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空间向量及其线性运算


第 8 章 向量代数与空间解析几何

本章主要介绍两部分内容.
第一部分是向量代数. 向量在理论研究和工程技术中有着广泛的 应用,是重要的数学工具.
第二部分是空间解析几何. 我们知道平面解析几何是用代数方法 来解决平面几何问题,类似地,空间解析几何是通过空间向量将代数 运算引入到空间几何中来,从代数的角度来处理空间几何问题.

本章先介绍向量的一些基本知识, 再利用向量的运算建立空间平 面和直线的方程,然后介绍空间曲面和曲线的方程和特性.

22-2

8.1 空间向量及其线性运算
8.1.1 8.1.2 8.1.3 空间直角坐标系 空间向量的概念及线性运算 向量的坐标表示

22-3

8.1.1

空间直角坐标系

为了从代数的角度去研究几何问题,我们用类似于平面解析几何 的做法,在空间建立坐标系将几何与代数沟通起来,使得空间的点与 有序数组相对应,将空间的几何图形用代数关系来表示.
在空间取三条相交于一定点 O,且两两垂直的数轴,每一数轴有 相同的长度单位,以 O 点为 原点.这三条数轴分别称为 x 轴(横轴) 、y 轴(纵轴) 、 z 轴(竖轴) ,其方向符合右 手法则(图 8-1-1) .
22-4

这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系,称为 Oxyz 直角标系 (或称为右手系) ,O 称为坐标原点.

在空间直角坐标系中,每两条坐标轴可以确定一个平面,称为坐 标面,因此有三个坐标面,分别称为 xOy 坐标面、yOz 坐标面和 zOx 坐标面.这三个坐标面相互垂直,把空间分成八个部分,每一部分称 为一个卦限.含有 x 轴、y 轴和 z 轴正半轴的卦 限称为第一卦限, 第五卦限在第一卦限的下方, 其他第二、三、四卦限,第六、七、八卦限分别 在 xOy 上方和下方,按逆时针方向确定八个卦 限,分别用罗马字母Ⅰ,Ⅱ,…,Ⅷ表示(图 8-1-2) .
22-5

设 M 为空间中任意一点,过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、 y
设三个垂足 P,Q,R 在 轴和 z 轴(图 8-1-3) , x 轴,y 轴和 z 轴上的坐标依次为 x,y 和 z,于 是点 M 就惟一地对应于一个有序数组( x, y, z ).

反之,对给定的有序数组( x, y, z ),过 x 轴, y 轴和 z 轴上坐标分别为 x, y, z 的三个点作三个垂直 于 x 轴, y 轴和 z 轴的平面,这三个平面相交于空间惟一一个确定的点 M. 因此空间的点 M 与有序数组( x, y, z )一一对应, 称( x, y, z )为点 M 的 坐标,其中 x, y, z 分别称为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标,并把点 M 记为 M( x, y, z ).
22-6

设 M1( x1, y1, z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 是空间中的两点,为了计算 M1 与 M2 之间的距离 |M1M2|, 过 M1 和 M2 各作三个分别垂直于坐标轴的平面, 这六个平面围成了一个以 M1M2 为对角线的长方体(图 8-1-4) .
该长方体各棱的长度分别为

x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ,由此得对
角线 M1M2 的长度,即 M1 与 M2 之 间的距离公式为
| M1M 2 |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2 ,

(8.1.1)
22-7

例 8.1.1 求与两定点 A(1,? 1, 2),B(21 ,,? 3) 距离相等的点 M ( x, y, z) 的轨迹.

解 由于 MA ? MB ,从而有
( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( z ? 2)2 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( z ? 3) 2 ,

化简得点 M 的轨迹为
x ? 2 y ? 5z ? 4 ? 0 .

22-8

8.1.2

空间向量的概念及线性运算

(一) 向量的概念

自然界中的 很多量不仅有数量的属性, 而且还有方向的属 性.例如位移、速度、力、力矩等等.我们把这种既有大小、又有 方向的量称为向量,通常用黑体字母 a,b,或上方带有箭头的字母 ? ? a, b 等表示.在几何上,通常用有向线段来表示向量,有向线段的 长度表示向量的大小,有向线段的方向表示 向量的方向.

例如起点为 M1,终点为 M2 的有向线段
?????? ? M 1M 2 就表示一个确定的向量(图 8-1-5) .
22-9

? ? ?????? 向量的大小也称为向量的模或向量的长度,记作 |a|,| a |,| M 1M 2 |

等,向量的模总是一个非负数.
模为 1 的向量称为单位向量.通常用 i , j, k 分别表示 x 轴、y 轴 和 z 轴正向的单位向量,并称其为基本单位向量(图 8-1-6) . ? 模为 0 的向量称为零向量,记为 0 或 0 , 零向量的方向可以是任意的.

如果向量 a 与 b 的模相等且方向相同, 就称 a 与 b 相等,记为 a=b. 依此定义,相

等向量与其起点位置无关,因此,一个向量在作任何平移变化时保 持不变,我们将具有这种特征的向量称为自由向量,简称向量.
22-10

设有向量 a 和 b,将 a 或 b 平移使它们有共同的起点,称它们
?, b) ,其 ?, b) ,即有? ? (a 所在射线的夹角? 为 a 与 b 的夹角,记为 (a ? ) ? ? (图 8-1-7) 取值范围为 0 ? (a,b .
?, b) ? 0 或 π,就称向量 a 与 b 如果 (a

平行,记为 a∥b.
?, b) ? ? ,就称向量 a 与 b 垂 如果 (a 2

直,记为 a⊥b.

22-11

(二) 向量的线性运算
定义 8.1.1 设有两个不平行的向量 a 与 b,将它

们平移到同一个起点,并以 a,b 为邻边作平行四边 形,称以 a,b 共同起点的对角线向量 c 为 a 与 b 的 和, 记为 c ? a ? b (图 8-1-8) . 此方法称为向量加法的平行四边形法则.

向量加法的另一种方法:先作 a,然后将 b 的起点放在 a 的终点 作 b,则从 a 的起点到 b 的终点所构成的向量即为 a+b(图 8-1-9) ,此方法称为向量加法的三角形法则.

三角形法则对平行向量仍适用.
22-12

向量的加法满足下列性质: ⑴ a + 0=a; ⑵ 交换律 a + b=b + a; ⑶ 结合律 (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c.

定义 8.1.2 设有向量 a 以及实数 ? , 规定 ? 与 a 的乘积 (简称数乘) 是一个向量,记为 ? a ,其模为 |? a|=| ? ||a |, ? a 的方向规定为: 当 ? >0 时, ? a 与 a 同方向;当 ? <0 时, ? a 与 a 反方向; 当 ? =0 时, ? a =0.

特别地,1 ? a ? a ; (?1)a 称为 a 的负向量,记为 ?a .
并规定两个向量 a,b 的差为 a ? b ? a ? (?b) .
22-13

向量的数乘满足下列性质( ?,? 为实数) :
⑴ 结合律 ? ( ? a)= ? ( ? a)=( ? ? )a= ?? a;
⑵ 分配律 ( ? + ? )a= ? a+ ? a, ? (a+b)= ? a+ ? b;
1 ⑶ 设 a ? 0 ,则 a 是与 a 同方向的单位向量,通常记为 a0, a 1 即 a = a; a
0

⑷ 设a ? 0 , 则 a∥b 的充分必要条件为存在实数 ? , 使得 b=? a;
⑸ 设 P1,P2 为 u 轴上坐标分别为 u1,u2 的两点,e 为与 u 轴
???? 同方向的单位向量,则 PP 1 2 ? (u2 ? u1 ) e.
22-14

8.1.3

向量的坐标表示

(一 ) 向量的坐标

为了用代数方法研究向量,我们引入向量的坐标,把向量与有 序数组联系起来,从而将向量的运算转化为数的运算.
设 a 是以 M1( x1, y1, z1 ) 为起点, M 2 ( x2 , y2 , z2 )
?????? ? 为终点的向量,即 a= M 1M 2 ,过点 M1, M2

各作三个垂直于坐标轴的平面,这六个平 面构成一个长方体(图 8-1-10) , 根据向量

的加法运算,有
?????? ? ????? ????? ????? a= M 1M 2 ? M 1P ? M 1Q ? M 1R .
22-15

????? ???? M 1P ? PP 而 1 2 ? ( x2 ? x1 ) i , ????? ????? M 1Q ? Q1Q2 ? ( y2 ? y1 ) j ????? ????? M 1R ? R1R2 ? ( z2 ? z1 )k , ?????? ? 分别称它们为 M 1M 2 在 x 轴,y 轴与 z 轴

上的分向量.

因此 ?????? ? a ? M1M 2 ? ( x2 ? x1 )i ? ( y2 ? y1 ) j ? ( z2 ? z1 )k ? ax i ? a y j ? a z k ,

(8.1.2)

?????? ? 其中 ax ? x2 ? x1, ay ? y2 ? y1, az ? z2 ? z1 分别称为 M 1M 2 在 x 轴,y 轴

和 z 轴上的投影.
22-16

?????? ? ax ? x2 ? x1, ay ? y2 ? y1, az ? z2 ? z1 也称为向量 a= M 1M 2 的坐标.

显然向量 a 与有序数组 ax , a y , az 一一对应,式(8.1.2)称为向量
?????? ? a= M 1M 2 的坐标表示,也记为 ?????? ? a ? {ax , ay , az } ,或 M 1M 2 ? {x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1} .

(8.1.3)

特别地,起点为原点 O(0,0,0),终点为 M( x, y, z )的向量为
???? ? r ? OM ? {x, y, z} ,

r 称为点 M 的向径.

注:向径的坐标与终点 M 的坐标相同,但概念不同,不可混淆.

22-17

利用向量的坐标,可将向量的加法与数乘运算转化为数量运算.
设 a ? ax i ? ay j ? az k ? {ax , ay , az }, b ? bx i ? by j ? bz k ? {bx , by , bz } ,

? 为任意实数,则
a ? b ? ? ax ? bx ?i ? ? ay ? by ? j ? ? az ? bz ?k ? {ax ? bx , a y ? by , az ? bz } ,

?a ? ?ax i ? ?ay j ? ?az k ? {?ax , ?ay , ?az } .
由此可得 a∥b( a ? 0 )的充分必要条件为存在实数 λ,使得

bx ? ?ax , by ? ?ay , bz ? ?az ,
即 a 与 b 的坐标成比例,上式也可写成
bx by bz ? ? , ax a y az

(8.1.4)

其中 ax , a y , az 不全为零,若个别为零,则相应的分子也为零.
22-18

(二 ) 向量的方向余弦
下面我们来求向量的模和方向. ?????? ? 设向量 a= M1M 2 ? {ax , a y , az } , 其中 M1 的坐标为 ( x1, y1, z1 ) ,M2 的坐标

为 ( x2 , y2 , z2 ) ,则由空间两点的距离公式得向量的模为 ?????? ? 2 2 2 a ?| M1M 2 |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 ? ax ? ay ? az . (8.1.5)

为了确定向量的方向,我们引入下面定义.
定义 8.1.3 设非零向量 a 与 x 轴,y 轴和 z 轴正向的
(? , ? , ? ?[0,? ]) ,称 ? , ? , ? 为 a 的方

夹角分别为? , ? , ?

向角, cos? ,cos ? ,cos ? 为 a 的方向余弦(图 8-1-11) .

22-19

向量 a 的方向可以用 a 的方向角或方向余弦来确定.

易知

ax ? a cos? , a y ? a cos? , az ? a cos? ,

因此,a 的方向余弦为
cos? ?
cos? ?

ax ax ? , 2 2 2 |a| ax ? a y ? az
ay |a| ? ay
2 2 ax ? ay ? az2

, cos? ?

az az ? . 2 2 2 |a| ax ? a y ? az

进而可知方向余弦有下面两个性质:
(1) cos2? ? cos2? ? cos2? ? 1 ; ax a y az 1 1 (2) {cos? ,cos ? ,cos ? } ? { , , } ? {ax , a y , az } ? a ? a 0 , |a| |a| |a| |a| a

即 {cos? ,cos ? ,cos ? }为与 a 同方向的单位向量.
22-20

例 8.1.2

?????? ? 设 M 1 (2, 2,0), M 2 (1, 3 , 2) , 求向量 a = M 1M 2 的模、 方向

余弦、方向角及与 a 平行的单位向量. ??????? 解 a = M1M 2 ? {1 ? 2,3 ? 2, 2 ? 0} ? {?1,1, 2} ,
| a |? (?1)2 ? 12 ? ( 2)2 ? 2 ,

1 1 2 cos? ? ? , cos ? ? , cos ? ? , 2 2 2

所以

2? ? ? ? ? , ? ? ,? ? , 3 3 4 1 1 2 0 a ? {cos? ,cos ? ,cos ? } ? {? , , } , 2 2 2

1 1 2 因此与 a 平行的单位向量为 ?a 0 ? ?{? , , } . 2 2 2
22-21

??? ? ? ? 例 8.1.3 已知向量 a ? AB 的两个方向角? ? , ? ? ,且与 z 轴相 3 4 ??? ? ??? ? 交为钝角. AB ? 2 ,起点 A(2,0,1) ,求 a 的另一个方向角? , AB 的 ??? ? 坐标, AB 的终点 B 的坐标.

解 由式

cos2? ? cos2 ? ? cos2? ? cos2

?
3

? cos2

?
4

? cos2? ? 1 ,

1 1 2? 得 cos 2 ? ? , ? 为钝角,故 cos ? ? ? ,从而得? ? . 4 2 3 ??? ? 又因为 AB ? 2 ,所以

??? ? 1 2 1 AB ? 2{cos? ,cos ? ,cos ? } ? 2{ , , ? } ? {1, 2, ?1} , 2 2 2

因此终点 B 的坐标为 (2 ? 1,0 ? 2,1 ? (?1)) ,即 B (3, 2,0) .
22-22


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