kl800.com省心范文网

2016届高考专题+三次函数高考题及模拟题


2016 届高考复习·三次函数高考题及模拟题
1.[2014· 陕西卷] 如图 12,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为

图 12 1 3 A.y= x3- x 125 5 答案:A a 2. [2014· 江西卷] 在同一直角坐标系中,函数 y=ax2-x+ 与 y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的 2 图像不可能是( ) 2 4 B.y= x3- x 125 5 3 C.y= x3-x 125 3 1 D.y=- x3+ x 125 5

A

B

C

D

答案:B 3. [2014· 陕西卷文科] 如图 12 所示,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑 连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )

图 12 1 1 A.y= x3- x2-x 2 2 1 1 B.y= x3+ x2-3x 2 2 1 C.y= x3-x 4 1 1 D.y= x3+ x2-2x 4 2

答案:A 4. 设 a 为实数,函数 f(x)=x3+ax2+(a-2)x 的导函数是 f′(x),且 f′(x)是偶函数,则曲线 y =f(x)在原点处的切线方程为( A.y=-2x ) C.y=-3x D.y=4x

B.y=3x
2

【解析】由已知得 f′(x)=3x +2ax+a-2,因为 f′(x)是偶函数,所以 a=0,即 f′(x)=3x2 -2,从而 f′(0)=-2,所以曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为 y=-2x.【答案】A 5. [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=ax3-3x2+1, 若 f(x)存在唯一的零点 x0, 且 x0>0, 则 a 的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) 2 答案:C [解析] 当 a=0 时,f(x)=-3x +1,存在两个零点,不符合题意,故 a≠0.

2 由 f′(x)=3ax2-6x=0,得 x=0 或 x= .若 a<0,则函数 f(x)的极大值点为 x=0,且 f(x)极大值 a 2? a2-4 a2-4 2 =f(0)=1, 极小值点为 x= , 且 f(x)极小值=f? = 此时只需 >0, 即可解得 a<-2; 2 , ?a? a a a2 若 a>0,则 f(x)极大值=f(0)=1>0,此时函数 f(x)一定存在小于零的零点,不符合题意. 综上可知,实数 a 的取值范围为(-∞,-2). 6. (2009 江苏卷)在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? x3 ?10x ? 3 上,且在第 二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 .

【解析】 y? ? 3x2 ?10 ? 2 ? x ? ?2 , 又点 P 在第二象限,? x ? ?2 点 P 的坐标为 (-2, 15) 1 7. 已知 y= x3+bx2+(b+2)x+3 在 R 上不是单调增函数,则 b 的范围为________. 3 [答案] b<-1 或 b>2 [解析] 若 y′=x2+2bx+b+2≥0 恒成立,则 Δ=4b2-4(b+ 2)≤0,∴-1≤b≤2,由题意 b<-1 或 b>2. 8. (2012· 大纲全国高考)已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c= A.-2 或 2 B.-9 或 3 C.-1 或 1 D.-3 或 1 答案:A 9. 若函数 y=x3-ax2+4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是____________. [答案] [3, +∞) [解析] y′=3x2-2ax, 由题意知 3x2-2ax<0 在区间(0,2)内恒成立, 3 即 a> x 在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3. 2 10. 三次函数 f(x),当 x=1 时有极大值 4;当 x=3 时有极小值 0,且函数图象过原点,则 f(x)=_____ 答案:x3-6x2+9x 11. 函数 f(x)=x3+ax-2 在区间[1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( A.[3,+∞) B.[-3,+∞)
3

___.

)

C.(-3,+∞)

D.(-∞,-3)

[答案] B ∵f(x)=x +ax-2 在[1,+∞)上是增函数,∴f′(x)=3x2+a≥0 在[1,+ ∞)上恒成立即 a≥-3x2 在[1,+∞)上恒成立又∵在[1,+∞)上(-3x2)max=-3∴a≥-3, 故应选 B. 12. 若函数 f(x)=x3-12x 在区间(k-1, k+1)上不是单调函数, 则实数 k 的取值范围是 ( A.k≤-3 或-1≤k≤1 或 k≥3 C.-2<k<2 B.-3<k<-1 或 1<k<3 D.不存在这样的实数 )

[答案] B [解析] 因为 y′=3x2-12,由 y′>0 得函数的增区间是(-∞,-2)和(2, +∞),由 y′<0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所 以有 k-1<-2<k+1 或 k-1<2<k+1,解得-3<k<-1 或 1<k<3,故选 B. 13. [2014· 辽宁卷] 当 x∈[-2,1]时,不等式 ax3-x2+4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范 围是( )

A.[-5,-3] 13.C

9? B.? ?-6,-8?

C.[-6,-2]
2

D.[-4,-3]

[解析] 当-2≤x<0 时,不等式转化为 a≤

x -4x-3 x2-4x-3 ,令 f(x)= (- 3 x x3

-x2+8x+9 -(x-9)(x+1) 2≤x<0),则 f′(x)= = ,故 f(x)在[-2,-1]上单调递减,在 x4 x4 1+4-3 (-1,0)上单调递增,此时有 a≤ =-2.当 x=0 时,g(x)恒成立.当 0<x≤1 时, -1 2 2 x -4x-3 x -4x-3 -x2+8x+9 -(x-9)(x+1) a≥ , 令个 g(x)= (0<x≤1), 则 g′(x)= = , x3 x3 x4 x4 1-4-3 故 g(x)在(0,1]上单调递增,此时有 a≥ =-6.综上,-6≤a≤-2. 1
2 3 14.(2009 江西卷文)若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? ax ?

15 x ? 9 都相切, 4
D. ?



a 等于
25 64
B. ? 1 或

A. ? 1 或 -

21 4

C. ?
3

7 25 或4 64

7 或7 4

3 y ? x03 ? 3x02 ( x ? x0 ) 即 y ? 3x02 x ? 2x03 ,又 (1, 0) 在切线上,则 x0 ? 0 或 x0 ? ? , 2 15 25 2 x ? 9 相切可得 a ? ? , 当 x0 ? 0 时,由 y ? 0 与 y ? ax ? 4 64 3 27 27 15 2 x? x ? 9 相切可得 a ? ?1 ,所以选 A . 当 x0 ? ? 时,由 y ? 与 y ? ax ? 2 4 4 4 ? 3 15. (云南师大附中 2015 届高考适应性月考卷一) 函数 f ? x ? ? x ? x ? x ? R ? 当 0 ? ? ? 时, 2

答 案 : A 【 解 析 】 设 过 (1, 0) 的 直 线 与 y ? x 相 切 于 点 ( x0 , x03 ) , 所 以 切 线 方 程 为

f ? a sin ? ? ? f ?1 ? a ? ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是
A.(﹣∞,1] B.(﹣∞,1) C.(1, +∞) D.(1, +∞)

【答案解析】A 解析: f ?( x) ? 1 ? 3x2 ? 0 ,故 f ( x) ? x ? x3 ( x ? R) 在 R 上单调递增,且为奇 函数,所以由 f (a sin ? ) ? f (1 ? a) ? 0 得 f (a sin ? ) ? f (a ? 1) ,从而 a sin ? ? a ? 1 ,即当
0 ?? ? π 1 时, a ? ? 恒成立,所以 a ≤ 1 .则选 A. sin ? ? 1 2

16. (2011 年高考山东卷)已知 f ( x ) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 ? x ? 2 时,

f ( x) ? x3 ? x ,则函数 y ? f ( x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

17. (2010 大纲全国 2 卷)函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? 3x ? 1 (1)设 a ? 2 ,求 f(x)的单调区间; (2)设 f(x)在区间 (2,3) 中至少有一个极值点,求 a 的取值范围。 答案: (1) (??,2 ? 3), (2 ? 3,??) ? (2) ( , ) 18. 已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx+c 在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数 f(x) 在 R 上有三个零点,且 1 是其中一个零点. (1)求 b 的值; (2)求 f(2)的取值范围.

( 2 ? 3 ,2 ? 3 ) ?

5 5 4 3

19. (2011 全国Ⅱ文)已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? (3 ? 6a) x ? 12a ? 4(a ? R)
3 2

(Ⅰ)证明:曲线 y ? f ( x)在x ? 0 的切线过点(2, 2); (Ⅱ)若 f ( x)在x ? x0处取得极小值,x0 ? (1,3) ,求 a 的取值范围。

解 (Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 6ax ? (3 ? 6a) , f ?(0) ? 3 ? 6a ,又 f (0) ? 12a ? 4 曲线 y ? f ( x)在x ? 0 的切线方程是: y ? (12a ? 4) ? (3 ? 6a) x ,令 x ? 2 ,得 y ? 2 所以曲线 y ? f ( x)在x ? 0 的切线过点(2,2); (Ⅱ)由 f ?( x) ? 0 得 x2 ? 2ax ? 1 ? 2a ? 0 , (i)当 ? 2 ?1 ? a ? 2 ?1 时, f ( x ) 没有极小值; (ii) 当

a ? 2 ?1



a ? ? 2 ?1







f ?( x ? )

得0

x1 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1, x2 ? ? a ? a 2 ? 2a ? 1
故 x0 ? x2 。 由 题 设 知 1 ? ?a ? a ? 2a ?1 ? 3 , 当 a ?
2

2 ?1 时 , 不 等 式

1 ? ?a ? a2 ? 2a ?1 ? 3 无解;
当 a ? ? 2 ? 1 时,解不等式 1 ? ?a ? a ? 2a ?1 ? 3 得 ?
2

5 ? a ? ? 2 ?1 2

综合(i)(ii)得 a 的取值范围是 ( ?

5 , ? 2 ? 1) 。 2

20、已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; 1 (2)若 x=- 是 f(x)的极值点,求 f(x)在[1,a]上的最大值; 3 解: (1)f′(x)=3x2-2ax-3.∵f(x)在[1, +∞)上是增函数, ∴f′(x)在[1, +∞)上恒有 f′(x)≥0, a 即 3x2-2ax-3≥0 在[1,+∞)上恒成立,则必有 ≤1 且 f′(1)=-2a≥0.∴a≤0. 3 1? 1 2 3 2 (2)依题意,f′? ?-3?=0,即3+3a-3=0.∴a=4,∴f(x)=x -4x -3x. 1 令 f′(x)=3x2-8x-3=0,得 x1=- ,x2=3. 3 则当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: x 1 (1,3) 3 (3,4) 4 f′(x) 0 - + f(x) -6 -18 -12 ∴f(x)在[1,4]上的最大值是 f(1)=-6. 21、已知对任意 m ? R ,直线 x ? y ? m ? 0 都不是 f ( x) ? x3 ? 3ax(a ? R) 的切线. (I)求 a 的取值范围; (II)求证在 x ? [?1,1] 上至少存在一个 x 0 ,使得 | f ( x0 ) |?

解: (I) f ?( x) ? 3x 2 ? 3a ?[?3a,??) , …………(2 分) m ? R ∵对任意 ,直线 x ? y ? m ? 0 都不是 y ? f ( x) 的切线,∴ ? 1?[?3a,?? ) ,
? 1 ? ?3a ,实数 a 的取值范围是 a ?

1 成立. 4

1 ; 3
1 , 4

…………(4 分) …………(6 分)

(II)问题等价于当 x ? [?1,1] 时, | f ( x) |max ?

设 g ( x) ?| f ( x) | ,g ( x) 在 x ? [?1,1] 上是偶函数, 故只要证明当 x ?[0,1] 时, | f ( x) |max ? ①当 a ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x)在[0,1] 上单调递增且 f (0) ? 0 , g ( x) ? f ( x)

1 , 4

g ( x)max ? f (1) ? 1 ? 3a ? 1 ?
1 3

1 ; 4

…………(8 分)

②当 0 ? a ? 时, f ?( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x ? a )( x ? a ) ,列表:

x f ?( x )
f ( x)

(??,? a ) +
?

? a
0 极大 2a a

(? a , a ) ?

a
0 极小
? 2a a

( a ,??) +
?

f ( x) 在 (0, a ) 上递减,在 ( a ,1) 上递增,
∴ g ( x)max ? max{ f (1),? f ( a )} ,

…………(10 分)

∵ a ? 3a ? 1 ,∴ x ? (0, 3a ) 时, g ( x) ? ? f ( x) , x ? ( 3a ,1) 时, g ( x) ? f ( x) ,

1 1 ,则 g ( x)max ? f (1) ? 1 ? 3a ? ; 4 4 1 1 1 若 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a,即 ? a ? ,则 g ( x)max ? ? f ( a ) ? 2a a ? ; 4 3 4 1 ∴在 x ? [?1,1] 上至少存在一个 x 0 ,使得 | f ( x0 ) |? 成立. …………(12 分) 4
若 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a,即0 ? a ? 22、设函数 f ( x) ? 2x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围. 【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? 6 x2 ? 6ax ? 3b , 因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 . 即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, 解得 a ? ?3 , b ? 4 . ?24 ? 12a ? 3b ? 0.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可知,f ( x) ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 8c , f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) . 当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ??0, 因为对于任意的 x ??0, 有 f ( x) ? c 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 3? , 恒成立, 所以
2

9 ? 8c ? c 2 , 解得

c ? ?1 或 c ? 9 , 因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) ? (9, ? ?) .
1 3 1 2 x ? x ? 2ax . 3 2

23. [2011· 江西卷]设 f ( x ) ? ?

(1)若 f ( x) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围;

2 3

16 , 求 f ( x) 在该区间上的最大值. 3 2 2 【解析】 (1)f ( x) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间, 即存在某个子区间 (m, n) ? ( ,?? ) 3 3 1 2 1 ' 2 使 得 f ' ( x) ? 0 . 由 f ( x) ? ? x ? x ? 2a ? ?( x ? ) ? ? 2a , f ' ( x) 在 区 间 2 4 2 2 2 2 1 [ ,?? ) 上单调递减,则只需 f ' ( ) ? 0 即可。由 f ' ( ) ? ? 2a ? 0 解得 a ? ? , 3 3 3 9 9 1 2 所以,当 a ? ? 时, f ( x) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间. 9 3
(2) 当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [1,4] 上的最小值为 ? (2)令 f ' ( x) ? 0 ,得两根 x1 ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a , x1 ? , x2 ? . 2 2 2

所以 f ( x) 在 (??, x1 ) , ( x2 ,??) 上单调递减,在 ( x1 , x2 ) 上单调递增 当 0 ? a ? 2 时,有 x1 ? 1 ? x2 ? 4 ,所以 f ( x) 在 [1,4] 上的最大值为 f ( x2 ) 又 f (4) ? f (1) ? ?

27 ? 6a ? 0 , 即 f (4) ? f (1) 所 以 f ( x) 在 [1,4] 上 的 最 小 值 为 2 40 16 10 f (4) ? 8a ? ? ? ,得 a ? 1 , x2 ? 2 ,从而 f ( x) 在 [1,4] 上的最大值为 f ( 2) ? . 3 3 3

24、[2014· 安徽卷] 设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (2)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 解: (1)f(x) 的定义域为 ( -∞,+∞) , f ′ (x) = 1 + a - 2x - 3x2. 令 f′(x) = 0 ,得 x1 = -1- 4+3a -1+ 4+3a , x2= ,且 x1<x2,所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 3 3 -1- 4+3a? ? 当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0;当 x1<x<x2 时,f′(x)>0.故 f(x)在?-∞, ?和 3 ? ?

?-1+ 4+3a ? ?-1- 4+3a -1+ 4+3a?内单调递增. ? ? ,+∞?内单调递减,在? , 3 3 3 ? ? ? ?
(2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0, ①当 a≥4 时,x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分 别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1,由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减, -1+ 4+3a 因此 f(x)在 x=x2= 处取得最大值.又 f(0)=1,f(1)=a, 3 所以当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值;当 a=1 时,f(x)在 x=0 和 x=1 处同时取 得最小值;当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值.

25.[2011· 江西卷文科]设 f ? x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx . 3

(1)如果 g ?x ? ? f ??x ? ? 2 x ? 3 在 x ? ?2 处取得最小值 ? 5 ,求 f ? x ? 的解析式; (2)如果 m ? n ? 10?m, n ? N ? ? , f ? x ? 的单调递减区间的长度是正整数,试求 m 和 n 的值.(注:区间 ?a, b ? 的长度为 b ? a ) .解: (1)已知 f ? x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx ,? f ' ?x ? ? x 2 ? 2mx ? n 3

又? g ?x ? ? f ' ?x ? ? 2 x ? 3 ? x 2 ? ?2m ? 2?x ? n ? 3 在 x ? ?2 处取极值, 则 g ' ?? 2? ? 2?? 2? ? ?2m ? 2? ? 0 ? m ? 3 ,又在 x ? ?2 处取最小值-5. 则 g ?? 2? ? ?? 2? ? ?? 2? ? 4 ? n ? 3 ? ?5 ? n ? 2 ,? f ? x ? ?
2

1 3 x ? 3x 2 ? 2 x 3

(2)要使 f ? x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx 单调递减,则? f ' ?x ? ? x 2 ? 2mx ? n ? 0 3

又递减区间长度是正整数,所以 f ' ?x ? ? x 2 ? 2mx ? n ? 0 两根设做 a,b。即有: b-a 为区间长度。又 b ? a ?

?a ? b?2 ? 4ab ?

4m 2 ? 4n ? 2 m 2 ? n ?m, n ? N ? ?

又 b-a 为正整数,且 m+n<10,所以 m=2,n=3 或, m ? 3, n ? 5 符合。

26、已知函数 f ( x) ? 4 x3 ? 3x 2 sin? ?

(I)求 ? 的取值范围; (II)若在 ? 的取值范围内的任意 ? ,函数 f ( x) 在区间 ( 2a ? 1, a ) 内都是增函数,求实 数 a 的取值范围。
2 解: (I) f '( x) ? 12 x ? 6 x sin ? , 令 f '( x) ? 0, 得 x1 ? 0, x2 ?

1 的极小值大于零,其中 x ? R , ? ? [0, ? ] . 32

函数 f ( x) 存在极值, sin ? ? 0 , 由 ? ? [0, ? ] 及(I) ,只需考虑 sin ? ? 0 的情况.当 的变化情况如下表:

sin ? . 2

……………(1 分)

x 变化时, f '( x) 的符号及 f ( x)
sin ? 2
0 极小值

x
f '( x) f ( x)

(??, 0)


0 0 极大值

(0,

sin ? ) 2


(

sin ? , ??) 2


?

?

?

sin ? sin ? sin ? 1 1 ), 且 f ( ) ? ? sin 3 ? ? . 因此,函数 f ( x ) 在 x ? 处取得极小值 f ( 2 2 2 4 32
要使 f (

sin ? 1 1 1 ) ? 0, 必有 ? sin 3 ? ? ? 0, 可得 0 ? sin ? ? , 2 4 32 2

……………(3 分)

所以 ? 的取值范围是 ? ? (0, ) ? (

?

6

5? ,? ) 6

……………(5 分)

(II)由(I)知,函数 f ( x ) 在区间 (??, 0) 与 (

由题设,函数 f ( x ) 在 (2a ? 1, a) 内是增函数,则 a 须满足不等式组

sin ? , ??) 内都是增函数. 2

? 2a ? 1 ? a ? 2a ? 1 ? a ? ,或 ? , 1 ? a ? 0 2 a ? 1 ? sin ? ? ? ? 2 1 1 1 ∵ 0 ? sin ? ? . ∴要使不等式 2a ? 1 ? sin ? 关于参数 ? 恒成立,必有 2a ? 1 ? . 2 2 4 5 5 解得 a ? 0 或 ? a ? 1 ,所以 a 的取值范围是 (??, 0] ? [ ,1). ……………(8 分) 8 8
27、 (云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试) 设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? m(a ? 0) (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x∈[-1,1]内没有极值点,求 a 的取值范围; (Ⅲ) 若对任意的 a∈[3,6], 不等式 f ( x) ? 1 在 x∈[-2,2]上恒成立, 求 m 的取值范围. 【答案】解: (Ⅰ)∵f′(x)=3x +2ax-a =3(x- 又 a>0,∴当 x<-a 或 x> 当-a<x<
a 时 f′(x)>0; 3
2 2

a )(x+a), 3

a 时,f′(x)<0. 3 a a ,+∞),单调递减区间为 (-a, ) (4 分) 3 3
2

∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-a) ,(
2

(Ⅱ)由题设可知,方程 f′(x)=3x +2ax-a =0 在[-1,1]上没有实根 ∴ ? f ?(1) ? 0 ,解得 a>3.
?a ? 0 ? ? f ?(?1) ? 0 ?

(8 分)
a ∈[1,2],-a≤-3 又 x∈[-2,2] 3
2

(Ⅲ)∵a∈[3,6],∴由(Ⅰ)知

∴f(x)max=max{f(-2),f(2)}而 f(2)-f(-2)=16-4a <0

f(x)max=f(-2)= -8+4a+2a2+m (10 分)
又∵f(x)≤1 在[-2, 2]上恒成立 ∴f(x)max≤1 即-8+4a+2a +m≤1 即 m≤9-4a-2a ,在 a∈[3, 6]上恒成立 ∵9-4a-2a 的最小值为-87∴m≤-87.
2 2 2

(13 分)

28、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知函数 f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处 的切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. 解:(1)f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a.

曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为 y=ax+2. 2 由题设得- =-2,所以 a=1. a (2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2. 设 g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4, 由题设知 1-k>0. 当 x≤0 时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0, g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4, 所以 g(x)=0 在(-∞,0]上有唯一实根. 当 x>0 时,令 h(x)=x3-3x2+4, 则 g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x). h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 所以 g(x)>h(x)≥h(2)=0, 所以 g(x)=0 在(0,+∞)上没有实根. 综上,g(x)=0 在 R 有唯一实根, 即曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点.

29、 (云南师大附中 2015 届高考适应性月考卷一)已知函数 f ? x ? ? <b)在 R 上单调递增,则

a 3 b 2 x ? x ? cx ? d (a 3 2

a?b?c 的最小值为______. b?a
b2 , 4a

【答案解析】3 解析:由题意 f ?(x) ? ax2 ? bx ? c ≥ 0 在 R 上恒成立,故 b ? a ? 0 , c ≥
b2 1 ? b ? 1 ? b ? a?b? ? ? a?b?c b a 4?a? 4a ? 于是 ,设 ? t (t ? 1) ,则问题等价于求函数 ≥ b b?a b?a a ?1 a
g (t ) ?
2

t 2 ? 4t ? 4 t 2 ? 4t ? 4 1 ? 9 ? 1 ? ?? t ? 1? ? ? 6? ? ? 6 ? 6 ? ? 3 , (t ? 1) 的最小值, 又 g (t ) ? 4(t ? 1) 4(t ? 1) 4? t ?1 ? 4

由此可得 g (t )min ? g (4) ? 3. 30、函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10,求 a、b 的值。 错解:fl(x)=3x2+2ax+b,由题意知 fl(1)=0, 且 f(1)=10, 即 2a+b+3=0, 且 a2+a+b+1=10,解之得 a=4,b=-11 ,或 a=-3 b=3 剖析:错误的主要原因是把 fl(x0)为极值的必要条件当作了充要条件,fl(x0)为极值的充要 条件是 fl(x0)=0 且 x0 附近两侧的符号相反.,所以后面应该加上:当 a=4,b=-11 时 fl(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),在 x=1 附近两侧的符号相反,? a=4,b=-11 2 当 a=-3 b=3 时 fl(x)=3 (x-1) , 在 x=1 附近两侧的符号相同, 所以 a=-3 b=3 舍去。 ? ( a=4,b=-11 时 , f(x)=x3+4x2-11x+16 的 图 象 见 下 面 左 图 , a=-3 b=3 时 (f(x)=x3-3x2+3x+|9 的图象见下面右图。 )

1 1 31、已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? x ? m ,其中 m ?R. 3 3 (1)求函数 y=f(x)的单调区间;

(2)若对任意的 x1,x2?[?1,1],都有 | f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) |? 4 ,求实数 m 的取值范围; (3)求函数 f ( x) 的零点个数. 解:(1) f ? (x)=x2-2mx-1, 由f? (x)?0,得 x?m- m2+1,或 x? m+ m2+1; 故函数 f ( x) 的单调增区间为(-∞,m- m2+1),(m+ m2+1,+∞), 减区间(m- m2+1, m+ m2+1). ……………………………4分

(2) “对任意的 x1,x2?[?1,1],都有|f?(x1)?f?(x2)|?4”等价于“函数 y=f ? (x),x?[?1,1]的最大 值与最小值的差小于等于 4”. 对于 f ? (x)=x2-2mx-1,对称轴 x=m. ①当 m<?1 时, f ? (x)的最大值为 f ? (1),最小值为 f ? (?1),由 f ? (1)?f ? (?1)?4,即?4m?4,解得 m?1, 舍去; ……………………………6 分

?f ? (1)?f ? (m)?4 ②当?1?m?1 时, f ? (x)的最大值为 f ? (1)或 f ? (?1),最小值为 f ? (m),由 ? ,即 f ? ( ? 1) ? f ? (m)?4 ? ?m2?2m?3?0 ? 2 ,解得?1?m?1; ?m +2m?3?0

………………………………8 分

③当 m>1 时, f ? (x)的最大值为 f ? (?1),最小值为 f ? (1),由 f ? (?1)?f ? (1)?4,即 4m?4,解得 m?1, 舍去; 综上,实数 m 的取值范围是[?1,1]. …………………………10 分

(3) 由 f ? (x)=0,得 x2- 2mx - 1=0, 因为△ =4m2+4>0,所以 y=f(x)既有极大值也有极小值 .设 f 1 1 1 2 1 2 ? (x0)=0, 即 x02 - 2mx0 - 1=0 , 则 f (x0)= 3 x03 - mx02 - x0+ 3 m= - 3 mx02 - 3 x0+ 3 m= - 3 x0(m2+1) ………………12 分 2 m2+1 )= - 3 (m - 2 m2+1 )= - 3

所 以 极 大 值 f(m -

m2+1 )(m2+1)>0 , 极 小 值 f(m+ ………………16 分

(m+ m2+1)(m2+1)<0,故函数 f(x)有三个零点.

32、[2014· 安徽卷] 设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (2)当 x∈[0,1]时 ,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 解: (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=1+a-2x-3x2.

-1- 4+3a 令 f′(x)=0,得 x1= , 3 x2= -1+ 4+3a ,x1<x2, 3

所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0; 当 x1<x<x2 时,f′(x)>0. -1- 4+3a? ? ?-1+ 4+3a ? 故 f(x)在?-∞, ?和 ? ,+∞?内单调递减, 3 3 ? ? ? ? 在?

?-1- 4+3a -1+ 4+3a?内单调递增. ? , 3 3 ? ?

(2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0, ①当 a≥4 时,x2≥1. 由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1. 由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减, -1+ 4+3a 所以 f(x)在 x=x2= 处取得最大值. 3 又 f(0)=1,f(1)=a, 所以当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 和 x=1 处同时取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值.


赞助商链接

2013年高考三次函数试题

2013年高考三次函数试题_数学_高中教育_教育专区。2013 年高考试题 一、选择题 1 .(2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案)...

高考中三次函数解题能力培养

因此近年 来高考以及各地模拟试题中,对函数的考查并不仅仅局限在一些基本初等函数 上,出现了不少以三次函数为背景的好试题,需要教师和考生多进行研究,以便 掌握...

浅谈高考中三次函数解题能力培养

因此近年 来高考以及各地模拟试题中,对函数的考查并不仅仅局限在一些基本初等函数 上,出现了不少以三次函数为背景的好试题,需要教师和考生多进行研究,以便 掌握...

2015年高考数学母题题源系列 专题06 三次函数的图象与...

2015年高考数学母题题源系列 专题06 三次函数的图象与性质 文(含解析)_数学_高中教育_教育专区。三次函数的图像与性质 【母题来源】2015 安徽卷文–10 【母题...

上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编:...

上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编:函数_数学_高中教育_教育...6、(闵行区 2016 届高三二模)函数 y ? log3 ( x ? 1) 的定义域是 7...

...附属中学2016届高考数学第一轮复习 二次函数(3)学案...

吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 二次函数(3)学案 理_数学_高中教育_教育专区。二次函数(3)二次函数高考中占有重要地位,函数的很多题型都...

山东省潍坊市2016届高三第一次模拟考试考试数学(理)试题

山东省潍坊市2016届高三第一次模拟考试考试数学(理)试题_高三数学_数学_高中.... 3 (II) 将函数 f ? x ? 的图象向左平移 17. (本小题满分 12 分)...

...则②若函数③若函数,则④若三次函数则是“有极值点...

文库VIP 个人中心 高考题库 教育频道 小学教育 ...④若三次函数则是“有极值点”的充要条件. 其中真...2016年高考模拟 理数2016高考真题2016年高考真题 理...

高考含参三次函数题型分析

高考含参三次函数题型分析 天津四中 刘力 三次函数...下面就以最近几年高考试题为例,解决三次函数含参...2014年国家司法考试案例分析模拟题 2014年证劵市场基础...

浙江省杭州市市第二中学2016年高考仿真模拟数学(理)试...

浙江省杭州市市第二中学2016年高考仿真模拟数学(理)试题(word版)_高三数学_...记 M ( x, y, z ) 为 x, y, z 三个数中的最小数,若二次函数 f ...