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2011年广州市高三年级调研测试文科数学


2011 年广州市高三年级调研测试

数学(文科)
本试卷共 4 页,共 21 题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 2011.01 注意事项: 1. 答卷前, 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、 试室号、 座位号填写在答题卡上, 并用 2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。 2B 铅笔将试卷类型 用 (A) 填涂在

答题卡相应位置上。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需 改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、 多涂的,答案无效。 参考公式:锥体的体积公式 V ?
1 3 S h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.

一、 选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 题目要求的. 1. 函数 g ? x ? ?
x ? 3 的定义域为



A. ? x x ? ? 3 ?

B. ? x x ? ? 3 ?

C. ? x x ? ? 3 ?

D. ? x x ? ? 3 ?

2.已知 i 为虚数单位, 则复数 z ? i (1 ? i ) 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.设向量 a ? ( 2 , 0 ) , b ? (1,1) ,则下列结论中正确的是 A. | a | ? | b | B. a ?b ?
2

1 2

C. a // b
2

D. ( a ? b ) ? b

4.已知直线 l 经过坐标原点,且与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 相切,切点在第四象限,则直线 l 的方程为
3 3 3 3

A. y ? ? 3 x

B. y ?

3x

C. y ? ?

x

D. y ?

x

5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示: 甲 平均环数 x 方差 s
2


8 .9


8 .9


8 .2

8 .6

3 .5

3 .5

2 .1

5 .6

从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是

A.甲

B. 乙

C. 丙

D.丁

6.如果执行图 1 的程序框图,若输入 n ? 6, m ? 4 ,那么输出的 p 等于 A.720 B.360 C.240 D.120 图1 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.“ x ? 2 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件
3 8.定义 x ? y ? x ? y , 则 h ? ? h ? h ? 等于

A. ? h

B. 0

3

3

C. h D. h 3 9. 一空间几何体的三视图如图 2 所示, 该几何体的 体积为 1 2 ? ? A. 5 C. 3
8 5 3
4 4 侧视图 x x

,则正视图中 x 的值为 B. 4
正视图

D. 2
?
4

10.若把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移

个单位,

沿 y 轴向下平移 1 个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标保持不变),得到函数
y ? sin x 的图象,则 y ? f

? x ? 的解析式为
B. y ? s in ? 2 x ?
? ?1 ?2 ?

俯视图 图2

A. y ? s in ? 2 x ?
? ?1 ?2

?

? ?

??1 4 ?

? ?

??1 2 ?

C. y ? s in ?

x?

? ?

? ?1 4 ?

D. y ? s in ?

x?

? ?

? ?1 2 ?

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已知等比数列 ? a n ? 的公比是 2 , a 3 ? 3 ,则 a 5 的值是 .

12.△ A B C 的三个内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? 2, b ? 3 ,
sin A sin ( A ? C )



?

.

13.设函数 f ? x ? ? ?

?2 ?

?x 2

,

x ? ? ? ? ,1 ? , x ? ?1, ? ? ? .

?x , ?

若 f ? x ? ? 4 ,则 x 的取值范围是
M B

.
A N D

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图 3,四边形 A B C D 内接于⊙ O ,
B C 是直径, M N 与⊙ O 相切, 切点为 A , ? M A B ? 3 5 ,
?

O C

则?D ?

.
? x ? 2t, ? y ? 1 ? 4t

15. (坐标系与参数方程选讲选做题)已知直线 l 的参数方程为: ?

( t 为参数) ,

图3

圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin ? ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin ? , 2 ) , b ? (co s ? ,1) , 且 a // b ,其中 ? ? ( 0 , (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin ( ? ? ? ) ?
3 5 , 0 ?? ?

?
2

).

?
2

,求 co s ? 的值.

17.(本小题满分 12 分) 某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数 分布)如下表: 学历 本科 研究生 35 岁以下 80
x

35~50 岁 30 20

50 岁以上 20
y

(1)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本 看成一个总体, 从中任取 2 人, 求至少有 1 人的学历为研究生的概率; (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人,其中 35 岁以 下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽取出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上 的概率为
5 39

,求 x 、 y 的值.

18.(本小题满分 14 分) 如图 4,在四棱锥 P ? A B C D 中,平面 P A D ? 平面 A B C D , A B ∥ D C ,
△ P A D 是等边三角形,已知 B D ? 2 A D ? 4 , A B ? 2 D C ? 2 5 .

P

(1)求证: B D ? 平面 P A D ; (2)求三棱锥 A ? P C D 的体积. A 19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 E :
x a
2 2

D

C B 图4

?

y

2

?1 a ?

3

?

3 的离心率 e ?

?

1 2

. 直线 x ? t ( t ? 0 )与曲线 E 交于

不同的两点 M , N ,以线段 M N 为直径作圆 C ,圆心为 C . (1)求椭圆 E 的方程; (2)若圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A , B ,求 ? A B C 的面积的最大值.

20. (本小题满分 14 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 1 ? a n ( n ? N ) .各项为正数的数列 { b n } 中,
*

对于一切 n ? N ,有 ?
*
k ?1

n

1 bk ? bk ?1

?

n b1 ? bn ?1

, 且 b1 ? 1, b 2 ? 2, b3 ? 3 .

(1)求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式; (2)设数列 { a n b n } 的前 n 项和为 T n ,求证: T n ? 2 .

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?
a x ( a ? R ) , g ? x ? ? ln x .

(1)求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间;
g ?x? x
2

(2)若关于 x 的方程

? f

? x ? ? 2e

( e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求 a 的值.

2011 年广州市高三调研测试 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明: 参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力, 1. 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同, 可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的 分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 C 6 B 7 A 8 C 9 C 10 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分, 满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. 1 2 12.
2 3

13. ? ? ? , ? 2 ? ? ? 2, ? ? ?

14. 1 2 5

?

15.相交

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化 的数学思想方法和运算求解能力) (1)解:∵ a ? (sin ? , 2 ) , b ? (co s ? ,1) , 且 a // b ,
s in ? 2 cos ? 1



?

, sin ? ? 2 cos ? . 即

?? 2 分

∵ sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ,

? ? ? 0,
?

?

? ?

?, 2 ?

解得 sin ? ? (2)解:∵ 0 ? ? ?

2 5 5

, co s ? ?

5 5

,
?
2

∴ sin ? ?
?? ?? ? 4 5

2 5 5

, cos ? ?

5 5

.

?? 6 分
3 5

?
2

,0 ? ? ?

?
2
2

,∴ ?

?
2

.

∵ sin (? ? ? ) ?

,

∴ c o s (? ? ? ) ?

1 ? s in (? ? ? ) ?

.

?? 8 分 ?? 10 分

∴ co s ? ? co s[? ? (? ? ? )] ? co s ? co s(? ? ? ) ? sin ? sin (? ? ? )
2 5 5

?

.

?? 12 分

17.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查分层抽样、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、

运算求解能力和应用意识) (1) 解: 用分层抽样的方法在 35~50 岁中抽取一个容量为 5 的样本, 设抽取学历为本科的人数为 m , ∴
30 50 ? m 5

, 解得 m ? 3 .

?? 2 分

∴ 抽取了学历为研究生 2 人,学历为本科 3 人,分别记作 S1、S2 ;B1、B2、B3 . 从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1),(S2, B2), (S2, B3), (S1, S2), (B1, B2), (B2, B3), (B1, B3). 其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件有 7 个: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1), (S2, B2), (S2, B3), (S1, S2). ∴ 从中任取 2 人,至少有 1 人的教育程度为研究生的概率为 (2)解: 依题意得:
10 N ? 5 39

?? 4 分
7 10

.

?? 6 分 ?? 8 分

,解得 N ? 7 8 .

∴ 35~50 岁中被抽取的人数为 7 8 ? 4 8 ? 1 0 ? 2 0 . ∴
48 80 ? x ? 20 50 ? 10 20 ? y

.

?? 10 分 ? 12 分

解得 x ? 4 0,

y ?5.

∴ x ? 4 0,

y ?5.

18.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及 空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
2 2 2 (1)证明:在 △ A B D 中,由于 A D ? 2 , B D ? 4 , A B ? 2 5 , ∴ A D ? B D ? A B .

? 2分

∴ AD ? BD . 又平面 P A D ? 平面 A B C D ,平面 P A D ? 平面 A B C D ? A D , B D ? 平面 A B C D , ∴ B D ? 平面 P A D . ?? 4 分 P O ? A D 交 AD 于 O . (2)解:过 P 作 又平面 P A D ? 平面 A B C D , ∴ P O ? 平面 A B C D . ?? 6 分 ∵ △ P A D 是边长为 2 的等边三角形, ∴ P O ? 由(1)知, A D ? B D ,在 R t △ A B D 中, 斜边 A B 边上的高为 h ?
AD ? BD AB 1 2 1 3 ? 4 5 5

3 .

P

.

?? 8 分

D
∵ A B ∥ D C ,∴ S △ A C D ?
CD ? h ? 1 2 ? 5? 4 5 5 ? 2 . ?? 10 分

C

O B

A
∴V A ? PC D ? V P ? AC D ?
1 3 S △ ACD ? P O ? ? 2? 3 ? 2 3 3

.

?? 14 分

19.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数 学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:∵椭圆 E :
x a
2 2

?

y

2

?1 a ?

3

?

3 的离心率 e ?

?

1 2

,



a ?3
2

?

1 2

.

2分

a

解得 a ? 2 .∴ 椭圆 E 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

?? 4 分

4

3
? x ? t, 2 1 2 ? 3t ? 2 由? x2 y2 得y ? . 4 ? ? 1, ? 3 ? 4

(2)解法 1:依题意,圆心为 C ( t , 0 )(0 ? t ? 2 ) .

∴ 圆 C 的半径为 r ?

1 2 ? 3t 2

2



?? 6 分

∵ 圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A , B ,且圆心 C 到 y 轴的距离 d ? t ,
1 2 ? 3t 2
2

∴ 0?t ?

,即 0 ? t ?

2

21 7



∴ 弦长 | A B | ? 2

r ?d
2

2

? 2

12 ? 3t 4

2

?t

2

?

12 ? 7t

2



??8 分

∴ ? A B C 的面积 S ?

1 2

? t 12 ? 7t

2

? 9 分?

1 2 7

?

?

7t ? 12 ? 7t

?

2

? 2

1 7

?

?

7t

?

2

? 12 ? 7t 2

2

?

3 7 7

.

?? 12 分

当且仅当 7 t ?

12 ? 7t

2

,即 t ?

42 7

时,等号成立.

∴ ? A B C 的面积的最大值为

3 7 7



?? 14 分
? x ? t, 2 1 2 ? 3t ? 2 2 2 由? x 得y ? . y 4 ? ? 1, ? 3 ? 4

解法 2:依题意,圆心为 C ( t , 0 )(0 ? t ? 2 ) .

∴ 圆 C 的半径为 r ?

1 2 ? 3t 2

2

.? 6 分

∴ 圆 C 的方程为 ( x ? t ) ? y ?
2 2

1 2 ? 3t 4

2



∵ 圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A , B ,且圆心 C 到 y 轴的距离 d ? t ,
1 2 ? 3t 2
2

∴ 0?t ?

,即 0 ? t ?

2

21 7



在圆 C 的方程 ( x ? t ) ? y ?
2 2

1 2 ? 3t 4

2

中,令 x ? 0 ,得 y ? ? ∴ ? A B C 的面积 S ?
1 2

12 ? 7t 2

2


2

∴ 弦长 | A B | ?

12 ? 7 t

2

. ?? 8 分

? t 12 ? 7t

?? 9 分

?

1 2 7

?

?

7t ? 12 ? 7t

?

2

? 2

1 7

?

?
2

7t

?

2

? 12 ? 7t 2
42 7

2

?

3 7 7

.

??12 分

当且仅当 7 t ?

12 ? 7t

,即 t ?

时,等号成立.

∴ ? A B C 的面积的最大值为 20.(本小题满分 14 分)

3 7 7



?? 14 分

(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能 力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:∵ S n ? 1 ? a n , 当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? 1 ? a 1 , 解得 a 1 ?
1 2

.

??1 分
an a n ?1 1 2

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? ? 1 ? a n ? ? ? 1 ? a n ? 1 ? ,得 2 a n ? a n ? 1 , 即
n ?1

?

.

?? 3 分

∴数列 { a n } 是首项为

1 2

, 公比为

1 2

的等比数列.∴ a n ?
n b1 ? bn ?1

1

?1? ?? ? 2 ?2?

?

1 2
n

.

?? 4 分

∵ 对于一切 n ? N ,有 ?
*
k ?1 n ?1

n

1 bk ? 1 ? bk ?1 bk ?1

?





当 n ? 2 时, 有

?

n ?1 b1 ? bn

k ?1

bk ?





① ? ② 得:

1 bn ? bn ?1

?

n b1 ? b n ?1

?

n ?1 b1 ? bn

化简得:

( n ? 1) b n ? 1 ? n b n ? b1 ? 0 ,

③ ④ ??6 分

用 n ? 1 替换③式中的 n ,得: n b n ? 2 ? ( n ? 1) b n ? 1 ? b1 ? 0 ,

③-④ 整理得: b n ? 2 ? b n ? 1 ? b n ? 1 ? b n , ∴当 n ? 2 时, 数列 { b n } 为等差数列. ∵ b 3 ? b 2 ? b 2 ? b1 ? 1 ,∴ 数列 { b n } 为等差数列. ∵ b1 ? 1, b 2 ? 2 ?? 8 分

∴数列 { b n } 的公差 d ? 1 . ∴ b n ? 1 ? ? n ? 1 ? ? n . (2)证明:∵数列 { a n b n } 的前 n 项和为 T n , ∴ Tn ?
1 1 2 1 2
2

?? 10 分

?

2 2
2

? 2 2
2

3 2
3

?? ? n 2

n 2
n

, ,

⑤ ⑥
1 ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ?2? ? n ? ? ? ? n ?1 1 2 1? 2
n

∴ Tn ?
2

?

?? ?

n ?1

⑤-⑥得: T n ?
2

1

1 2

?

1 2
2

?? ?

1 2
n

? 2

n
n ?1

?? 12 分

? 1?

n?2 2
n ?1

.

∴ Tn ? 2 ?

n?2 2
n

? 2.

??14 分

21.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数、 导数等知识, 考查函数与方程、 分类与整合的数学思想方法, 以及抽象概括能力、 推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? ∴F ?x? ? 1?
'

a x

? ln x 的定义域为 ? 0, ? ? ? .

a x
2

?

1 x

?

x ? x?a
2

x
1 4

2

.

① 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ?

2 时, 得 x ? x ? a ? 0 ,则 F ? x ? ? 0 .

'

∴函数 F ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递增. ② 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ?
?1 ? 1 ? 4a 2
1 4

??2 分
'
2 得x ? x ? a ? 0,

时, 令 F ? x ? ? 0 ,
?1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2

解得 x1 ?

? 0, x2 ?

.

(ⅰ) 若 ?

1 4

? a ? 0 , 则 x2 ?

?1 ?

? 0 . ∵ x ? ? 0, ? ? ? , ∴ F

'

?x?

? 0,

∴函数 F ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递增. (ⅱ)若 a ? 0 ,则 x ? ? 0 ,
? ? ? ?1 ?

?? 4 分

1 ? 4a ? ? 时, F ? 2 ? ? ? 时, F ? ?
'

'

?x? ? 0 ;

? ?1 ? 1 ? 4a x?? , ?? ? 2 ?

?x?

? 0,

∴函数 F ? x ? 在区间 ? 0 , ?
?

?

?1 ?

? ?1 ? 1 ? 4a 1 ? 4a ? , ?? ? 上单调递减, 在区间 ? ? ? 2 2 ? ?

? ? 上单调递增.? 6 分 ? ?

综上所述, 当 a ? 0 时, 函数 F ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ? ? ? ; 当 a ? 0 时, 函数 F ? x ? 的单调递减区间为 ? 0 , ?
? ? ?1 ? ? ?1 ? 1 ? 4a 1 ? 4a ? , ?? ? , 单调递增区间为 ? ? ? 2 2 ? ? ? ?. ? ?

?? 8 分 (2) 解: 由
g ?x? x
2

? f

? x ? ? 2e , 得

ln x x
2

? x?

a x
'

? 2 e , 化为

ln x x

? x ? 2ex ? a .
2

令h ? x? ?

ln x x

' , 则h ? x? ?

1 ? ln x x
2

.令 h ? x ? ? 0 , 得 x ? e .
'

当 0 ? x ? e 时, h ? x ? ? 0 ; 当 x ? e 时, h ? x ? ? 0 .
'

∴函数 h ? x ? 在区间 ? 0 , e ? 上单调递增, 在区间 ? e , ? ? ? 上单调递减. ∴当 x ? e 时, 函数 h ? x ? 取得最大值, 其值为 h ? e ? ?
2 2 而函数 m ? x ? ? x ? 2 e x ? a ? ? x ? e ? ? a ? e , 2

1 e

.

?? 10 分

当 x ? e 时, 函数 m ? x ? 取得最小值, 其值为 m ? e ? ? a ? e .
2

?? 12 分

∴ 当a ? e ?
2

1 e

, 即a ? e ?
2

1 e

时, 方程

g ?x? x
2

? f

? x ? ? 2 e 只有一个根.

?? 14 分


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2011年广州市高三数学 调研测试试题

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