得 x ? log2[?(a ? 1)],故 x 的取值范围是

(log2[?(a ? 1)] , ? ?) .

???????????????????(6 分)

x (3)令 t ? 2 ,则 t ? 0 ,原函数变成 y ? t 2 ? | t ? a | .

2 ①若 a ? 0 ,则 y ? t ? t ? a 在 t ? (0 , ? ?) 上是增函数,值域为 (?a , ? ?) .?(2 分)
2 ? ?t ? t ? a , 0 ? t ? a , 2 ? ?t ? t ? a , t ? a .

②若 a ? 0 ,则 y ? ?

???????????????(3 分)

1 1 ? 1? 2 对于 0 ? t ? a , 有 y ? ?t ? ? ? a ? , 当 0 ? a ? 时,y 是关于 t 的减函数,y 的取值范围是 [a , a) ; 2 4 ? 2?
当a ?

2

1 1 1 1 ? ? 时, ymin ? a ? ,当 ? a ? 1 时, y 的取值范围是 ?a ? , a ? ,当 a ? 1 时, y 的取值范围是 2 4 2 4 ? ?
9/4

1 ? ? a ? , a2 ? . ? 4 ? ?

????????????????(5 分)
a

对于 t ? a ,有 y ? t 2 ? t ? a ? ? t ?

? ?

1? 1 2 ? ? a ? 是关于 t 的增函数,其取值范围 (a , ? ?) . ?(7 分) 2? 4

综上,当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 的值域是 (?a , ? ?) ; 当0 ? a ? 当a ?

1 时,函数 y ? f ( x) 的值域是 [a 2 , ? ?) ; 2
????????????(8 分)

1 1 ? ? 时,函数 y ? f ( x) 的值域是 ?a ? , ? ? ? . 2 4 ? ?

10 / 4


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