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三角恒等变换复习课件


三角恒等变换复习

基本思想:
理解三角函数中的4个“三”: (1)从知识层面看:三角函数公式系统的三条主线 ——同角关系式、诱导公式、变换公式(和、差、 倍角). (2)从问题层面看:三角变换三大问题——求值、化 简、证明. (3)从方法层面看:“三个统一”——解决三角函数 问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算 结构”方面 思考 (4)从算

法层面看:使用公式的三重境——顺用、 逆用、变用.

基本公式: 1、两角和与差的三角函数公式:

sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
sin(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 ? tan ? tan ?

2、辅助角公式

a sin x ? b cos x a b sin x ? cos x ) 2 2 ( ? a ?b a 2 ? b2 a 2 ? b2 2 2 (cos? sinx ? sin ? cos x ) ? a ?b
? a 2 ? b2 sin(x ? ? ) . b 其中? 由 sin ? ? , cos? ? 2 2
a ?b
说明: 利用辅助角公式可以将形如 y =a sin ? +b cos ?的函 数,转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三 角函数的最小正周期、最大(小)值、单调区间等。

这个公式 有什么作 用?

a a ?b
2 2

确定.

3. 二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

变形

(sin ? ? cos ? ) ? 1 ? sin 2?
2

2

? 1 ? 2sin ?
2

变形

1 ? cos 2? sin ? ? 2

变形

2 tan? tan2? ? 2 1 ? tan ?

( 降幂公式 )

4. 几个三角恒等式:(不要求记忆,但要会推导) (1)积化和差公式
1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 sin ? sin ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2

(2)和差化积公式
sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ??
2

cos

? ??
2

sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??
2

sin

? ??
2

? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2 sin sin
2 2

(3)半角公式
1 ? cos? cos ?? 2 2 ? 1 ? cos?
?
2 ??
1 ? cos?
?
2

1 ? cos? sin ? ? 2 2

?

tan

sin

=

2 ? sin 2 = ? cos 2

cos

?

1 ? cos? 2 ? 2 ? ? ? sin ? sin cos 2 2 2 ? 1 ? cos? sin 2 2 ? 2 ? ? ? sin ? sin cos 2 2 2 sin 2

?

1 ? cos ? ? sin ? sin ? ? 1 ? cos ?

注:在半角公式中,根号前的正负号,由角 的象限确定.

?
2

所在

(4)万能公式
α α α 2sin cos 2tan 2 2 2 α α sinα =2sin cos = = . α α α 2 2 sin2 +cos2 1+tan2 2 2 2 -sin 1-tan 2 2 2 2α 2α cosα =cos -sin = = . α α α 2 2 sin2 +cos2 1+tan2 2 2 2 cos
2α 2α 2α

基本知识框架:
S? ??
几何法,三 角函数线

S 2?
T? ? ? T? ??

C? ??

S? ? ?

C? ? ?

C 2?
C? S ?
2 2

T2?
T?
2

基础练习:
计算:

(1) cos74? sin 14? ? sin 74? cos14?
(2) sin 20 cos110 ? cos160 sin 70
? ? ? ?

3 ? 2

?1
1 4

(3)1 ? 2 sin 22.5
2

?

(4) sin 15 cos15

?

?

2 2

tan12? ? tan33? (5) 1 ? tan12? tan33?
(公式变,逆用)

1

典型例题:
例1:已知 ?,?为锐角, cos ? ?
求 cos ?的值

1 13 , cos( ? ? ? ) ? ? 7 14
注:⑴ 常用角的变换:
① ? ? (? ? ? ) ? ? ② 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? )

解: ??,?为锐角 ? 0 ? ? ? ? ? ?
1 13 又 ? cos ? ? , cos( ? ? ? ) ? ? 7 14 4 3 3 3 ? sin ? ? , sin(? ? ? ) ? , 7 14

③ 2? ? ? ? ? ? (? ? ? )
④ ? ? ? ?? ?? ?? ⑤ ? ? ? ? (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) 4 4 ⑵ 注意对角范围的要求。
2 2

23 ? cos( ? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? ? 98

? cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ]

[借题发挥]解决此类问题的关键在于寻找条件和结论中的角的关 系,分析角与角之间的互余、互补关系,合理拆、凑,把未知角 用已知角表示.

变式练习:

sin( 2? ? ? ) sin ? 例2:求证 ? 2 cos( ? ? ? ) ? sin ? sin ?

证明:左边

sin( 2? ? ? ) ? 2 cos( ? ? ? ) sin ? sin ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? 2 cos( ? ? ? ) sin ? ? sin ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ? sin ? sin ? ? sin ? ? 右边 sin( 2? ? ? ) sin ? ? ? 2 cos( ? ? ? ) ? sin ? sin ? ?

[借题发挥]证明的本质是化异为同,可以说,证明是有目 标的有目的化简. 左右归一或变更结论,常用定义法、化 弦法、拆项拆角法、1的变换法、公式变形法等方法.

例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角,向量 m ? (?1 , 3 ) , n ? (cos A , sinA) , m ? n ? 1 . 1 ? sin 2 B ( 2 ) 若 ? ?3 , 求 tanC . ( 1 ) 求角 A; 2 2 cos B ? sin B 解:(1) ? m ? n ? 1 ,
? (?1 , 3 ) ? (cos A , sinA) ? 1 , 3 即 3 sinA ? cos A ? 1 , 2( sin A ? 1 cos A) ? 1 , 2 2 ? sin(A ? ? ) ? 1 . 6 2 ? 0 ? A ? ? , ? ? ? A ? ? ? 5? , 6 6 6 ? A? ? ? ? , 即 A ? ? . 6 6 3

( 2 )由

1 ? sin2B ? ?3 , cos2 B ? sin2 B
即 cos B ? sinB ? ?3 , cos B ? sinB

(cosB ? si nB )2 得 ? ?3 , 2 2 cos B ? si n B
? cos B ? 0 ,
? tan B ? 2 ,

? 1 ? tan B ? ?3 , 1 ? tan B

? tanC ? tan[ ? ? ( A ? B)] ? ? tan(A ? B)
2? 3 ? 8? 5 3 . tan A ? tan B ? ? ?? 11 1 ? tan A tan B 1? 2 3
[借题发挥] 在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化 函数名的变化,合理选择公式进行变形,同时注意三角变换 技巧的运用.(给角求值,给值求值,给值求角)

课堂小结:
三角恒等变换实际上是对角、函数名称,以及函数形 (结构)的变换,这类问题,无论是求值化简证明以及 复杂的综合问题,一般的考虑方法是:

⑴ 找差异:角、名、形的差异;
⑵ 建立关系:角的和差关系、倍半关系等,名、形之间 可以用哪个公式联系起来; ⑶ 变公式:在实际变换过程中,往往需要将公式加以变 形后,正用或逆用公式. (4)常用技巧: ①弦化切 ②化“1” ③正切的和、积 ⑤“升幂”与“降次” ⑥辅助角 ④角变换

课后巩固:
5 1 (1) sin ? sin ? ? 12 12

(2) cos20? cos40? cos60? cos80? ?
(3)函数f ( x) ? cos2 x ? 2 sin x的值域为
(4) sin 7? ? cos15? sin 8? cos 7? ? sin15? sin 8?

=

1 1 1 1 3 (5)化简 ? ? cos 2? ( ? ? ? ? 2? ) ? 2 2 2 2 2

3 1 tan? (6)已知sin(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? , 则 ? 5 5 tan ?


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