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2015届浙江省重点中学协作体第二次适应性测试数学(理科)试题及答案


浙江省重点中学协作体 2015 届第二次适应性测试 数学(理科)试题
分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

2015.01

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 3 至 4 页.满分 150

选择题部分(共 50 分)
注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其它答案标号。不能答在试题卷上. 参考公式: 球的表面积公式 棱柱的体积公式

S ? 4? R

2

V ? Sh
其中 S 表示棱柱的底面积,

球的体积公式

h

表示棱柱的高

4 V ? ?R 3 3
其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式

棱台的体积公式

V ?

1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3

其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高 如果事件 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B )

1 V ? Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高

A, B

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知 P ? ?x | 2 ? x ? k , x ? N ? ,若集合 P 中恰有 3 个元素,则( ▲ ) 。 A. 5 ? x ? 6 C. 5 ? x ? 6 B. 5 ? x ? 6 D. 5 ? x ? 6

2.设 f ( x) ? lg( 2 ? a) 是奇函数,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是( ▲ ) 。 1? x A. (?1, 0) C. (??, 0) B. (0,1) 5 D. (??, 0) (1, ??) 5 3.一个几何体的三视图及其尺寸(单位: cm )如图所示,则 该几何体的侧面积为( ▲ ) cm 。
2

5 5 8 侧(左)视图

8 正(主)视图

俯视图 8 (第 3 题图)

A. 50 C. 70

B. 60 D. 80

4.在空间给出下面四个命题(其中 m 、 n 为不同的两条直线, a 、 b 为不同的两个平面) ①m ^ a , n // a ? m ^ n ③m // n , n ^ b , m // a ? a ^ b 其中正确的命题个数有( ▲ ) 。 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ②m // n , n // a ? m // a ④m

n = A , m // a , m // b , n // a , n // b ? a // b

5.已知 f ( x) ? 2 x ? 3( x ? R) ,若 f ( x) ?1 ? a 的必要条件是 x ? 1 ? b(a, b ? 0) ,则 a, b 之间的关系是( ▲ ) 。 A. b ?

a 2

B. b ?

a 2

C. a ?

b 2

D. a ?

b 2

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 6.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 取值范围是( ▲ ) 。 x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12 ?
A. [1, 5] B. [2, 6] C. [3,10] D. [3,11]

uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v 7.已知 O 为 ?ABC 的外心, AB =16 , AC =10 2 ,若 AO=xAB ? yAC ,且 32 x ?
。 25 y ? 25 ,则 OA = ( ▲ ) A. 8 8.已知双曲线 B. 10 C. 12 D. 14

uuv

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为双曲线右支上的任意一点, a 2 b2



| PF1 |2 的最小值为 8a ,则双曲线离心率的取值范围是( ▲ ) 。 | PF2 |
B. ?1, 2 ? C. 1, 3 ?

+? ? A. ?1,

?

?

D. ?1, 3?

9.若 log4 ( x ? 2 y) ? log 4 ( x ? 2 y) ? 1 ,则 | x | ? | y | 的最小值是( ▲ ) 。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 2

10.已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0 ,等比数列 {bn } 的公比 q 是小于1 的正有理数。若

a1 ? d , b1 ? d 2 ,且
A.

2 2 a12 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于( ▲ ) 。 b1 ? b2 ? b3

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 8

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.阅读右侧程序框图,输出的结果 i 的值为 ▲ 。
开始

12.已知 k ? Z , AB ? (k , 1), AC ? (2,4), 若| AB | ? 4, 则?ABC 是直角三角形的概率是 ▲ 。
S ?1 i?3

13.已知球与棱长均为 2 的三棱锥各条棱都相切,则该球的表面 积为 ▲ 。


? 10 ? , ? ? (0, ) ,则 sin(2? ? ) 14.已知 cos(? ? ) ? 4 10 2 3
?
= ▲ 。

S ? 100 ?


输出i
S ? S?2
i

r uuu r uur uur uu u r uur uuu 15.已知 ?ABC 中, BC ? CA ? CA ? AB , BA ? BC ? 2 ,
且B??

结束

i ?i?2

(第 11 题图)

uuu r uur ? ? 2? ? , ? ,则 BC ? BA 的取值范围是 ?3 3 ?





16.已知椭圆的中心在坐标原点 O , A , C 分别是椭圆的上下顶点, B 是椭圆的左顶点, F 是 椭圆的左焦点,直线 AF 与 BC 相交于点 D 。若椭圆的离心率 为

1 ,则 ?BDF 的正切 2
值 ▲ 。 B C

y

17. 在等腰三角形 ABC 中,AB ? AC ,D 在线段 AC ,AD ? kAC ( k 为常数,且 0 ? k ? 1 ) , BD ? l 为定长,则 ?ABC 的面积 最大值为 ▲ 。

A

O

?
A

E

x

(第 18 题图)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分) 如图,已知单位圆上有四点 E ?1,0? , A? cos? ,sin ? ? ,

?? ? B ? cos 2? ,sin 2? ? , C ? cos3? ,sin 3? ? , ? 0 ? ? ? ? , 3? ?
分别设 ?OAC、?ABC 的面积为 S1和S2 .
cos ? 表示 S1和S2 ; (1)用 sin ?,

(2)求

S1 S ? 2 的最大值及取最大值时 ? 的值。 cos? sin ?

19. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 (1)求角 A 的值; (2)若角 B ?

2b ? 3c cos C ? 。 cos A 3a

?
6

, BC 边上的中线 AM ?

7 ,求 ?ABC 的面积。

20. (本小题满分 15 分) 如图,在几何体 SABCD 中, AD ? 平面 SCD , BC ? 平面 SCD , AD ? DC ? 2, BC ? 1,又 SD ? 2 ,

A

?SDC ? 1200 。
(1)求 SC 与平面 SAB 所成角的正弦值; (2)求平面 SAD 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值。

B

D
C

S

(第 20 题图)

21. (本小题满分 15 分) 已知椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且经过 2 a b 2

C

y
A

点 P(1, ) 。 过它的两个焦点 F1 , F2 分别作直线 l1 与 l2 ,

3 2

B

F1 O

F2
D

x

(第 21 题图)

l1 交椭圆于 A、 B 两点, l2 交椭圆于 C、D 两点,且 l1 ? l2 .
(1)求椭圆的标准方程; (2)求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围。

22. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1, a2 ? 6, a3 ? 11,且

(5n ? 8)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? An ? B, n ? 1,2,3,? ,其中 A, B 为常数。
(1)证明:数列 ?an ? 为等差数列; (2)证明:不等式 5amn ? am an ? 1 对任何正整数

m, n

都成立。

浙江省重点中学协作体 2015 届第二次适应性测试 数学(理科)答案
合题目要求的. 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 C 5 A 6 D 7 B 8 D 9 C 10 A 2015.01

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 7 12.

3 7

13. 2?

14.

4?3 3 10

2? ? 15. ? ?2, ? 3? ?

16. 3 3

l2 17. 2(1 ? k 2 )

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分) 本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、三角函数的性质等基础知识,同

时考查运算求解能力。满分 14 分。 解: (1)根据三角函数的定义,知 ?xOA ? ? , ?xOB ? 2? , ?xOC ? 3? ,

1 1 ?1?1? sin ? 3? ? ? ? ? sin 2? . 2 2 1 1 又因为 S1 +S 2 ? 四边形 OABC 的面积= ?1?1? sin? ? ?1?1? sin? ? sin? , 2 2 1 所以 S2 ? sin? ? sin 2? ? sin ? ?1 ? cos? ? . (7 分) 2
所以 ?xOA ? ?AOB ? ?BOC ? ? ,所 S1 ? (2)由(1)知 因为 0 ? ? ?

S1 S sin ? cos? sin ? ?1 ? cos? ? ?? ? ? 2 ? ? ? sin ? ? cos? ? 1 ? 2 sin ? ? ? ? ? 1. cos? sin ? cos? sin ? 4? ?

?

3 4 4 12 6? 2 S S ? 所以 1 ? 2 的最大值为 ,此时 ? 的值为 . 4 cos? sin ? 3
19. (本小题满分 14 分)

,所以 ?

?

?? ?

?

?

?

,所以 ?

2 ? ? 6? 2 ? sin(? ? ) ? sin ? , 2 4 12 4
(7 分)

本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分. 解: (1)因为 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C ,由正弦定理 得 (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin Acos C , 即 2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A = 3sin(A+C) . 因为 B=π-A-C,所以 sinB=sin(A+C), 所以 2sin B cos A ? 3 sin B . 因为 B∈(0,π),所以 sinB≠0, (2 分) (2 分)

? 3 ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? . 6 2 2? π (2)由(1)知 A ? B ? ,所以 AC ? BC , C ? . 3 6
所以 cos A ? 设 AC ? x ,则 MC ?

(3 分) (1 分)

1 x ,又 AM ? 7. 2

在△AMC 中,由余弦定理 得 AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2 ,

x x 即 x2 ? ( )2 ? 2 x ? ? cos120o ? ( 7)2 , 2 2
故 S?ABC ?

解得 x=2.

(4 分) (2 分)

1 2 2? x sin ? 3. 2 3

20. (本小题满分 15 分) 本题通过分层设计,考查了空间平行、垂直,以及线面成角等知识,考查学生的空间 想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 满分 15 分. 解:过点 D 作

DC

的垂线交 SC 于 E ,以

D

为原点,

分别以 DC , DE , DA 为 x, y, z 轴建立空间上角坐标系。

?SDC ? 1200 ,??SDE ? 300 ,又 SD ? 2 ,则点 S 到 y 轴的距离为 1,到 x 轴的距离
3。
则有 D(0,0,0) , S (?1, 3,0) , A(0, 0, 2) , C (2, 0, 0) , B(2, 0,1) 。 (1)设平面 SAB 的法向量为 ,



(4 分)

n ? ( x, y, z)

AB ? (2,0 ?1), AS ? (?1, 3, ?2)



2x ? z ? 0 ? ? ? 则有 ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ,取 x ? 3 ,得

n ? ( 3,5, 2 3)

,又

SC ? (3, ? 3,0)



设 SC 与平面 SAB 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? SC, n ? ?

2 3 10 ? , 20 2 3 ? 2 10
(5 分)



SC

与平面 SAB 所成角的正弦值为

10 。 20


(2)设平面 SAD 的法向量为

m ? ( x, y, z)

, A D? ( 0 , 0 ? 2) A , S ? ?( 1, ?3 , 2)

?2 z ? 0 ? ? ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ,取 则有 ?

x? 3

,得 m ? ( 3,1,0) 。

?c o s ?n m , ??

nm n?m

?

8 10 ? 2 10 ? 2 5 ,

故平面 SAD 与平面 21. (本小题满分 15 分)

SAB

所成的锐二面角的余弦值是

10 。 5

(5 分)

本题主要考查椭圆的标准方程的求解,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考 查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 解: (1)由

c 1 ? ? a ? 2c ,所以 a2 ? 4c2 , b2 ? 3c2 , a 2
将点 P 的坐标代入椭圆方程得 c ? 1 ,
2

(2 分)

(2 分)

故所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(1 分)

(2)当 l1 与 l2 中有一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为 0,此时四边形 的面积为 S ? 6 , 若 l1 与 l2 的斜率都存在,设 l1 的斜率为 k ,则 l2 的斜率为 ? , ? 直线 l1 的方程为 y ? k ( x+1 ) (2 分)

1 . k

? y ? k ( x ? 1) ? 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,联立 ? x 2 y 2 , ? ? 1 ? 3 ?4
消去 y 整理得, (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0
2 2 2 2

(1)

? x1 ? x2 ? ?

8k 2 , 4k 2 ? 3

x1 ? x2 ?

4k 2 ? 12 , 4k 2 ? 3

(1 分)

? | x1 ? x2 |?

12 k 2 ? 1 , 4k 2 ? 3
2

12(k 2 ? 1) (2) ? | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 4k 2 ? 3
注意到方程(1)的结构特征,或图形的对称性,可以用 ?

(1 分)

1 代替(2)中的 k , k

得 | CD |?

12(k 2 ? 1) , 3k 2 ? 4

(2 分)

1 72(1 ? k 2 )2 ,令 k 2 ? t ? (0, ??) , ? S ? | AB | ? | CD |? 2 2 2 (4k ? 3) ? (3k ? 4)

?S ?

72(1 ? t )2 6(12t 2 ? 25t ? 12) ? 6t , ? (4t ? 3) ? (3t ? 4) 12t 2 ? 25t ? 12

? 6?

6 6 288 ? 6? ? 12 49 49 12t ? ? 25 t

? S ?[

288 , 6) , 49 288 , 6] . 49
(3 分)

综上可知,四边形 ACBD 面积的 S ? [ 22. (本小题满分 14 分)

本题主要考查等差数列的概念与求和公式、不等式等基础知识,同时考查运算求解能 力。满分 14 分。 解:由已知,得 S1 ? a1 ? 1, S 2 ? a1 ? a2 ? 7 , S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 18 由 (5n ? 8)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? An ? B ,知

?? 3S 2 ? 7S1 ? A ? B ? A ? B ? ?28 ,即 ? ? ?2 A ? B ? 48 ?2S 3 ? 12S 2 ? 2 A ? B
解得 A ? ?20, B ? ?8 . (4 分)

(1) (5n ? 8)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? ?20n ? 8 所以 ②-①得 所以

① ② ③ ④

(5n ? 3)S n?2 ? (5n ? 7)S n?1 ? ?20n ? 28 (5n ? 3)S n?2 ? (10n ? 1)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? ?20 (5n ? 2)S n?3 ? (10n ? 9)S n?2 ? (5n ? 7)S n?1 ? ?20

④-③得 因为 所以 因为 所以 所以 又

(5n ? 2)S n?3 ? (15n ? 6)S n?2 ? (15n ? 6)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? 0 an?1 ? S n?1 ? S n (5n ? 2)an?3 ? (10n ? 4)an?2 ? (5n ? 7)an?1 ? 0
(5n ? 2) ? 0

an?3 ? 2an?2 ? an?1 ? 0 an?3 ? an?2 ? an?2 ? an?1 , n ? 1 a3 ? a2 ? a2 ? a1 ? 5
(5 分)

所以数列 {an } 为等差数列 (2) 由(1)可知, an ? 1 ? 5(n ? 1) ? 5n ? 4 , 要证 只要证 因为

5amn ? am an ? 1
5a mn ? 1 ? a m a n ? 2 a m a n ,

amn ? 5mn ? 4 ,

am an ? (5m ? 4)(5n ? 4) ? 25mn ? 20(m ? n) ? 16 ,
故只要证 即只要证

5(5mn ? 4) ? 1 ? 25mn ? 20(m ? n) ? 16 ? 2 a m a n ,
20 m ? 20 n ? 37 ? 2 a m a n ,因为

2 a m a n ? a m ? a n ? 5m ? 5n ? 8 ? 5m ? 5n ? 8 ? (15m ? 15n ? 29) ? 20 m ? 20 n ? 37
所以命题得证 (5 分)


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