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双曲线及椭圆练习


椭圆及双曲线练习题
椭圆与双曲线基础训练 A 组题 2011 年 11 月 24 日星期四(A 组题是文理共做,B 组题理科必做,文科选作) 1 已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 ( ? 4,) , ( 4,) ,则双曲线方程为( A ) 0 0
x
2

A.

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

4

12

12

4

10

6

6

10

2 平面直角坐标系 xO y 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,则它的离心率为(A)
5 2

A. 5
? ? 15 ? 4 ? ? ?

B.

C. 3

D. 2
2 2

3 过点 P ? 3, ? , Q ? ?

16

y x ? , ? 且焦点在坐标轴上的双曲线标准方程为 - =1 5 9 16 3 ? x2 5
2

4. c ?

6 ,经过点(-5,2) ,焦点在 x 轴上的双曲线标准方程为. - y =1
x
2

5.与双曲线

?

y

2

? 1 有相同焦点,且经过点 3 2, 的双曲线标准方程为____ 2

16
2

4
2

?

?

x2 y2 - =1 12 8

6 双曲线 2 x ? 3 y ? 1 的渐近线方程是 ___
x
2

y=±

6 x 3

7 双曲线

? y ? 1 的实轴长为 ____ 2 2
2

2 x
2

8 已知方程

k ?5 x
2

?

y

2

3?k
2

? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围____.(3,4)∪(4,5)

9 过双曲线 ___8

?

y

4

3

? 1 左焦点 F1 的直线交曲线的左支于 M , N 两点, F2 为其右焦点,则 M F 2 ? N F 2 ? M N 的值为

10 已知双曲线

x a x

2 2

?

y b y

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的离心率 e ?

5 4

, 一个焦点到一条渐近线的距离为 6,则其焦 距等于

20

2

2

11 已知双曲线

?

9

16

? 1 的右焦点分别为 F1 、 F 2 ,点 P 在双曲线上的左支上且 PF 1 PF 2 ? 32 ,则 ? F1 PF 2 =__
2

π . 2

12 已知 F1 、F 2 是椭圆 C:
2 2

x

4

+ y ? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆 C 上且满足 ? F1 PF 2 ? 90 ? ,则 ? F1 PF 2 的面积____1.
2

13 已知椭圆 4 x ? y ? 1 及直线 y ? x ? m . (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为
2 10 5

,求直线的方程.

解: (1)把直线方程 y ? x ? m 代入椭圆方程 4 x ? y ? 1 得
2 2

4 x ? ? x ? m ? ? 1 ,即 5 x ? 2 mx ? m ? 1 ? 0 .
2 2
2 2

? ? ? 2 m ? ? 4 ? 5 ? ?m ? 1 ? ? ? 16 m ? 20 ? 0 ,
2 2 2

解得 ?

5 2

? m ?

5 2



(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 x 1 , x 2 ,由(1)得
x1 ? x 2 ? ? 2m 5

, x1 x 2 ?

m ?1
2



5

根据弦长公式得
1?1 ?
2

m ?1 2 10 ? 2m ? ? . ?? ? ? 4? 5 ? 5 5 ?
2

2

解得 m ? 0 . 因此,所求直线的方程为 y ? x . B 组题 1 设 F1, F2 分别是双曲线 x A. 1 0 2 已知 点 P 是双曲线
x a
2 2

2

y

2

9

???? ???? ? ???? ???? ? ? 1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且 P F1 ? P F2 ? 0 ,则 P F1 ? P F 2 ? (

B )

B. 2 1 0
? y b
2 2

C. 5

D. 2 5

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 右 支上一点, F1 , F2 分别为双曲线的左、右焦点, I 为△ P F1 F 2 的内心,

若 S ? IPF 1 ? S ? IPF 2 ? ? S ? IF 1 F 2 成立,则 ? 的值为 ( B ) A.
a ?b
2 2

B.
2

a a ?b
2 2

C.
x
2

b a

D.
2

a b

2a

3 若椭圆

x

2

?

y

? 1 ( m ? n ? 0 ) 和双曲线

?

y t

m

n

s

? 1 ( s , t ? 0 ) 有相同的焦点 F1 和 F 2 ,而 P 是这两条曲线的一个交
1 2 (m ? s)

点,则 PF 1 ? PF 2 的值是(A

) .A. m ? s

B.

C. m ? s
2

2

D. m ?
x
2

s

4 在平面直角坐标系 xO y 中, 已知 ? A B C 顶点 A ( ? 4, 0) 和 C ( 4, 0 ) , 顶点 B 在椭圆 5 已知双曲线 k x ? y ? 1 ? k ? 0 ? 的一条渐近线的法向量是 ?1, 2 ? ,那么 k ?
2 2 2

?

y

2

? 1 上, 则

sin A ? sin C sin B

?

25

9

5 4

1 2

6 已知椭圆

x m

2 2

?

y

2

? 1( m ? 0 ) 和双曲线

x n

2 2

?

y

2

16

9

? 1( n ? 0 ) 有相同的焦点 F1、F2,点 P 为椭圆和双曲线的一个交点,

则|PF1|·|PF2|的值是 7 以椭圆
x
2

25

?

y

2

? 1 的焦点为焦点,过直线 l: x ? y ? 9 ? 0 上一点 M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点 M 应在

12

3

何处?并求出此时的椭圆方程

解:如图所示,椭圆

x

2

?

y

2

12

3

? 1 的焦点为 F1 ? ? 3, ? , F 2 ?3, ? . 0 0

点 F1 关于直线 l: x ? y ? 9 ? 0 的对称点 F 的坐标为(-9,6) ,直线 FF 2 的方程 为 x ? 2 y ? 3 ? 0 .解方 程组 ?
MF 1 ? MF 2 最小.
?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? y ? 9 ? 0

得交点 M 的坐标为( -5,4 ) .此时

所求椭圆的长轴
2 a ? MF 1 ? MF 2 ? FF 2 ? 6 5 ,

∴ a ? 3 5 ,又 c ? 3 , ∴b ? a ? c ? 3 5
2 2 2

?

?
2

2

? 3 ? 36 .
2

因此,所求椭圆的方程为
x a
2 2

x

?

y

2

? 1.
???? ???? ? F 2 ,且 F1 P ? F 2 P ? ? 6 .

45

36

8 已知椭圆 E :

?

y b

2 2

?1 (a ? b ? 0

)过点 P (3, 1) ,其左、右焦点分别为 F1 ,

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若 M , N 是直线 x
????
? 5 上的两个动点,且 F1 M ? F2 N

,则以 M N 为直径的圆 C 是否过定点?请说明理由.

解: (1)设点 F1 , F 2 的坐标分别为 ( ? c , 0), ( c , 0)( c ? 0) , 则 F1 P ? (3 ? c ,1), F2 P ? (3 ? c ,1), 故 F1 P ? F2 P ? (3 ? c )(3 ? c ) ? 1 ? 10 ? c 2 ? ? 6 ,可得 c ? 4 , 所以 2 a ? | P F1 | ? | P F2 |?
(3 ? 4 ) ? 1 ?
2 2 2 2

???? ?

???? ???? ?

…………………2 分

(3 ? 4 ) ? 1 ? 6 2 ,…………………4 分

故 a ? 3 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 18 ? 16 ? 2 , 所以椭圆 E 的方程为
x
2

?

y

2

? 1.
?????

……………………………6 分
?????

18

2

(2)设 M , N 的坐标分别为 (5, m ), (5, n ) ,则 F1 M ? (9, m ), F2 N ? (1, n ) , 又 F1 M ? F2 N ,可得 F1 M ? F2 N ? 9 ? m n ? 0 ,即 m n ? ? 9 , 又圆 C 的圆心为 (5,
m ?n 2 ), 半径为 |m ? n| 2 m?n 2 ) ?(
2

?????

?????

????? ?????

…………………8 分


|m ?n| 2 ) ,
2

故圆 C 的方程为 ( x ? 5) 2 ? ( y ?
2 2

即 ( x ? 5) ? y ? ( m ? n ) y ? m n ? 0 , 也就是 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? ( m ? n ) y ? 9 ? 0 , 令 y ? 0 ,可得 x ? 8 或 2, 故圆 C 必过定点 (8, 0 ) 和 (2, 0) . ……………………13 分 ……………………11 分

(另法: (1)中也可以直接将点 P 坐标代入椭圆方程来进行求解; (2)中可利用圆 C 直径的两端点直接写出圆 C 的方 程)

9 已知: 椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 过点 A ( ? a , ,

0 ) ,B ( 0 ,

b ) 的直线倾斜角为

?
6

, 原点到该直线的距离为

3 2



(1)求椭圆的方程; (2)斜率大于零的直线过 D ( ? 1,
0 ) 与椭圆交于 E , F 两点,若 ED ? 2 DF ,求直线 EF 的方程;
0 ) ?若存在,求出 k 的

(3)是否存在实数 k ,直线 y ? kx ? 2 交椭圆于 P , Q 两点,以 PQ 为直径的圆过点 D ( ? 1, 值;若不存在,请说明理由. 解(1)由
b a ? 3 3



1 2

a ?b ?

1 2

?

3 2

?

a

2

?b

2

,得 a ?

3 ,b ? 1 ,

所以椭圆方程是:

x

2

? y

2

? 1 ……………………4 分

3 x
2

(2)设 EF: x ? my ? 1 ( m ? 0 )代入

? y

2

? 1 ,得 ( m

2

? 3 ) y ? 2 my ? 2 ? 0 ,
2

3

设 E ( x1 ,

y1 ) , F ( x 2 ,
2m m 1
2 2

y 2 ) ,由 ED ? 2 DF ,得 y 1 ? ? 2 y 2 .

由 y1 ? y 2 ? ? y 2 ? 得 (?
m 2m
2

?3

, y1 y 2 ? ? 2 y 2 ?

2

?2 m
2

?3

……………………8 分

?3

)

2

? m

?3

,? m ? 1 , m ? ? 1 (舍去)(没舍去扣 1 分) ,

直线 EF 的方程为: x ? y ? 1 即 x ? y ? 1 ? 0 ……………………10 分
x
2

(3)将 y ? kx ? 2 代入

? y

2

? 1 ,得 ( 3 k

2

? 1) x ? 12 kx ? 9 ? 0 (*)
2

3

记 P ( x1 ,
( x 1 ? 1,
(k
2

y1 ) , Q ( x 2 , y 1 ) ? ( x 2 ? 1,

y 2 ) ,PQ 为直径的圆过 D ( ? 1,

0 ) ,则 PD ? QD ,即

y 2 ) ? ( x 1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y 1 y 2 ? 0 ,又 y 1 ? kx 1 ? 2 , y 2 ? kx 2 ? 2 ,得
? 12 k ? 14 3k
2

? 1) x 1 x 2 ? ( 2 k ? 1)( x 1 ? x 2 ) ? 5 ? 7 6

?1 7 6

? 0 .………………14 分

解得 k ?

,此时(*)方程 ? ? 0 ,? 存在 k ?
x
2

,满足题设条件.…………16 分

10 已知椭圆

? y ? 1 中心为 O ,右顶点为 M ,过定点 D ( t , 0)( t ? ? 2) 作直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点.
2

4

(1)若直线 l 与 x 轴垂直,求三角形 O A B 面积的最大值; (2)若 t ?
6 5

,直线 l 的斜率为 1 ,求证: ? A M B ? 9 0 ;
o

(3)直线 A M 和 B M 的斜率的乘积是否为非零常数?请说明理由. .解:设直线 l 与椭圆的交点坐标为 A ( x1 , y1 )、 B ( x 2 , y 2 ) .
x
2

(1)把 x ? t 代入

? y ? 1 可得: y ? ?
2

1 2

4?t ,
2

(2 分)

4

则 S ?OAB ? O D ? A D ?

1 2

?t ?

4?t

2

? 1 ,当且仅当 t ? ?

2 时取等号

(4 分)

6 ? ?y ? x? 5 44 48 ? 2 (2)由 ? 2 得 125 x ? 240 x ? 44 ? 0 , x1 x 2 ? , x1 ? x 2 ? (6 分) 125 25 ? x ? y2 ? 1 ? 4 ?
6 ?? 6? ? ? x1 ? ? ? x 2 ? ? 5 ?? 5? ?
x1 x 2 ? 6

所以 k A M k B M ?

y1 y 2

? x1 ? 2 ? ? x 2 ? 2 ?
44 ?

?

? x1 ? 2 ? ? x 2 ? 2 ?

?

5 25 x1 x 2 ? 2 ? x1 ? x 2 ? ? 4

? x1 ?

x2 ? ?

36

6 48 36 ? ? ?64 o ? 125 5 25 25 ? ? ?1 ? ? AM B ? 90 44 48 64 ? 2? ?4 125 5

(9 分)

(3)直线 A M 和 B M 的斜率的乘积是一个非零常数. 当直线 l 与 x 轴不垂直时,可设直线方程为: y ? k ( x ? t ) ,
? y ? k (x ? t) ? 2 2 2 2 2 由? x2 消去 y 整理得 ( 4 k ? 1) x ? 8 k tx ? 4 k t ? 4 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 4

(11 分)

? ?? ? 0 ? 2 8k t ? 则 ? x1 ? x 2 ? 2 4k ? 1 ? 2 2 ? 4k t ? 4 x1 x 2 ? ? 2 4k ? 1 ?



又 ?

? y 1 ? k ( x1 ? t ) ? y2 ? k ( x2 ? t )

② (13 分)

所以 k A M k B M ?

y1 y 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

?

k ( x1 x 2 ? t ( x1 ? x 2 ) ? t )
2 2

x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4

?

t?2 4( t ? 2)

( 常 数 ) (15 分)

?x ? t 1 ? 当直线 l 与 x 轴垂直时,由 ? x 2 得两交点 A ( t , 2 2 ? y ?1 ? ? 4

4 ? t ), B ( t , ?
2

1 2

4?t ),
2

显然 k A M k B M ?

t?2 4 (t ? 2 )

.所以直线 A M 和 B M 的斜率的乘积是一个非零常数.(16 分)
1 2

11 已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为

,且椭圆 E 上一点到两个焦点距离之和为 4; l1 , l 2 是过

点 P(0,2)且互相垂直的两条直线, l1 交 E 于 A,B 两点, l 2 交 E 交 C,D 两点,AB,CD 的中点分别为 M,N。 1)求椭圆 E 的方程; (2)求 l1的 斜 率 k 的取值范围; (3)求证直线 OM 与直线 ON 的斜率乘积为定值(O 为坐标原点) 12 如图,已知圆 G : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 经过椭圆
x a
2 2

y
? y b
2 2

? 1 (a ? b ? 0) 的
5 6

B D
C O

右焦点 F 及上顶点 B ,过椭圆外一点 ? m , 0 ? ? m ? a ? 且倾斜角为 ? 的直线

F

(m , 0) x

l

交椭圆于 C , D 两点. (I)求椭 圆的方程; (Ⅱ若 F C ? F D ? 0, 求 m 的值. 解: (I)∵圆 G : x ? y ? 2 x ?
2 2

???? ????

[来源:Zx

2 y ? 0 经过点 F,B,

∴F(2,0) ,B(0 2 ) , ∴ c ? 2, b ?
2

2,

∴ a ? 6 . 故椭圆的方程为

x

2

?

y

2

? 1.
3 3

.…………………5 分
( x ? m )( m ? 6 ).

6

2

(Ⅱ)由题意得直线 l 的方程为 y ? ?

2 ?x2 y ? ?1 ? ? 6 2 2 2 由? 消去 y 得 2 x ? 2 mx ? m ? 6 ? 0 . 3 ? y ? ? (x ? m) ? 3 ?

由△ ? 4 m ? 8 ( m ? 6 ) ? 0 , 解得 ? 2 3 ? m ? 2 3 .
2 2

又m ?

6 ,?

6 ? m ? 2 3.

……………………8 分
m
2

设 C ( x 1 , y 1 ), D ( x 2 , y 2 ), 则 x 1 ? x 2 ? m , x 1 x 2 ? ∴ y1 y 2

?6 2

,

2 ? ? ? ? 3 3 1 m m ? ?? ( x1 ? m ) ? ? ? ? ( x 2 ? m ) ? ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? . 3 3 3 3 3 ? ? ? ?
[来源:学科网 ZXXK]

∵ FC ? ( x 1 ? 2 , y 1 ), FD ? ( x 2 ? 2 , y 2 ),
? FC ? FD ? ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? y 1 y 2 ?
FC ? FD ? 0 , 即 2 m ( m ? 3) 3 ? 0,

…… …………………10 分
4 3 x1 x 2 ? m ?6 3 ( x1 ? x 2 ) ? m 3
2

?4 ?

2 m ( m ? 3) 3

.∵

解得 m ? 0 或 m ? 3,又

6 ? m ? 2 3 ,? m ? 3 .


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