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2012函数图象与性质


届高三数学二轮精品专题卷: 2012 届高三数学二轮精品专题卷: 函数图象与性质 1、2010 年 8 月 15 日,为悼念甘肃舟曲特大山洪泥石流遇难同胞,某校升旗仪式中,先把国 旗匀速升至旗杆顶部,停顿 3 秒钟后再把国旗匀速下落到离杆顶约占全杆三分之一处.能 正 确 反 映 这 一 过 程 中 , 国 旗 高 度 h( 米 ) 与 升 旗 时间 t( 秒 ) 的 函 数 关 系 的 大致 图 象 是 ( )

A

B

C

D

2 、 已 知 函 数 f (x) 是 R 上 的 单 调 增 函 数 且 为 奇 函 数 , 则 f (2012) 的 值 ( ) A.恒为正数 3 、 已 知 f (x ) = ? B.恒为负数 C.恒为 0 D.可正可负

? ? x + 3, ( x ≤ 1) , 则 函 数 g ( x) = f (x ) ? 3 x 的 零 点 个 数 为 ?? x 2 + 2 x + 3, ( x f 1) ?

( A.1

) B.2
x 3
2

C.3

D.4

? 1 4、 (理)函数 y = (2a ? 3) 2π

的部分图象大致是下列四个图像中的一个,试根据你的判断

选出合适的图像,





③ ) C.2
? 2 x ( x ≤ 1) ? f ( x ) = ?log x ( x > 1) ? 1 ? 2



根据图像可知, a 可能的取值是 ( A.
1 2

B.

3 2

D.4
y = f (?x)





























用心

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1

1 5、定义在 R 上的偶函数 f (x) 在 (? ∞,0] 上递减, f ? ? ? = 0 ,则满足 f (log ? ? ? 3?

8

x ) >0 的 x 的取

值范围是 A. (0,+∞)



) B. ? 0, ? U (2,+∞ )
? ? 1? 2?

C. ? 0, ? U ? ,2 ?
? ?

?

1? 8?

?1 ?2

?

D. ? 0, ?
?

?

1? 2?

6、已知定义在 R 上的偶函数 f (x ) ,满足 f (x ? 4) = ? f (x ) ,且在区间 [0,4] 上是增函数,则 ( ) A. f (15) < f (0) < f (?5) C. f (?5) < f (15) < f (0) B. f (0) < f (15) < f (?5) D. f (?5) < f (0) < f (15)

7、 (理)如图所示,ABCD 是边长为 60 2 的正方形,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直 角三角形,再沿虚线折起,使 A,B,C,D 四点重合,正好形成一个正四棱柱,则当正四棱 柱的外接球的体积最小时,正四棱柱的高等于( )

A.30

B. 30 2

C.40

D. 40 2

(文)将一个长、宽分别是 8,7 的铁皮的四角均切去边长为 x 的正方形,然后折成一个无 盖的长方体的盒子,则当这个长方体的对角线最短时,则的值为 ( A.1 B.2 C.
10 3


7 2

D.

? x3 , x ≤ 0, 8 、 已 知 函 数 f ( x) = ? 若 f ( 4 ? x2 ) ≥ f ( 3x ) , 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是 ?ln( x + 1), x >0.



) A. (? ∞,?1) U (4,+∞ ) B. (? ∞, ? 4]U [1,+∞ ) C. [?1,4] D. [?4,1]

9、根据表格中的数据,可以判定函数 f ( x) = ln x ? x + 2 有一个零点所在的区间为 (k , k + 1) k∈ N*) ,则 k 的值为( ) 1 0 2 0.69 3 1.10 4 1.39 5 1.61

x

ln x

A.2

B.3

C.4

D. 6

10、对于函数 f (x ) ,使 f (x ) ≤ n 成立的所有常数 n 中,我们把 n 的最小值 G 叫做函数 f (x ) 的上

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2













?2 ? x , x ≥ 0 ? f (x ) = ? 1 ?log 1 ( 2 ? x), x<0 ? 2











( A.0

) B.
1 2
2012 x +1 + 2010 2012 x + 1

C.1

D.2

11、已知 a>0 ,设函数 f (x ) = ( A.2008 )

( x ∈ [? a, a ]) 的最大值为 M ,最小值为 N ,那么 M + N

B.2009

C.4018

D.4022
x +1 y ? , ? 在函数 y = g (x ) 的 ? 3 2?

12、己知 f (x ) = log3 (x + 4) ,当点 (x, y ) 在函数 y = f (x ) 的图象上时,点 ? ? 图象上,则 g (x ) = 13、将函数 y =
3 + a ? 3x 3a ? 3 x

. 的图像向左平移一个单位后,得到 y = f (x ) 的图像 C1 ,若曲线 C1 关于 .

原点对称,那么实数 a 的值为

14 、 已 知 函 数 y = f x 2 + 1 定 义 域 是 ? 3 , 3 是 .

(

)

[

]

, 则 y = f (x ? 1) 的 定 义 域

15、若函数 f (x ) = x 2 ? 2 x + 2 的定义域和值域均为 [1, b] ,则 b = 16 、 已 知 函 数 f (x ) = x3 + log3 ( x 2 + 1 + x) , 则 对 于 任 意 实 数 a、b(a + b ≠ 0) , 则 0(填“大于”或“小于”. ) 17、设 b>0,二次函数 y = ax 2 + bx + a 2 ? 2 的图像为下列之一:


f (a ) + f (b ) a+b

① 则 a 的值为
3 2

② .
1





18、若函数 f ( x) = log a ( x 2 + x)(a > 0, a ≠ 1) 在区间 ? ,+∞ ? 内恒有 f ( x) > 0 ,则 f (x ) 的单调增区间 ? ?
?2 ?





19、直角梯形 ABCD 中, B 、 C 为直角顶点,且 AB < CD ,动点 P 从 B 出发,沿梯形的边按
B → C → D → A 的方向运动,设点 P 运动的路程为 x ,△ ABP 的面积为 f (x ) ,若函数

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3

y = f (x ) 的 图 像 如 下 图 所 示 , 则 △ ABD 的 面 积 为


3 ? ?lg x  x ≥ 2 ? 20 、 已 知 函 数 f ( x) = ? , 若 函 数 y = f (x ) ? k 无 零 点 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 ?lg(3 ? x)  x < 3 ? 2 ?





21、已知函数 f (x ) 与 g (x ) 满足 f (2 + x ) = f (2 ? x ) , g (x + 1) = g (x ? 1) ,且 f (x ) 在区间 [2,+∞ ) 上为减 函数,令 h(x ) = f (x ) ? g (x ) ,则下列不等式正确的有 ① h(?2) ≥ h(4) ② h(?2) ≤ h(4) ③ h(0) > h(4) . ④ h(0) = h(4)

22、已知函数 f (x ) = x 2 ? 2 x , g ( x ) = ax + 2(a>0) ,对任意的 x1 ∈ [?1,2] ,总存在 x0 ∈ [?1,2] ,使
g (x1 ) = f (x0 ) ,则实数 a 的取值范围是



23、在平面直角坐标系中,横纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数 f (x ) 的图象恰好通过
k k ∈ N ? 个格点,则称函数 f (x ) 为 k 阶格点函数.下列 4 个函数中是一阶格点函数的

(

)

有 ① f (x ) = ( ) x ? 1
1 2

. ② f (x ) = sin 2( x ? )
4

π

③ f (x ) = ? log3 x

④ f (x ) = 2 (x + 5)2 + 7

24、 f (x ) 与 g (x ) 是定义在同一区间 [a, b] 上的两个函数, 设 若对任意 x ∈ [a, b] , 都有 f (x ) ? g (x ) ≤ 1 成 立 , 则 称 f (x ) 和 g (x ) 在 [a, b] 上 是 “ 亲 密 函 数 ” 区 间 [a, b] 称 为 “ 亲 密 区 间 ” 若 , .
f (x ) = x 2 ? 3x + 4 与 g ( x ) = 2 x ? 1 在 [a, b] 上 是 “ 亲 密 函 数 ”, 则

b 的 最 大 值





25、如果存在正实数 a ,使得 f (x ? a ) 为奇函数, f (x + a ) 为偶函数,我们称函数 f (x ) 为“和谐函 数” .则下列函数是“和谐函数”有 ① f (x ) = (x ? 1)2 + 5
π ② f (x ) = cos 2? x ? ? ? ?
? 4?

.(把所有正确的序号都填上) ③ f (x ) = sin x cos x ④ f (x ) = ln x + 1

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4

2012 届同心圆梦专题卷数学专题二答案与解析 1、 【答案】B【解析】国旗的运动规律是:匀速升至旗杆顶部→停顿 3 秒→国旗匀速下落 至旗杆中部.对应的图象为 B. 2、 【答案】A【解析】 f (0) = 0 , f (x) 在 R 上递增, ∴ f (2012) > f (0) = 0 ,故选 A. 3、 【答案】B【解析】 g (x ) = f (x ) ? 3x 零点的个数 ? g (x ) = f (x ) ? 3x = 0 解的个数 y = f (x ) 的 图像与 y = 3x 的图像交点的个数.所以由数形结合易得 y = f (x ) 的图像与 y = 3x 的图像有 2 个 交点,故选 B. 4、 (理) 【答案】D【解析】函数为偶函数,排除①②,又函数值恒为正值,则排除④, 故图像只能是③,再根据图像,先增后减的特征可知 2a ? 3 >1,即 a >2,符合条件的只有 D 选项,故选 D.
? 2 x ( x ≤ 1) ? (文) 【答案】D【解析】先画出函数 f ( x ) = ?log x ( x > 1) 的图像,然后将图像关于 y 轴 ? 1 ? 2

做一次对称可得 y = f ( ? x ) 的图象,可得为 D.
?1? 5、 【答案】B【解析】由 f (x ) = f (? x ) = f (| x |) ,得 f (| log8 x |) > f ? ? =0,于是 log8 x > ? 3?
1 1 , ∴ 0 < x < 或 x >2,故选 B. 3 2

6、 【答案】B【解析】Q f ( x ? 4) = ? f ( x) ∴ f ( x ? 8) = ? f ( x ? 4) = f ( x) ,∴8 是函数 f (x) 的 一个周期, 又∴ f (15) = f (?1) = f (1), f (?5) = f (3) 又Q f (x) 在区间[0,4]上是增函数, ∴ f (0) f (1) f (3) ∴ f (0) f (15) f (?5) ,故选 B. < < < < 7、 (理) 【答案】C【解析】设纸盒的底边边长为 a ,正四棱柱体对角线为 l ,由已知可 得阴影部分等腰直接三角形的直角边长为 h ( 0 < h < 60 ) ,则 a = 2
60 2 ? 2 h = 60 ? h .要使正 2

四 棱 柱 的 外 接 球 的 体 积 最 小 , 只 需 正 四 棱 柱 的 体 对 角 线 最 短 ,
l2 =

( 2a) + h
2

2

= 2(60 ? h )2 + h 2 = 3(h ? 40 )2 + 2400 .所以当 h = 40 时,体积最小.[来源:

]

(文)【答案】【解析】 C 设对角线为 l , l 2 = f (x ) = (7 ? 2 x )2 + (8 ? 2 x )2 + x 2 = 9 x 2 ? 60 x + 113 , 则 根据二次函数单调性可知当 x =
10 10 7 时有最小值,且 < ,是符合实际情况的. 3 3 2

8、 【答案】D【解析】 f (x ) 在 R 上单调递增, f 4 ? x 2 ≥ f (3x ) ∴ 4 ? x 2 ≥ 3x ∴ ?4 ≤ x ≤ 1 ,故 选 D. 9、 【答案】B【解析】分别将 x 的值代入可得 f (1) >0, f (2) >0, f (3) >0, f (4) <0, f (5) , <0,因此零点在区间(3,4)内,所以 k = 3 . 10、【答案】【解析】 f (x ) 在 (?∞,0) 是单调递增的, f (x ) 在 [0,+∞ ) 是单调递减的, C 所以 f (x ) 在 R 上的最大值是 f (0) = 1 , ∴ n ≥ 1,∴ G = 1 故选 C.

(

)

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5

11、 【答案】D【解析】 f (x ) = 调递增的, ∴ f (x ) = 2012 ?
2 2012 x +1

2012 x +1 + 2010 2012 x + 1

= 2012 ?

2 2012 x + 1

Q y = 2012 x + 1 在 [? a, a ] 上是单

在 [? a, a] 上是单调递增的, ∴ M = f (a ) , N = f (? a ) ,
? 2 2012?a + 1 = 4022

∴ M + N = f (a ) + f (? a ) = 4024 ?

2 2012 + 1
a

12 、 【 答 案 】

1 1 ? log 3 ( x + 1) + , ( x>? 1) 【 解 析 】 依 题 意 , ? y ? x +1? ? 2 2 ? = g?
?2 ? 3 ?

? y = f (x ) = log3 ( x + 4)

,则

? x +1? 1 x +1 1 1 1 g? ? = log3 ( x + 4) 令 t = 则 x = 3t ? 1 ( t > ?1 ) ∴ g (t ) = log3 (3t + 3) = log3 (t + 1) + 所 , 3 2 2 2 ? 3 ? 2

以 g (x) =

1 1 log 3 ( x + 1) + , ( x>? 1) 2 2
1 + a ? 3x a ? 3x

14、 【答案】 ±1 【解析】由题意知,函数 y 平移后的表达式 f (x ) = 它 关 于 原 点 对 称 , 所 以 为 奇 函 数 , 故
f (x ) + f (? x ) = 1+ a ? 3x a ?3
x

, y = f (x ) , . 而

f (x ) = f (? x ) = 0

+

1 + a ? 3? x a ?3
?x

=

(a 2 ? 1)(3 x + 3 ? x ) (a ? 3 )(a ? 3
x ?x

, 所以 a 2 ? 1 = 0 ,∴ a = ±1 注意本题出现以

)

下常见错解:直接利用 f (0 ) = 0 得

1+ a = 0 ,解得 a = ?1 .这是典型的不等价转化的结果,因 a ?1

为“ f (0 ) = 0 ”是“函数 y = f (x ) 为奇函数”的必要不充分条件. 15、 【答案】 [2,5] 【解析】Q ? 3 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ x 2 ≤ 3 , ∴1 ≤ x 2 + 1 ≤ 4 , ∴ 对函数 y = f (x ? 1) 有 16、 【答案】b = 2 【解析】 f (x ) 的对称轴是 x = 1 ,则 f (x ) 在 [1, b ] 上单调递增,所以 f (b ) = b 即 b 2 ? 2b + 2 = b ,解得 b =2 或 1,又因 b >1,故 b = 2 . 21. 【答案】 大于 【解析】 f (x ) = x3 + log3 ( x 2 + 1 + x) , 可知函数是奇函数和增函数, 于是当 a + b >0,即 a > ?b ? f (a ) > f (?b ) = ? f (b ) ? f (a ) + f (b ) >0∴ 时
f (a ) + f (b ) >0. a+b f (a ) + f (b ) >0 同理可得 a + b <0 a+b
1 ≤ x ? 1 ≤ 4 , ∴ 2 ≤ x ≤ 5 , ∴ y = f (x ? 1) 的定义域是 [2,5] .

22. 【答案】 ? 2 【解析】因为 b >0,所以对称轴不与 y 轴重合,排除图像①②;对图像③, 开口向下,则 a <0,对称轴, x = ?
b >0 符合条件,图像④显然不符合.根据图像可知, 2a

函数过原点,故 f (0) = 0 ,即 a 2 ? 2 = 0 ,又 a <0,故 a = ? 2 . 23.

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6

【答案】 (0,+∞ ) 【解析】 令 u = x 2 + x ,当 x ∈ ( ,+∞) 时, u ∈ (1,+∞ ) ,而此时 f (x ) >0,所
3 2 1 2
2 3 9 以 a >1,所以函数 f (x ) = log a u 为增函数,又 u = ? x + ? ? ,因此 u 的单调递增区间为 ? ?

?

4?

16

3 ? 3 ? 2 3 ? ? ,+∞ ? .又 x + x >0,所以 x >0 或 x < ? ,所以函数 f (x ) 的单调增区间为 (0,+∞ ) . 4 2 2 ? ?

24. 【 答 案 】 4 【 解 析 】 根 据 y = f (x ) 的 图 像 可 得 BC = 4 , CD = 5 ,
∴ S ?ABD = 1 × 2 × 4 = 4 .25. 【命题立意】本题考查用数形结合法求参 2

AD = 5, AB = 2 ,

数的取值范围. 25、 【答案】k < lg 【解析】 在同一坐标系内作出函数 y = f (x ) 与 y = k
3 2

的图象,如右图,∴ 若两函数图象无交点,则 k < lg .
3 2

26. 【答案】②④【解析】由 f (2 + x ) = f (2 ? x ) ,得 f (x ) 关于 x = 2 对称, f (x ) 在区间 [2,+∞ ) 上为 减函数,得 f (x ) 在区间 (?∞,2] 上为增函数, ∴ f (?2) < f (0) = f (4) ,由 g (x + 1) = g (x ? 1) ,得 g (x + 2 ) = g (x ) , 即 g (x ) 是 以 2 为 周 期 的 周 期 函 数 , 于 是 g (?2 ) = g (0 ) = g (4 ) , 得
g (? 2) = g (0 ) = g (4 ) ≥ 0 , ∴ f (? 2 ) ? g (? 2 ) ≤ f (0 ) ? g (0 ) = f (4 ) ? g (4 ) ,即 h(?2 ) ≤ h(0 ) = h(4 ) .

27. 【答案】 ? 0, ? 【解析】设 f (x ) 与 g (x ) 在 [?1,2] 上的值域分别为 A 、 B ,由题知 A ? B ,易 2
? ? ? 1?

得 A = [?1,3] ,而 a >0,于是 B = [? a + 2,2a + 2] ,∴ ? 28.

?? a + 2 ≥ ?1 1 1 ,解得 a ≤ , ∴ 0< a ≤ . 2a + 2 ≤ 3 2 2 ?

【答案】②④【解析】①有无数个格点如 ? k ,2k ? 1 ( k 为正整数);②只有一个格点 (0,?1) ; ③有无数个格点如 3k ,?k ( k 为整数);④只有一个格点 (?5,7 ) . 29. 【答案】4【解析】依题意得 f ( x) ? g (x ) = x 2 ? 3 x + 4 ? 2 x + 1 = x 2 ? 5 x + 5 ≤ 1 ∴ ?1 ≤ x 2 ? 5 x + 5 ≤ 1
?x2 ? 5x + 5 ≤ 1 ?1 ≤ x ≤ 4 ? ∴? ,∴ ? ∴ 1 ≤ x ≤ 2 或 3 ≤ x ≤ 4 所以 b 的最大值为 4. 2 ? x ? 5 x + 5 ≥ ?1 ? x ≤ 2或x ≥ 3 ?

(

)

(

)

30.
π 【答案】②③【解析】①④由数形结合的思想显然不是“和谐函数” ;② f (x ) = cos 2? x ? ? ? ?
? 4?

可取 a =

π
4

π 1 π 验证可知 f (x ) = cos 2? x ? ? 是 ;③ ? ? “和谐函数” f (x ) = sin x cos x = sin 2 x 可取 a = 验
? 4? 2 4

. 证可知 f (x ) = sin x cos x 是“和谐函数”
7

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8


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