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2016高三文数二轮复习专题一第4讲不等式、线性规划(选择、填空题型)


【专题】一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 第四讲 不等式、线性规划(选择、填空题型) 1.命题点:两个数(代数式)的大小比较、一元二次不等式的求解、基本不等式的应用、简 单的线性规划. 2 交汇点:两个实数(代数式)的大小比较与函数的单调性,一元二次不等式与二次函数、一元二次方程, 基本不等式与函数的应用,线性规划与直线的方程、斜率、截距、距离、图形的面积等知识交汇考查. 3.常用方法:一元二次不等式的解法,分离参数法解决不等式恒成立问题,利用“穿根法”求解高次不 等式. [必记公式] 2 ? a?b? ? 1.a2+b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当 a=b) 2.ab≤ ? ? 2 ? (a,b∈R). a2+b2 a+b 2ab 3. 2 ≥ 2 ≥ ab≥a+b(a>0,b>0). 4.2(a2+b2)≥(a+b)2(a,b∈R,当 a=b 时等号成立) [重要结论] 1.不等式的四个性质:注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求,如 (1)a>b,c>0?ac>bc,a>b,c<0?ac<bc. (2)a>b>0,c>d>0?ac>bd. n n (3)a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1). (4)a>b>0? a> b(n∈N,n≥2). 2.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应 二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 f?x? f?x? >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. g?x? g?x? (3)简单指数不等式的解法 当 a>1 时,af(x)>ag(x)?f(x)>g(x); 当 0<a<1 时,af(x)>ag(x)?f(x)<g(x). (4)简单对数不等式的解法 当 a>1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且 f(x)>0,g(x)>0; 当 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)<g(x)且 f(x)>0,g(x)>0. 3.判断二元一次不等式表示的平面区域的方法 在直线 Ax+By+C=0 的某一侧任取一点(x0,y0),通过 Ax0+By0+C 的符号来判断 Ax+By+C>0(或 Ax +By+C<0)所表示的区域. [易错提醒] 1.忽略限制条件致误:应用不等式的性质时,要注意限制条件. 2.注意符号成立的条件:用基本不等式求最值时,若连续进行放缩,只有各等号成立的条件保持一致 时,结论的等号才成立. 3.忽略基本不等式求最值的条件致误:利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”,三 个条件缺一不可. 4.解分式不等式时,直接把分母乘到一边,不注意分母的取值范围,致误.

热点一 例1

不等式的解法
x , x<0 ,则 f(x)≥-2 的解集是( ? 1? x f ( x) ? ? log x 1 ,x>0 ? 2
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(1)已知

)

1? 1? ? ? ? 1 ? ? 1 ? A. ? - ?, - ? ∪[4,+∞)B. ? - ?, - ? ∪(0,4]C. ?- , 0 ? ∪[4,+∞)D. ?- , 0 ? ∪(0,4] 3? 3? ? ? ? 3 ? ? 3 ?

? 1? (2)[2015· 西安八校联考]设集合 A={x|lg (10-x2)>0},集合 B= ? x | 2 x < ? ,则 A∩B=( ) 2? ? A.(-3,1) B.(-1,3) C.(-3,-1) D.(1,3) 触类旁通:求解不等式的方法 (1)对于一元二次不等式,应先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程 ax2+bx+c= 0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等 式)求解. (3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类,关键是找到对参数进行讨论的原因,确定好分类标 准,有理有据、层次清楚地求解. ? x ?1 ? 1.[2015· 长春质监]已知集合 P={x|x≥0},Q= ? x | ) ? 0? ,则 P∩(?RQ)=( ? ? x?2 A.(-∞,2) B.(-∞,-1] C.(-1,0) D.[0,2] x ?2 ,x∈[0,1? 3 2.[2015· 石家庄]函数 f(x)=? ,若 f(x0)≤2,则 x0 的取值范围是( ?4-2x,x∈[1,2]
3 ? 3 ? ? ?5 5? ? 2 2 ? ? A. ? B. log , 0 , log ? ?? 2 ??? , ? 2 4? ? ? ? ? ? ? ?4 热点二 简单的线性规划问题 3 ? ? ?5 ? ? 3 ? ?5 ? 2 2 ? ? log2 C. ?0,log2 D. ? , 2 , 1? ? ? , 2? ? ? ? ? ? ? ?4 ? ? ? ?4 ?

)

例 2(1)[2015· 云南统测]某校今年计划招聘女教师 a 名,男教师 b 名,若 a、b 满足不等式组,?a ? b ? 2 ? 设这所学校今年计划招聘教师最多 x 名,则 x=( ) ?a<7 ? A.10 B.12 C.13 D.16 (2)x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为( )
? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

?2 a ? b ? 5

1 A.2或-1

1 B.2 或2

C.2 或 1

D.2 或-1

触类旁通:解决线性规划问题应关注三方面 (1)首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或 边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决. (2)画可行域时应注意区域是否包含边界. (3)对目标函数 z=Ax+By 中 B 的符号,一定要注意 B 的正负与 z 的最值的对应,要结合图形分析. 1.定义在[-2,4]上的函数 f(x)的部分值如下表: x f(x) -2 1 0 -1 4 1 b+3 的取值范围是( a+3

f(x)的导函数 f′(x)的图象如图,两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1,则

)


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原料限额

2.[2015· 陕西高考]某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料. 已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可 用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( ) A.12 万元 C.17 万元 热点三 B.16 万元 D.18 万元

A(吨) B(吨)

3 1

2 2

12 8

基本不等式的应用

x y (1)[2015· 沈阳质监]若直线 l:a+b=1(a>0,b>0)经过点(1,2),则直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距之和的 最小值是________. (2)设二次函数 f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则 1 9 + 的最大值为________. c+1 a+9

触类旁通:利用基本不等式解题应关注三方面 (1)利用基本不等式求最值的注意点①在运用基本不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三相等”, 凑出定值是关键.②若两次连用基本不等式,要注意等号的取得条件的一致性,否则就会出错. (2)求条件最值问题的两种方法 一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数),借助于函数单调性 求最值;二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决. (3)结构调整与应用基本不等式 基本不等式在解题时一般不能直接应用,而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合 点”,即把研究对象化成适用基本不等式的形式,常见的转化方法有 b b ①x+ =x-a+ +a(x>a). x-a x-a a b ?a b? ? ②若x+ y=1,则 mx+ny=(mx+ny)×1=(mx+ny)· ?x ? y? ? ≥ma+nb+2 abmn(字母均为正数). ? ?

1 2 1.[2015· 湖南高考]若实数 a,b 满足a+b= ab,则 ab 的最小值为( A. 2 B.2 C.2 2 D.4 2.[2015· 陕西高考]设 f(x)=ln

)

1 ? a?b? x,0<a<b,若 p=f( ab),q= f ? ? ,r=2(f(a)+f(b)),则下列关系式 ? 2 ?

中正确的是( ) A.q=r<p B.p=r<q C.q=r>p D.p=r>q 3.[2015· 重庆高考]设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为________.

-x ?2 +1,x≤0 1.已知函数 f(x)=? ,若 f(f(-1))>4a,则实数 a 的取值范围为( ) ?log3x+ax,x>0 1? ? A.(-∞,1)B.(-∞,0)C. ? - ?, ? D.(1,+∞) 5? ? 2 2.若关于 x 的不等式 x +ax-2>0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为________.

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一、选择题 1.已知集合 A={x|x2-x<0},集合 B={x|2x<4},则“x∈A”是“x∈B”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设非零实数 a,b 满足 a<b,则下列不等式中一定成立的是( 1 1 A.a>b B.ab<b2 C.a+b>0 D.a-b<0 )

3.[2015· 烟台]若条件 p:|x|≤2,条件 q:x≤a,且 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( A.a≥2B.a≤2C.a≥-2D.a≤-2

)

?x≥0 4. [2015· 江西八校联考]已知 O 为坐标原点, 点 M 的坐标为(-2,1), 在平面区域?x+y≤2 ?y≥0
则使|MN|取得最小值时,点 N 的坐标是( ) A.(0,0) B.(0,1) C.(0,2) D.(2,0)

上取一点 N,

?x+1-y≥0 5.[2015· 南昌一模]已知实数 x,y 满足?x+y-4≤0 ?y≥m
2,则实数 m 的值为( A.4 B.3 ) C.2 1 D.-2

,若目标函数 z=2x+y 的最大值与最小值的差为

x y 6.[2015· 福建高考]若直线a+b=1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于( A.2 B.3 C. 4 D.5

)

7.[2015· 河北省名校联盟监测(二)]函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 2 1 mx+ny+2=0 上,其中 m>0,n>0,则m+n的最小值为( ) 5 9 A.2 2 B.4 C.2 D.2

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