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广东省第二学期模拟试题分类汇编---第7部分概率统计


广东省第二学期模拟试题分类汇编---第 7 部分:概率统计
一.选择题 9. (广东省汕头市 2009 年高中毕业生学业水平考试文科 数学)如图,一只蚂蚁在边长分别为 3,4,5 的三角形区域内随
机爬行, 则其恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率为 (D) . A.
?
12

C 3 A 4 5 B


B. 1 ?
?
6

?
3

C. 1 ?

D. 1 ?

?
12

4.(2009 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)(理科))已知随机变量 ? 服从 正态分布 N ( 2 , ? ) , P (? ? 4 ) ? 0 .2 ,则 P (? ? 0 ) ?
2

D D. 0 .2

A. 0 .8

B. 0 .6

C. 0 .4

二.填空题
10. (广东省汕头市 2009 年高中毕业生学业水平考试理科数学) 为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况, 某市卫生部门对本地区 5 月份至 7 月份使用疫苗的 所有养鸡场进行了调查, 根据下列图表提供的信息, 可以得出这三个月本地区平均每月注射 了疫苗的鸡的数量为 10.90 万只. 月份 5 6 7 养鸡场(个数) 20 50 100

12. (广东省汕头市 2009 年高中毕业生学业水平考试文科数学)为了了解“预防禽 流感疫苗”的使用情况,某市卫生部门对本地区 5 月份至 7 月份使用疫苗的所有养鸡场进行 了调查, 根据下列图表提供的信息, 可以得出这三个月本地区平均每月注射了疫苗的鸡的数 量为 12. 90 ; 月份 5 6 7 万只.

养鸡场(个数) 20 50 100

10. (广东省湛江高三第二次月考(理科)数学试题)某校对高三年级的学生进行体 检,现将高三男生的体重(单位: k g )数据进行整理后分成六组,并绘制频率分布直 方图(如图所示) 。已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为 0 .1 6 、0 .0 7 ,第一、 第二、第三小组的频率成等比数列,第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列, 且第三小组的频数为 100,则该校高三年级的男生总数为 10. 400

三.解答题 18.(2009 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)(理科))(本题满分 14 分)
已知某公司 2004 至 2008 年的产品抽检情况如下表所示: 年份 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 项目 抽查量 合格数 合格率 由于受到金融海啸的影响,2009 年计划生产 8500 件该产品,若生产一件合格品盈利 0.5 万元,生产一件次品亏损 0.3 万元. (Ⅰ) 完成题中表格,并指出该工厂生产的该产品的合格率最接近于哪个数值 p ? (Ⅱ) 以(Ⅰ)中的数值 p 作为该产品的合格率,请你帮该工厂作出经营利润方面的预 测. 18. (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)合格率分别为 0.798,0.801,0.803,0.798,0.8 该产品的合格率最接近于数值 0.8,即 p =0.8 (Ⅱ)设 8500 件产品中合格产品的数量为 ? , 则 ? 为随机变量且 ? ? B (8 5 0 0 , )
5 4

2008 年 1000 800

1000 798

1000 801

1000 803

1000 798

……6 分

……9 分 ……11 分

故 E? ? 8500 ?

4 5

? 6 8 0 0 (件),

即预测 2009 年该产品的合格产品数量为 6800 件. 从而经营利润为 6 8 0 0 ? 0 .5 ? (8 5 0 0 ? 6 8 0 0 ) ? 0 .3 ? 3 4 0 0 ? 5 1 0 ? 2 8 9 0 (万元) ……14 分 18. (广东省汕头市 2009 年高中毕业生学业水平考试理科数学) (本小题满分 14 分) 某电台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题, 其中前两个问题回答正 确各得 10 分,回答不正确得 0 分,第三个题目,回答正确得 20 分,回答不正确得-10 分, 总得分不少于 30 分即可过关。如果一位挑战者回答前两题正确的概率都是 正确的概率为 总得分为 ? 。
3 5 4 5

,回答第三题

, 且各题回答正确与否相互之间没有影响。 记这位挑战者回答这三个问题的

(1) 这位挑战者过关的概率有多大? (2) 求 ? 的概率分布和数学期望。 18.解: (1)这位挑战者有两种情况能过关: ①第三个对,前两个一对一错,得 20+10+0=30 分, ②三个题目均答对,得 10+10+20=40 分, 其概率分别为 P ?? ? 30 ? ? C 2 ?
1

……… ………1 分 ……… ………2 分

4 5 4 5

?

1 5

? ?

3 5

?

24 125



……… ………3 分 ……… ………4 分

P ?? ? 40 ? ?

4 5

?

?

3 5

48 125 24 125



这位挑战者过关的概率为
P ?? ? 30 ? ? P ?? ? 30 ? ? P ?? ? 40 ? ? ? 48 125 ? 72 125



……… ………5 分

(2)如果三个题目均答错,得 0+0+(-10)=-10 分, 如果前两个中一对一错,第三个错,得 10+0+(-10)=0 分; …… ………6 分 前两个错,第三个对,得 0+0+20=20 分; 如果前两个对,第三个错,得 10+10+(-10)=10 分; 故 ? 的可能取值为:-10,0,10,20,30,40.
4? ? 4? ? 3? 1 1 2 2 ? P ?? ? ? 10 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 5? ? 5? ? 5? 5 5 5 125 ?

……… ………7 分 ………….8 分 , ……… ………9 分

P ?? ? 0 ? ? C 2 ?
1

1 5

?

4 5

?

2 5 ? ?

? 32 125 3 125 24

16 125

………………10 分 ……… ………11 分 ……… ………12 分

P ?? ? 10 ? ? P ?? ? 20 ? ?

4 5 1 5

? ?

4 5 1 5

? ?

2 5 3 5

又由(1) P ?? ? 30 ? ? , ∴ ? 的概率分布为

, P ?? ? 40 ? ?

48 125

125

?

-10
2 125

0
16 125

10
32 125

20
3 125

30
24 125

40
48 125

P

………………13 分 根据 ? 的概率分布,可得 ? 的期望,

E ? ? ? 10 ?

2 125

? 0?

16 125

? 10 ?

32 125

? 20 ?

3 125

? 30 ?

24 125

? 40 ?

48 125

?

3000 125

? 24

………14 分 17. (广东省汕头市 2009 年高中毕业生学业水平考试文科数学) (本小题满分 12 分) 田忌和齐王赛马是历史上有名的故事,设齐王的三匹马分别为 A、B、C,田忌的三匹 马分别为 a、b、c;三匹马各比赛一次,胜两场者为获胜。若这六匹马比赛优、劣程度可以 用以下不等式表示:A>a>B>b>C>c。 (1)如果双方均不知道对方马的出场顺序,求田忌获胜的概率; (2)为了得到更大的获胜概率,田忌预先派出探子到齐王处打探实情,得知齐王第一场必 出上等马。那么,田忌应怎样安排出马的顺序,才能使自己获胜的概率最大? 17.解:记 A 与 a 比赛为(A,a) ,其它同理. (1)齐王与田忌赛马,有如下六种情况: (A,a)(B,b)(C,c) (A,a)(B,c)(C,b) 、 、 ; 、 、 ; (A,b)(B,c)(C,a) (A,b)(B,a)(C,c) 、 、 ; 、 、 ; (A,c)(B,a)(C,b) (A,c)(B,b),(C,a) ……………4 分 、 、 ; , 其中田忌获胜的只有一种: (A,c)(B,a)(C,b) 、 、 ∴田忌获胜的概率为
1 6



……………………6 分

(2)已知齐王第一场必出上等马 A,若田忌第一场必出上等马 a 或中等马 b,则剩下二场, 田忌至少输一场,这时田忌必败。 为了使自己获胜的概率最大,田忌第一场应出下等马 c。 ……………8 分 后两场有两种情况: ①若齐王第二场派出中等马 B,可能的对阵为: (B,a)(C,b)或(B,b)(C,a). 、 、 田忌获胜的概率为
1 2



……………………10 分

②若齐王第二场派出下等马 C,可能的对阵为: (C,a)(B,b)或(C,b)(B,a). 、 、 田忌获胜的概率也为
1 2

.
1 2

∴田忌按 c、 b 或 c、 a 的顺序出马,才能使自己获胜的概率达到最大 a、 b、 分 法二:各种对阵情况列成以下表格: A 1 2 3 4 5 6 a a b b c c B b c a c a b C c b c a b a

。.………………12

……………4 分 其中田忌获胜的只有第 5 种这一种情况,

∴田忌获胜的概率为

1 6



……………………6 分

(2)为了使自己获胜的概率最大,田忌第一场应出下等马 c, ……………8 分 即只能是第 5、6 种情况,其中田忌获胜的只有第 5 种, ∴田忌按 c、a、b 或 c、b、a,才能使自己获胜的概率达到最大
1 2

。 .………12 分

17. (广东省湛江高三第二次月考(理科)数学试题) (本题满分 12 分)甲、乙、丙 三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一 局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其 中一人连胜两局或打满 6 局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为 相互独立.求: (Ⅰ) 打满 3 局比赛还未停止的概率; (Ⅱ)比赛停止时已打局数 ? 的分别列与期望 E ? . 17.解:令 A k , B k , C k 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜. (Ⅰ)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满 3 局比赛还未 停止的概率为 P ( A1 C 2 B 3 ) ? P ( B 1 C 2 A 3 ) ?
1 2
3

1 2

,且各局胜负

?

1 2
3

?

1 4

. 1 2
2

(Ⅱ)? 的所有可能值为 2,3,4,5,6,且 P ( ? ? 2 ) ? P ( A1 A2 ) ? P ( B B ) ? 1 2
P ( ? ? 3) ? P ( A1 C 2 C 3 ) ? P ( B 1 C 2 C 3 ) ? 1 2
3

?

1 2
2

?

1 2

,

?
1 2

1 2
4

3

?

1 4
1

.
? ? ? 1 8 1 2
5

P ( ? ? 4 ) ? P ( A1 C 2 B 3 B 4 ) ? P ( B 1 C 2 A 3 A 4 ) ?

?

2 1 2

4

. ? ? 1 16 1 16 , ,

P ( ? ? 5 ) ? P ( A1 C 2 B 3 A 4 A 5 ) ? P ( B 1 C 2 A 3 B 4 B 5 ) ? P ( ? ? 6 ) ? P ( A1 C 2 B 3 A 4 C 5 ) ? P ( B 1 C 2 A 3 B 4 C 5 ) ?

5

1 2
5

1 2
5

故有分布列
?

2
1 2

3
1 4

4
1 8

5
1 16

6
1 16

P

从而 E ? ? 2 ?

1 2

? 3?

1 4

? 4?

1 8

? 5?

1 16

? 6?

1 16

?

47 16

(局).


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