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1.2.3 空间几何体的直观图2


1.2.3 空间几何体的直观图

1.通过画一些几何图形的直观图,了解斜二测画法的概念.
2.掌握斜二测画法画平面图形和简单立体图形的直观图的方法 .

3.通过观察三视图和直观图,知道空间图形的不同表示形式及
不同形式间的联系.

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)画轴:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O. 画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,

45° 135° 它们确定的平面表示___ 水 且使∠x′O′y′=_____(或 ______), 平面 _____.

(2)画线:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别
x′轴或y′ 轴的线段. 画成平行于___________

保持长 (3)取长度:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中_______
度不变 平行于y轴的线段,长度_____________. 为原来的一半 _______, 斜二测画法的位置特征与度量特征简记为:横不变,纵折半,平 行位置不改变.

2.空间几何体直观图的画法 z 轴,直观图 (1)画轴:与平面图形的直观图画法相比多了一个__ z′ 轴. 中与之对应的是____

xOy 表示水平平面,平面____ yOz 和____ xOz 表示竖直 (2)画平面:平面____
平面. (3)取长度:已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直 平行性和长度 都不变. 观图中_____________ 虚线 (4)成图处理:成图后,去掉辅助线,将被遮挡的部分改为_____.

1.如果平面图形中的两条线段平行且相等,那么在它们的直观 图中对应的两条线段( A.平行且相等 C.相等不平行 )

B.平行不相等 D.既不平行也不相等

【解析】选A.由斜二测画法可知,平行关系不变,长度仍然相等.

2.利用斜二测画法得到的: ①三角形的直观图一定是三角形; ②正方形的直观图一定是菱形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的个数是__________.

【解析】由斜二测画法的规则可知①正确; ②错误,是一般的平行四边形; ③错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形,而菱形的直观 图也不一定是菱形,④也错误. 答案:1

3.已知AB=2CD,AB∥x轴,CD∥y轴,AB的直观图是A′B′,CD的直 观图是C′D′,则A′B′=________C′D′. 【解析】因为AB∥x轴,所以AB=A′B′, 因为CD∥y轴,所以CD=2C′D′.因为AB=2CD, 所以A′B′=4C′D′. 答案:4

4.如图所示的直观图,其平面图形的面积为________.

【解析】其平面图形为一直角三角形,所以其平面图形的面积 为S= 1 ×3×4=6.
2

答案:6

5.一个水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中,点B的坐 标为(2,2),则在用斜二测画法画出的直观图中,顶点B′到x′ 轴的距离为________.

【解析】在直观图中A′B′C′O′是有一个角为45°且长边长 为2,短边长为1的平行四边形,所以B′到x′轴的距离为 答案: 2
2 2 . 2

一、平面图形的直观图

探究1:观察上面的图形,其中图2为图1的直观图.思考下面的问 题: (1)从数量关系来看哪些数量关系发生了变化?哪些没有发生变 化? 提示:从图形可以看出与y轴重合或平行的线段数量关系减半 ; 与x轴重合或平行的线段数量关系不变 . (2)从线的平行关系来看原图形与直观图有什么变化? 提示:从图形中可以看出,原图形中平行的直线,在直观图中保 持平行.

(3)在直观图中,点B′与C′的位置是如何确定的? 提示:对于B′点,因为A′B′=AB,故截取A′B′=2即可确定B′ 点,对于C′,因为BC∥y轴,故B′C′∥y′轴,且B′C′= 1 BC,
2

由此过B′作B′C′∥y′轴,且B′C′=1,即可确定C′点.

探究2:通过上面的图形回答斜二测画法中的“斜”“二测”分

别指什么?
提示:“斜”是指斜投影,具体说是在已知图形的xOy平面内垂

直于x轴的线段在直观图中均与x′轴成45°或135°;
“二测”是指两种度量形式,即在直观图中,平行于x′轴或平 行于z′轴的线段长度不变;平行于y′轴的线段长度变为原来 的一半.

【探究总结】直观图中的“变”与“不变” (1)平面图形用直观图表示时,一般来说,平行关系不变. (2)点的共线性不变,线的共点性不变,但角的大小有变化,特别 注意垂直关系中角的变化特点.

二、空间图形的直观图 探究:如图是一个正四棱锥,探究以下问题,体 会空间图形直观图的画法 (1)在画平面图形直观图的基础上,考虑应如何 建系? 提示:过P作PO⊥平面ABCD,过O作AB的平行线交AD与BC于M,N两 点,则以MN所在直线为x轴,以PO所在直线为z轴建系较合适.

(2)在画此正四棱锥的直观图时,与z轴平行的线段在直观图中 与哪个轴平行,长度是否改变? 提示:在画立体图形的直观图时,与z轴平行的线段在直观图中 与z′轴平行且长度不变.

【探究总结】空间图形直观图画法原则 (1)z轴的建立应尽可能过空间图形的顶点. (2)与z轴平行的线段平行性及长度保持不变. (3)被遮挡的线要画成虚线.

【拓展延伸】画直观图时建立坐标系的原则 (1)平面图形中若有互相垂直的直线,一般取这两条互相垂直的 直线作为坐标轴. (2)若平面图形为轴对称图形,一般取对称轴作为坐标轴;若平 面图形为中心对称图形,一般取对称中心为坐标原点. (3)若这些条件都不具备,则建系的原则是使多边形的顶点尽可 能多地落在坐标轴上.

类型一

平面图形直观图的画法

1.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边平行于x 轴,y轴,则直观图中∠A′=( A.45° B.135° ) C.45°或135° D.90°

2.如图画出水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.

【解题指南】1.根据斜二测画法的规则判断. 2.先建立直角坐标系,然后根据直观图的画法规则画图. 【自主解答】1.选C.根据斜二测画法规则,平行于坐标轴的直 线,在直观图中分别平行于x′轴和y′轴,所以∠A′=45°或 135°.

2.(1)如图,取线段AB所在直线为x轴,线段AB 的中点O为原点,建立直角坐标系,画对应的坐 标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°. (2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=
1 OE,以E′为中点画C′D′∥x′,并使C′D′=CD. 2

(3)连接B′C′,D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平 放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图所示.

【规律总结】平面图形直观图的画法策略 (1)对于已有坐标系的,按照斜二测画法的规则作图即可,对于 与坐标轴不平行的线,可通过过定点作与坐标轴平行线的方法 作图. (2)对于没有坐标系的,选取适当的坐标系是关键,一般是使平 面多边形的顶点尽可能多地落在坐标轴上,这样有利于画点. (3)原图中共线的,在直观图中仍然共线,原图中平行的直线,在 直观图中仍然平行.

【变式训练】 用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放 置图,正确的是( )

【解题指南】利用斜二测画法的规则进行判断. 【解析】选B.以直角顶点为坐标原点建立坐标系,由斜二测画 法规则知,在直观图中此角变为钝角,排除C和D,又原三角形的 高在y轴上,在直观图中在y′轴上,长度减半,故为B.

类型二

空间图形直观图的画法

1.在画空间图形的直观图时,x′轴,y′轴,z′轴所成的角
∠x′O′y′=____________,∠x′O′z′=________.

2.已知某几何体的三视图如图,试用斜二测画法画出它的直观
图.

【解题指南】1.空间图形的直观图相比平面图形的直观图多了 一个z′轴,z′轴与x′轴垂直,x′轴,y′轴与平面图形直观图 的画法保持一致. 2.先根据三视图,确定该几何体的结构特征,再根据直观图的画 法规则画出该几何体的直观图.

【自主解答】1.由立体图形直观图的画法规则知∠x′O′y′= 45°(或135°),∠x′O′z′=90°. 答案:45°(或135°) 90°

2.由该几何体的三视图可知该几何体是一个简单组合体 ,下方 是一个四棱柱,上方是一个四棱锥,并且下方的四棱柱与上方的 四棱锥底面重合,可以先画下方的四棱柱,再画上方的四棱锥. (1)画轴.如图(1)所示画出x轴、y轴、z轴,三轴交于点O,使 ∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画棱柱的底面.以O为中点,在x轴上画MN=2,在y轴上画EQ=1, 分别过点M,N作y轴的平行线,过点E,Q作x轴的平行线,设它们的 交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD就是该棱柱的下底面.

(3)画棱柱的侧棱.分别以A,B,C,D四个顶点为起点作平行于z轴,
长度为1的线段,得四条侧棱AA′,BB′,CC′,DD′,顺次连接

A′B′,B′C′,C′D′,D′A′.
(4)画四棱锥的顶点.在Oz上截取线段OP使OP=2.

(5)成图.连接PA′,PB′,PC′,PD′,擦去辅助线,将被遮挡部
分改为虚线,可得图(2)所示的直观图.

【规律总结】画空间几何体的直观图应注意的三个原则 (1)坐标系的建立要充分利用几何体的对称性,一般坐标原点建 在图形的对称中心处. (2)要先画出底面的直观图,然后再画出其余各面. (3)与z轴平行的线段在直观图中应与z′轴平行且长度保持不 变.

【变式训练】

试画出底面边长为1.2cm,高为1.5 cm的正四棱锥的直观图.
【解析】画法:(1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴,

∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如图(1).

(2)画底面.以O为中心,在xOy平面内画出正方形直观图ABCD,使
AB=1.2cm,BC=0.6cm.

(3)画顶点.在Oz轴上截取OP,使OP=1.5cm.
(4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部 分改为虚线,得正四棱锥的直观图,如图(2).

类型三

直观图中的计算问题

1.(2014·桂林高一检测)已知正三角形ABC的边长为a,那么 △ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(
3 2 A. a 4 3 2 B. a 6 6 2 C. a 8 6 2 D. a 16

)

2.如图是四边形的直观图为腰和上底长均为1的等腰梯形, ∠B′=∠C′=45°,求原四边形的面积.

【解题指南】1.先建立坐标系,然后画出△ABC的直观图 △A′B′C′,求出△A′B′C′相关的边,确定其面积. 2.利用直观图与原图形线段的长度关系求直观图的面积.

【自主解答】1.选D.如图①②所示的实际图形和直观图.

由②可知,A′B′=AB=a, O?C? ? 1 OC ? 3 a. 在②中作C′D′⊥A′B′于D′,则 C?D? ? 2 O?C? ? 6 a, 所以S△A′B′C′= 1 A′B′·C′D′=
2

2

4

8 1 6 6 2 ?a? a? a . 2 8 16

2

2.取B′C′所在直线为x′轴,因为∠A′B′C′=45°,所以取
B′A′为y′轴,过D′点作D′E′∥A′B′,D′E′交B′C′于

E′,则B′E′=A′D′=1,又因为梯形为等腰梯形,所以
△E′D′C′为等腰直角三角形,所以E′C′= 直角坐标系,xBy,如图:
2 .再建立一个

在x轴上截取线段BC=B′C′=1+ 2 ,在y轴上截取线段BA=2B′A′ =2,过A作AD∥BC,截取AD=A′D′=1.连接CD,则四边形ABCD就是 四边形A′B′C′D′的实际图形.四边形ABCD为直角梯形,上底 AD=1,下底BC=1+ 2 ,高AB=2,所以四边形ABCD的面积 S=
1 AB·(AD+BC)= 2 1 2×(1+1+ × 2

)=2+ 2

. 2

【规律总结】平面图形的直观图与原图形关系的两个关注点 (1)平行关系的不变性,充分利用与x轴、y轴平行的线段,是解 题的关键. (2)长度关系的变化,尤其是与y轴平行的线段计算时应特别注 意,还原为原图长度时应为直观图中长度的2倍. 即要记住:“横不变,纵折半,平行位置不改变”

【拓展延伸】平面图形与其直观图面积关系

根据斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不
变,而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半,同时要倾斜

45°,因此直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图中相应点
距x轴距离的 1 sin45? ? 2 倍,所以许多规则平面图形,直观图
4 与原图面积之比都为 2 . 4 2

【变式训练】 已知在△ABC中,AC=12cm,边AC上的高BD=12cm.求其水平放置的 直观图的面积.

【解析】画x′轴,y′轴,两轴交于O′点,使∠x′O′y′=45°. 作△ABC的直观图如图所示,则其底边A′C′=AC=12cm,B′D′=
1 BD=6cm,故△A′B′C′的高为 2 所以 B?D? ? 3 2 cm, 2 2 S△A′B′C′= 1 ? 12 ? 3 2 ? 18 2 ? cm 2 ?. 2


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