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椭圆与双曲线常见题型归纳


椭圆与双曲线常见题型归纳 椭圆与双曲线常见题型归纳
曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系 的综合型试题的分类求解 一. “曲线方程 直线与圆锥曲线位置关系 的综合型试题的分类求解 曲线方程 直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的 1.向量综合型 向量综合型 向量综合 例 1.在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3), (0, 3) 的距离之和为 4, 设点 P 的轨迹为

C ,直线 y = kx + 1 与 C 交于 A, B 两点。
(Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)若 OA ⊥ OB ,求 k 的值。

uuu r

uuu r

例 1. 解:(Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3),, 3) 为焦点, ? (0 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b = 故曲线 C 的方程为 x +
2

22 ? ( 3) 2 = 1 ,

y2 = 1. 4

? 2 y2 = 1, ?x + (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,其坐标满足 ? 4 ? y = kx + 1. ?
消去 y 并整理得 ( k 2 + 4) x 2 + 2kx ? 3 = 0 , 故 x1 + x2 = ?

若 OA ⊥ OB ,即 x1 x2 + y1 y2 = 0 . 而 y1 y2 = k x1 x2 + k ( x1 + x2 ) + 1 ,
2

uuu r

uuu r

2k 3 ,x1 x2 = ? 2 . k +4 k +4
2

3 3k 2 2k 2 于是 x1 x2 + y1 y2 = ? 2 ? ? +1 = 0 , k + 4 k2 + 4 k2 + 4
化简得 ?4k + 1 = 0 ,所以 k = ±
2

1 . 2

例 2.设 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 + y 2 = 1 的左、右焦点. 4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ) 设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、B , 且∠ AOB 为锐角 (其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围 例 2.解: (Ⅰ)解法一:易知 a = 2, b = 1, c =

uuur uuuu r

3

所以 F1 ? 3, 0 , F2

(

) (

3, 0 ,设 P ( x, y ) ,则

)

x2 1 ? 3 = ( 3x 2 ? 8 ) 4 4 uuur uuuu r 因为 x ∈ [ ?2, 2] ,故当 x = 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF2 有最小值 ?2 3 ? x, ? y = x 2 + y 2 ? 3 = x 2 + 1 ?
当 x = ±2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF2 有最大值 1 解法二:易知 a = 2, b = 1, c =

uuur uuuu r PF1 ? PF2 = ? 3 ? x, ? y ,

(

)(

)

uuur uuuu r

3 ,所以 F1 ? 3, 0 , F2

(

) (

3, 0 ,设 P ( x, y ) ,则

)

uuur 2 uuuu 2 uuuu 2 r r uuur uuuu uuur uuuu r r uuur uuuu PF1 + PF2 ? F1 F2 r PF1 ? PF2 = PF1 ? PF2 ? cos ∠F1 PF2 = PF1 ? PF2 ? uuur uuuu r 2 PF1 ? PF2

=

2 2 1? x + 3 + y 2 + x ? 3 + y 2 ? 12 ? = x 2 + y 2 ? 3 (以下同解法一) ? ? ? 2?

(

)

(

)

(Ⅱ)显然直线 x = 0 不满足题设条件,可设直线 l : y = kx ? 2, A ( x1 , y2 ) , B ( x2 , y2 ) ,

? y = kx ? 2 1? ? ? ,消去 y ,整理得: ? k 2 + ? x 2 + 4kx + 3 = 0 联立 ? x 2 2 4? ? ? + y =1 ?4
∴ x1 + x2 = ?

4k k2 +
? ?

1 4

, x1 ? x2 =

3 k2 + 1 4

由 ? = ( 4k ) ? 4 ? k +
2

3 3 1? 2 或k > ? ? × 3 = 4k ? 3 > 0 得: k < 2 2 4?

又 0 < ∠A0 B < 90 ? cos ∠A0 B > 0 ? OA ? OB > 0
0 0

uuu uuu r r

∴ OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 > 0 又 y1 y2 = ( kx1 + 2 )( kx2 + 2 ) = k x1 x2 + 2k ( x1 + x2 ) + 4 =
2

uuu uuu r r

3k 2 k2 + 1 4

+

? 8k 2 ?k 2 + 1 +4 = 1 1 k2 + k2 + 4 4



3 1 k + 4
2

+

?k 2 + 1 > 0 ,即 k 2 < 4 1 k2 + 4

∴ ?2 < k < 2

故由①、②得 ?2 < k < ?

3 3 或 <k<2 2 2

x2 + y 2 = 1 的左、右焦点, B (0,?1) . 的左、右焦点, 4 uuur uuuu r 是该椭圆上的一个动点, 的最大值和最小值; (Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值;
例 3. 设 F1 、 F2 分别是椭圆 . 一点, 的值; (Ⅱ)若 C 为椭圆上异于 B 一点,且 BF1 = λ CF1 ,求 λ 的值; 该椭圆上的一个动点, 的周长的最大值 (Ⅲ)设 P 是该椭圆上的一个动点,求 ?PBF1 的周长的最大值.

例 3.解: (Ⅰ)易知 a = 2, b = 1, c = 3 ,所以 F1 ? 3, 0 , F2
uuur uuuu r PF1 ? PF2 = ? 3 ? x, ? y ,

(

) (

3, 0 ,设 P ( x, y ) ,则

)

x2 1 3 ? x, ? y = x + y ? 3 = x + 1 ? ? 3 = ( 3 x 2 ? 8 ) 4 4 uuur uuuu r 因为 x ∈ [ ?2, 2] ,故当 x = 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF2 有最小值 ?2 uuur uuuu r 当 x = ±2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF2 有最大值 1
2 2 2

(

)(

)

( Ⅱ ) 设

C ( x 0,y0 ) , B (0,?1)

F1 ? 3, 0

(

)

由 BF1 = λ CF1



x0 =
2

3 (1 ? λ )

λ

, y0 = ?
解得

λ + 6λ + 7 = 0

x0 2 + y0 2 = 1 λ 4 λ = ?7(λ = 1 > 0舍去)
1
, 又

所 以 有

(Ⅲ)因为|P F1 |+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|∴ ?PBF1 周长≤4+ |BF2|+|B F1 |≤8. 所以当 P 点位于直线 BF2 与椭圆的交点处时, ?PBF1 周长最大,最 大值为 8. 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3 ,0) 例 4.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 . , (1) 求双曲线 C 的方程; 的方程; (2) 若直线 l: y = kx + :

2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB > 2 (其中 , 其中

O 为原点 ,求 k 的取值范围。 为原点), 的取值范围。 例 4.解: (Ⅰ)设双曲线方程为

x2 y2 ? =1 a2 b2

( a > 0, b > 0). 由已知得

a = 3 , c = 2, 再由a 2 + b 2 = 2 2 , 得b 2 = 1. 故双曲线 C 的方程为
(Ⅱ)将 y = kx +

x2 ? y 2 = 1. 3

x2 ? y 2 = 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 = 0. 3 2 ? ?1 ? 3k ≠ 0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 2 2 2 ?? = (6 2k ) + 36(1 ? 3k ) = 36(1 ? k ) > 0. ? 1 即 k 2 ≠ 且k 2 < 1. ① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则 3 2代入

x A + xB =

uuu uuu r r 6 2k ?9 , x A xB = ,由OA ? OB > 2得x A xB + y A y B > 2, 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

而 x A xB + y A y B = x A xB + ( kx A + 2)( kxB + 2) = ( k 2 + 1) x A xB + 2k ( x A + xB ) + 2

?9 6 2k 3k 2 + 7 + 2k +2= 2 . 于是 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1 3k 2 + 7 ?3k 2 + 9 1 > 2, 即 > 0, 解此不等式得 < k 2 < 3. ② 2 2 3k ? 1 3k ? 1 3 1 3 3 由①、②得 故 k 的取值范围为 ( ?1, ? < k 2 < 1. ) ∪ ( ,1). 3 3 3 = ( k 2 + 1)
x2 y2 6 例 5.已知椭圆 2 + 2 (a>b>0)的离心率 e = ,过点 A(0,-b)和 B(a,0)的 a b 3
直线与原点的距离为

3 . 2

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E(-1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点.问:是否存 在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由. 例 5.解析: (1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0.

?c 6 , ? = 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab = ? a 2 + b2 2 ?
∴ 椭圆方程为

解得

?a = 3 , ? ?b = 1

x2 + y 2 = 1 .…………………4 分 3

(2)假若存在这样的 k 值,由 ?

? y = kx + 2, ?x + 3 y ? 3 = 0
2 2

得 (1 + 3k 2 ) x + 12kx + 9 = 0 .
2



? = (12k ) 2 ? 36(1 + 3k 2 ) > 0 .



12k ? ? x1 + x2 = ? 1 + 3k 2 , ? 设 C (x1 , y1 ) 、 D (x2 , y2 ) ,则 ? ?x ? x = 9 ? 1 2 1 + 3k 2 ?
…………………………………………8 分 而 y1 ? y 2 = ( kx1 + 2)( kx 2 + 2) = k 2 x1 x 2 + 2k ( x1 + x 2 ) + 4 . 要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE 时,则



y1 ? y 2 = ?1 , x1 + 1 x2 + 1

即 y1 y2 + ( x1 + 1)( x2 + 1) = 0 .…………………………………………10 分 ∴

(k 2 + 1) x1 x 2 + 2(k + 1)( x1 + x 2 ) + 5 = 0 .
7 7 .经验证, k = ,使①成立. 6 6



将②式代入③整理解得 k = 综上可知,存在 k =

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E.………………………13 分 6

2. “中点弦型”

例 6.已知椭圆

x2 y 2 + = 1 ,试确定 m 的值,使得在此椭圆上存在不同 4 3 两点关于直线 y = 4 x + m 对称。 y ?y 1 例 6.解:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , AB 的中点 M ( x0 , y0 ) , k AB = 2 1 = ? , x2 ? x1 4

而 3 x12 + 4 y12 = 12, 3 x2 2 + 4 y2 2 = 12, 相减得 3( x2 2 ? x12 ) + 4( y2 2 ? y12 ) = 0, 即 y1 + y2 = 3( x1 + x2 ),∴ y0 = 3 x0 , 3 x0 = 4 x0 + m, x0 = ? m, y0 = ?3m 而 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,则
m 2 9m 2 2 3 2 3 + < 1, 即 ? <m< 4 3 13 13

例 7.已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e = 3 ,焦距为 2 3 (I)求该双曲线方程. (II)是否定存在过点 P (1 ,1 )的直线 l 与该双曲线交于 A , B 两点,且点 P 是 线段 AB 的中点?若存在,请求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由. y2 2 例 7.(1) x ? =1 2 y2 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,直线: y = kx + 1 ? k ,代入方程 x 2 ? = 1得 2 (2 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) 2 ? 2 = 0 ( 2 ? k 2 ≠ 0 ) x + x 2 k (1 ? k ) 则 1 = = 1 ,解得 k = 2 ,此时方程为 2 x 2 ? 4 x + 3 = 0 , ? < 0 2 2 2?k 方程没有实数根。所以直线 l 不存在。
2 2 。 3

例 8. 已知椭圆的中心在原点, 焦点为 F1 (0, ? 2 2 ) , 2 F (0,2 2 ) 且离心率 e = , (I)求椭圆的方程;

(II)直线 l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点 A、B,且线段 AB 中点的横坐 标为 ?

1 ,求直线 l 倾斜角的取值范围。 2 y2 x2 c 2 2 + 2 = 1,由已知c = 2 2 ,又 = 2 a 3 a b

例 8.解: (I)设椭圆方程为

解得 a=3,所以 b=1,故所求方程为

y2 + x 2 = 1 …………………………4 分 9

(II)设直线 l 的方程为 y = kx + b( k≠0) 代入椭圆方程整理得

( k 2 + 9) x 2 + 2 kbx + b 2 ? 9 = 0 ………………………… 5 分
?? = (2 kb) 2 ? 4( k 2 + 9)(b 2 ? 9) > 0 ? 由题意得 ? 2 kb = ?1 ? x1 + x 2 = ? 2 k +9 ?
解得

…………………………7 分

k > 3或k < ? 3

又直线 l 与坐标轴不平行 ………………………

故直线 l 倾斜角的取值范围是

π π π 2π ( , ) U( , ) 3 2 2 3

…………………………12 分

3. “弦长型” 例 9.直线 y=kx+b 与椭圆

x2 + y 2 = 1 交于 A、B 两点,记△AOB 的面积为 S. 4

(I)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (Ⅱ)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程. 例 9(I)解:设点 A 的坐标为( ( x1 , b) ,点 B 的坐标为 ( x2 , b) ,

y

x2 由 + y 2 = 1 ,解得 x1,2 = ±2 1 ? b 2 4
1 所以 S = b | x1 ? x2 |= 2b 1 ? b 2 ≤ b 2 + 1 ? b 2 = 1 2
当且仅当 b =
B

A

O

x

2 时, 取到最大值 1. .S 2

? y = kx + b ? (Ⅱ)解:由 ? x 2 得 2 ? + y =1 ?4 (4k 2 + 1) x 2 + 8kbx + 4b 2 ? 4 = 0 ? = 16(4k 2 ? b 2 + 1)
|AB|= 1 + k | x1 ? x2 |= 1 + k
2 2



16(4k 2 ? b 2 + 1) =2 4k 2 + 1



又因为 O 到 AB 的距离 d =

|b| 1+ k
2

2

=

2S =1 | AB |

所以 b = k + 1
2 2



③代入②并整理,得 4k ? 4k + 1 = 0
4

解得, k 2 =

1 2 3 , b = ,代入①式检验,△>0 2 2

故直线 AB 的方程是

y=

2 6 2 6 2 6 2 6 或y= 或y=? 或y=? . x+ x? x+ x? 2 2 2 2 2 2 2 2

(其中 , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( ) ( 例 10.已知向量 m1 =(0,x) n1 =(1,1) m 2 =(x,0) n 2 =(y2,1) 其中 x,y .

ur

r

ur

r

ur

ur

r

r ur

r

ur r

是实数) 又设向量 m = m1 + 2 n 2 , n = m 2 - 2 n1 ,且 m // n ,点 P(x,y)的轨迹为 是实数) ,又设向量 , ( , ) 曲线 C. 的方程; (Ⅰ)求曲线 C 的方程; 两点, (Ⅱ)设直线 l : y = kx + 1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|=
2 2

4 2 的方程. 时,求直线 l 的方程 3

例 10 解: (I)由已知, m = (0, x) + ( 2 y , 2), = ( 2 y , x + 2),

n = ( x, 0) ? ( 2, 2) = ( x ? 2, ? 2). …………………………………4 分

Q m // n, ∴ 2 y 2 (? 2) ? ( x + 2)( x ? 2) = 0 ……………………………………5 分

即所求曲线的方程是: x + y 2 = 1. ……………………………7 分
2

2

? x2 2 (Ⅱ)由 ? 2 + y = 1,消去y得 : (1 + 2k 2 ) x 2 + 4kx = 0. ? ? y = kx + 1. ?

? 4k ( x1 , x 2 分别为 M,N 的横坐标).………………9 分 1 + 2k 2 4k 4 由 | MN |= 1 + k 2 | x1 ? x 2 |= 1 + k 2 | |= 2, 2 3 1 + 2k

解得 x1=0, x2=

解得 : k = ±1. ……………………………………………………11 分 所以直线 l 的方程 x-y+1=0 或 x+y-1=0.…………………………12 分
二. “基本性质型” 例 11.设双曲线 C1 的方程为

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) ,A、B 为其左、右两个顶点,P 是 a2 b2

双曲线 C1 上的任一点,引 QB ⊥ PB, QA ⊥ PA ,AQ 与 BQ 相交于点 Q。 (1)求 Q 点的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹为 C2 , C1 、 C2 的离心率分别为 e1 、 e2 ,当 e1 ≥ 取值范围。 例 11. 解: (1)设 P ( x0 , y0 ), Q ( x, y ) ∵ A( ? a, 0), B ( a, 0), QB ⊥ PB, QA ⊥ PA

2 时,求 e2 的

y ? y0 ? x + a x + a = ?1 y2 x2 y2 y2 y2 b2 ? 0 ∴? ? 20 2 2 = 1 ,∵ 02 + 02 = 1 ,∴ 2 0 2 = 2 , y x0 ? a x ? a 2 a b x0 ? a a ? y0 = ?1 ? x0 ? a x ? a ?


y2 a2 = 2 ,化简得: a 2 x 2 ? b 2 y 2 = a 4 , x2 ? a 2 b
2 2 2 2 4

经检验,点 ( ?a, 0), ( a, 0) 不合题意,∴点 Q 的轨迹方程为 a x ? b y = a , ( y ≠ 0)

(2) 由(1)得 C2 的方程为

x2 y2 ? =1, a2 a4 b2

e2 2 =

a2 +

a4 2 2 1 b2 = 1 + a = 1 + a = 1+ 2 , 2 2 2 2 a b c ?a e1 ? 1

∵ e1 ≥

2 ,∴ e2 2 ≤ 1 +

1 = 2 ,∴ 1 ≤ e2 ≤ 2 。 ( 2) 2 ? 1

2 2 例 12.P 为椭圆 x + y = 1 上一点, F1 、 F2 为左右焦点,若 ∠F1 PF2 = 60° 25 9 (1)求△ F1 PF 2 的面积;

(2)求 P 点的坐标. 例 12.[解析]:∵a=5,b=3∴ c=4 (1)设 | PF1 |=t 1 ,| PF2 |= t 2 ,则 t1 + t 2 = 10
2 t12 + t 2 ? 2t1t 2 ? cos 60° = 8 2



②,由① -②得 t1t 2 = 12
2

∴ S ?F1PF2 =

1 1 3 t1t 2 ? sin 60° = × 12 × =3 3 2 2 2 (2)设 P ( x, y ) ,由 S ?F PF = 1 ? 2c? | y |= 4? | y | 得 1 2 2
y=± 3 3 4

4 | y |= 3 3 ∴| y |= 3 3 ? y = ± 3 3 ,将
4
4

代入椭圆方程解得 x = ± 5 13 , ∴ P(5 13 , 3 3 ) 或 P( 5 13 ,? 3 3 ) 或 P(? 5 13 , 3 3 ) 或
4
4 4
4 4

4

4

P(?

5 13 3 3 ,? ) 4 4

x2 y 2 4 = 1共焦点,且以 y = ± x 为渐近线,求双曲线方程.(12 共焦点, 为渐近线,求双曲线方程. 例 13.已知双曲线与椭圆 + . 49 24 3
分)
例 13 [解析]:由椭圆

x2 y2 + =1 ? c = 5. 49 24
?a 2 = 9 ? ?? 2 ?b = 16 ? ?a + b = 25
故所求双曲线方程为

设双曲线方程为

4 ?b x2 y2 ? 2 = 1 ,则 ? a = ± 3 2 ? a b 2 ? 2

x2 y2 ? =1 9 16

例 14. k 代表实数,讨论方程 kx 2 + 2 y 2 ? 8 = 0 所表示的曲线.
y 2 x2 例 14 .解:当 k < 0 时,曲线 ? = 1 为焦点在 y 轴的双曲线; 4 ?8 k
当 k = 0 时,曲线 2 y 2 ? 8 = 0 为两条平行的垂直于 y 轴的直线; 当 0 < k < 2 时,曲线

x2 y 2 + = 1 为焦点在 x 轴的椭圆; 8 4 k

当 k = 2 时,曲线 x 2 + y 2 = 4 为一个圆; 当 k > 2 时,曲线

y 2 x2 + = 1 为焦点在 y 轴的椭圆。 8 4 k


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