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山东省菏泽一中2017届高三(上)第一次月考数学试卷+(文科)(解析版).doc


2016-2017 学年山东省菏泽一中高三(上)第一次月考数学 试卷 (文科) 参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 4 个选项中,只 有一项符合题目要求.) 1.设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={2,3,4},B={2,5},则 B∪(?UA)=( A.{5} B.{1,2,5} C.{1,2,3,4,5} D.? )

【考点】补集及其运算;并集及其运算. 【分析】先求出?UA,再由集合的并运算求出 B∪(?UA) . 【解答】解:∵CUA={1,5} ∴B∪(?UA)={2,5}∪{1,5}={1,2,5}. 故选 B.

2.已知函数 f(x)=

,则 f(f( ) )=(



A. 【考点】函数的值.

B.

C.

D.

【分析】首先求出 的函数值,然后判断此函数值所在范围,继续求其函数值. 【解答】解:因为 >0,所以 f( )= 故选:B. =﹣2,又﹣2<0,所以 f(﹣2)=2﹣2= ;

3.下列四种说法中,错误的个数是( ①A={0,1}的子集有 3 个;



②“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真; ③“命题 p∨q 为真”是“命题 p∧q 为真”的必要不充分条件; ④命题“? x∈R,均有 x2﹣3x﹣2≥0”的否定是:“? x∈R,使得 x2﹣3x﹣2≤0” A.0 个 B.1 个 C .2 个 D.3 个

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①根据非空集合子集个数的计算公式进行判断; ②先写出其逆命题,然后再判断是否正确; ③已知命题 p∧q 为真,则 p 和 q 都得为真,利用这点进行判断; ④根据命题否定的规则进行判断,注意任意的否定为存在;
2 【解答】解:①A={0,1}的子集个数为:2 =4,故①错误;

②“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为:若 a<b,则 am2<bm2,若 m=0,则 a=b,故②错误; ③∵命题 p∩q 为真, p∪q 为真, 则 p 和 q 都得为真, 则 p 和 q 至少有一个为真, ∴命题 p∩q 为真? 命题 p∪q 为真,反之则不能,故③正确; ④命题“? x∈R,均有 x2﹣3x﹣2≥0”的否定是:“? x∈R,使得 x2﹣3x﹣2<0”,故④错误; 故选 D.

4.设函数 f(x)= A.[﹣1,2] B.[0,2]

,则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( C.[1,+∞) D.[0,+∞)



【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【分析】分类讨论:①当 x≤1 时;②当 x>1 时,再按照指数不等式和对数不等式求解,最 后求出它们的并集即可. 【解答】解:当 x≤1 时,2 ∴0≤x≤1. 当 x>1 时,1﹣log2x≤2 的可变形为 x≥ , ∴x≥1, 故答案为[0,+∞) . 故选 D.
1﹣x

≤2 的可变形为 1﹣x≤1,x≥0,

5.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( A.y=3x B.y=|x|+1 C.y=﹣x2+1

) D.y=

【考点】函数奇偶性的判断;奇偶性与单调性的综合. 【分析】根据偶函数和单调性的定义分别进行判断即可.

x 【解答】解:A.y=3 在(0,+∞)单调递增,但为非奇非偶函数,不成立.

B.y=|x|+1 为偶函数,当 x>0 时,y=|x|+1=x+1,为增函数,满足条件. C.y=﹣x2+1 为偶函数,当 x>0 时,函数为减函数,不满足条件. D.y= 在(0,+∞)单调递增,但为非奇非偶函数,不成立.

故选:B.

6.若 a=log23,b=log32,2,c=log A.a<b<c

2,则 a,b,c 的大小关系是( C.c<b<a

) D.c<a<b

B.b<c<a

【考点】对数值大小的比较. 【分析】根据与特殊值,如 1,0 等的比较可得,log23>1,0<log32<1,log 得到答案. 【解答】解:∵a=log23>1, 0<b=log32<1, c=log 2<0, 2<0,从而

则 c<b<a, 故选 C.

7.若 f(x)为奇函数且在(0,+∞)上递增,又 f(2)=0,则 是( )

的解集

A. (﹣2,0)∪(0,2) B. (﹣∞,2)∪(0,2) +∞) D. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)

C. (﹣2,0)∪(2,

【考点】奇偶性与单调性的综合;抽象函数及其应用. 【分析】根据 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,且 f(2)=0,得到当 0<x<2 时,f (x)<0;当 x≥2 时,f(x)≥0.再结合函数为奇函数证出:当 x≤﹣2 时,f(x)≤0 且 ﹣2<x<0 时,f(x)>0,最后利用这个结论,将原不等式变形,讨论可得所求解集. 【解答】解:∵f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,且 f(2)=0, ∴当 0<x<2 时,f(x)<0;当 x≥2 时,f(x)≥0 又∵f(x)是奇函数

∴当 x≤﹣2 时,﹣x≥2,可得 f(﹣x)≥0,从而 f(x)=﹣f(﹣x)<0.即 x≤﹣2 时 f (x)≤0; 同理,可得当﹣2<x<0 时,f(x)>0. 不等式 可化为: ,即





,解之可得 x>2 或 x<﹣2

所以不等式 故选:D.

的解集为: (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) .

8.已知命题 p:关于 x 的函数 y=x2﹣3ax+4 在[1,+∞)上是增函数,命题 q:y=(2a﹣1)x 为减函数,若 p 且 q 为真命题,则 a 的取值范围是( A. B. C. ) D.

【考点】指数函数单调性的应用;复合命题的真假;函数单调性的性质. 【分析】由 p 且 q 为真命题,故 p 和 q 均为真命题,我们可根据函数的性质,分别计算出 p 为真命题时,参数 a 的取值范围及分别计算出 q 为真命题时,参数 a 的取值范围,求其交集 即可. 【解答】解:命题 p 等价于
x

,3a≤2,即

. .

由 y=(2a﹣1) 为减函数得:0<2a﹣1<1 即 又因为 p 且 q 为真命题,所以,p 和 q 均为真命题, 所以取交集得 故选 C. .

9.函数 f(x)= A.0 B.1

的零点个数为( C .2

) D.3

【考点】根的存在性及根的个数判断.

【分析】题目中条件:“函数

2 的零点个数”转化为方程 lnx=x

2 ﹣2x 的根的个数问题及一次函数 2x+1=0 的根的个数问题,分别画出方程 lnx=x ﹣2x 左右

两式表示的函数图象即得.
2 【解答】解:∵对于函数 f(x)=lnx﹣x +2x 的零点个数 2 ∴转化为方程 lnx=x ﹣2x 的根的个数问题,分别画出左右两式表示的函数:如图.

由图象可得两个函数有两个交点. 又一次函数 2x+1=0 的根的个数是:1. 故函数 故选 D. . 的零点个数为 3

10. = 已知函数 f (x) <0 成立,则 a 的取值范围是( A. (0, ] )

, 满足对任意的 x1≠x2 都有

B. (0,1)

C.[ ,1)

D. (0,3)

【考点】函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明.

【分析】由题意可知,f(x)=

为减函数,从而可得



由此可求得 a 的取值范围.

【解答】解:∵f(x)对任意的 x1≠x2 都有

成立,

∴f(x)=

为 R 上的减函数,



解得 0<a≤ .

故选 A.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题纸上) 11.命题“对任意的 x∈R,x3﹣x2+1≤1”的否定是 ? x∈R,x3﹣x2+1>1 . 【考点】命题的否定.
3 2 【分析】命题“对任意的 x∈R,x ﹣x +1≤1”是全称命题,其否定应为特称命题,注意量词

和不等号的变化.
3 2 【解答】解:命题“对任意的 x∈R,x ﹣x +1≤1”是全称命题,否定时将量词对任意的 x∈R

变为? ∈R,再将不等号≤变为>即可.
3 2 故答案为:? x∈R,x ﹣x +1>1

12.函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= . 【考点】函数的周期性.

,若 f(1)=﹣5,则 f[f(5)]=

【分析】由已知中函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)=

,我们可确定函数

f(x)是以 4 为周期的周期函数,进而根据周期函数的性质,从内到外依次去掉括号,即可 得到答案. 【解答】解:∵函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= ,

∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=

=

=f(x) ,

即函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∵f(1)=﹣5

∴f[f(5)]=f[f(1)]=f(﹣5)=f(3)= 故答案为:

=

13.若 【考点】其他不等式的解法. 【分析】由题意利用函数 y= 得实数 a 的取值范围. 【解答】解:∵ >3﹣2a>0,解得 故答案为 ( ) . ,

,则实数 a 的取值范围是 (

) .

是(0,+∞)上的减函数,可得 a+1>3﹣2a>0,由此解

,函数 y=

是(0,+∞)上的减函数,∴a+1

2 14.已知函数 y=f(x)满足 f(x+1)=f(x﹣1) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=x ,则函数 y=f

(x)与 y=log3|x|的图象的交点的个数是 4 . 【考点】函数的图象. 【分析】f(x)是个周期为 2 的周期函数,且是个偶函数,在一个周期[﹣1,1)上,图象 是抛物线的一段,且 0≤f(x)≤1,同理得到在其他周期上的图象;y=log3|x|也是个偶函数, 图象过(1,0) ,和(3,1) ,结合图象可得函数 y=f(x)的图象与函数 y=log3|x|的图象的交 点个数. 【解答】解:由题意知,函数 y=f(x)是个周期为 2 的周期函数,且是个偶函数,在一个 周期[﹣1,1)上, 图象是抛物线的一段,且 0≤f(x)≤1,同理得到在其他周期上的图象. 函数 y=log3|x|也是个偶函数,先看他们在[0,+∞)上的交点个数, 则它们总的交点个数是在[0,+∞)上的交点个数的 2 倍, 在(0,+∞)上,y=log3|x|=log3x,图象过(1,0) ,和(3,1) ,是单调增函数,与 f(x) 交与 2 个不同点, ∴函数 y=f(x)的图象与函数 y=log3|x|的图象的交点个数是 4 个. 故答案为 4.

15.若存在负实数使得方程 2x﹣a= 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【分析】方程 【解答】解:∵
x ∴a=2 ﹣

成立,则实数 a 的取值范围是 (0,2) .

可化为 a=2 ﹣ ,

x

,从而可得 0<2 ﹣

x

<2,从而解得.



∵x<0,
x ∴0<2 ﹣

<2,

∴实数 a 的取值范围是(0,2) ; 故答案为: (0,2) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.已知集合 A={x|
2 ≥1,x∈R},B=[x|x ﹣2x﹣m<0}.

(1)当 m=3 时,求 A∩(?RB) ; (2)若 A∩B={x|﹣1<x<4},求实数 m 的值. 【考点】交集及其运算;补集及其运算. 【分析】 (1)先根据分式不等式求出集合 A,然后将 m 的值代入集合 B,求出集合 B,从 而求出集合 B 的补集,最后与集合 A 求交集即可; (2)根据 A={x|﹣1<x≤5},A∩B={x|﹣1<x<4}可知集合 B 中所对应的方程有一根 4,代 入即可求出 m 的值. 【解答】解:由 (1)当 m=3 时,B={x|﹣1<x<3}, 则 CRB={x|x≤﹣1 或 x≥3}∴A∩(CRB)={x|3≤x≤5}
2 (2)∵A={x|﹣1<x≤5},A∩B={x|﹣1<x<4},∴有 4 ﹣2×4﹣m=0,解得 m=8,

,∴﹣1<x≤5∴A={x|﹣1<x≤5},

此时 B={x|﹣2<x<4},符合题意,故实数 m 的值为 8.

17.已知 m∈R,设命题 P:﹣3≤m﹣5≤3;命题 Q:函数 f(x)=3x2+2mx+m+ 有两个不 同的零点.求使命题“P 或 Q”为真命题的实数 m 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【分析】先求出命题 P,Q 成立的等价条件,利用“P 或 Q”为真命题,确定实数 m 的取值范 围. 【解答】解:∵﹣3≤m﹣5≤3,∴2≤m≤8, 即 P:2≤m≤8.
2 ∵函数 f(x)=3x +2mx+m+ 有两个不同的零点,

∴判别式△>0,即△=
2 ∴m ﹣3m﹣4>0,解得 m>4 或 m<﹣1,



即 Q:m>4 或 m<﹣1. ∵“P 或 Q”为真命题, ∴P,Q 至少有一个为真命题. 当 P,Q 同时为假命题时, 满足 ,解得﹣1≤m<2,

∴P,Q 至少有一个为真命题时, 满足 m≥2 或 m<﹣1. 即实数 m 的取值范围是 m≥2 或 m<﹣1.

18.已知函数 f(x)=x2+4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞) ,求 a 的值; (2)若函数 f(x)≥0 恒成立,求函数 g(a)=2﹣a|a+3|的值域. 【考点】二次函数的性质. 【分析】利用二次函数的单调性、恒成立问题与△的关系即可得出.
2 2 2 【解答】解: (1)∵f(x)=(x+2a) +2a+6﹣4a 的值域为[0,+∞) ,∴﹣4a +2a+6=0,解

得 a=﹣1 或 .
2 (2)∵函数 f(x)≥0 恒成立,∴△=16a ﹣4(2a+6)≤0,解得



∴g(a)=2﹣a|a+3|=2﹣a(a+3)= ∵g(a)在区间 ∴函数 g(a)的值域为

. ,g(a)max=g(﹣1)=4.

单调递减,∴g(a)min=g( )=﹣ .

19.已知定义域为 R 的函数 (1)求 a 的值;

是奇函数.

(2)判断 f(x)的单调性(不需要写出理由) ;
2 2 (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

【考点】函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合. 【分析】 (1)由题意可得 f(x)+f(﹣x)=0 对应任意的 x 都成立,代入函数可求 a 另解:由 f(x)是 R 上的奇函数,可得 f(0)=0,代入可求 a (2)由(1)知 ,结合指数函数的性质可判断函数单调性

2 2 2 (3) :解法一:由 f(x)是奇函数,可得 f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k)=f(﹣2t +k) ,结合 f 2 2 (x)在 R 上为减函数,得:t ﹣2t>﹣2t +k. ,结合二次函数性质可求

解法二:由(1)知

,由单调性的定义可得

,同法一可求

【解答】解: (1)函数 f(x)的定义域为 R,因为 f(x)是奇函数,所以 f(x)+f(﹣x) =0, 即 ,





另解:由 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0, 故 . ,

(2)由(1)知

由上式易知 f(x)在 R 上为减函数,
2 2 (3) : (解法一)又因 f(x)是奇函数,从而不等式等价于 f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k)=f(﹣

2t2+k) .

2 2 ∵f(x)在 R 上为减函数,由上式得:t ﹣2t>﹣2t +k.

即对一切 t∈R 有 3t ﹣2t﹣k>0, 从而判别式△=4+12k<0 ∴

2

解法二: 由 (1) 知

, 又由题设条件得:

即 整理得 ,因底数 4>1,故 3t ﹣2t﹣k>0
2

上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式△=4+12k<0 ∴

20.已知函数 f(x)= ﹣log2 (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性;



(3)证明 f(x)在(0,1)内单调递减. 【考点】对数函数的单调性与特殊点;奇偶性与单调性的综合. 【分析】 (1)根据分式函数分母不能为零和对数函数真数大于零求解; (2)由(1)知定义域关于原点对称,再分析 f(﹣x)与 f(x)的关系; (3)先在给定的区间上任取两个变量,且界定其大小,再作差变形,再与零进行比较,关 键是变形到位用上条件. 【解答】解: (1) ?﹣1<x<0 或 0<x<1,

故 f(x)的定义域为(﹣1,0)∪(0,1) ; (2)∵ ∴f(x)是奇函数; (3)设 0<x1<x2<1,则 ,

∵0<x1<x2<1,∴x2﹣x1>0,x1x2>0, (1﹣x1) (1+x2)=1﹣x1x2+(x2﹣x1)>1﹣x1x2﹣(x2﹣x1)=(1+x1) (1﹣x2)>0 ∴ ,

∴f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2)∴f(x)在(0,1)内递减. 另解: 故 f(x)在(0,1)内是减函数. ∴当 x∈(0,1)时,f′(x)<0

21.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车 流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度 达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流 速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时)f(x)=x?v(x)可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) . 【考点】函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】 (Ⅰ)根据题意,函数 v(x)表达式为分段函数的形式,关键在于求函数 v(x)在 20≤x≤200 时的表达式,根据一次函数表达式的形式,用待定系数法可求得; (Ⅱ)先在区间(0,20]上,函数 f(x)为增函数,得最大值为 f(20)=1200,然后在区 间[20,200]上用基本不等式求出函数 f(x)的最大值,用基本不等式取等号的条件求出相 应的 x 值,两个区间内较大的最大值即为函数在区间(0,200]上的最大值. 【解答】解: (Ⅰ) 由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20<x≤200 时,设 v(x)=ax+b

再由已知得

,解得

故函数 v(x)的表达式为



(Ⅱ)依题并由(Ⅰ)可得 当 0≤x<20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200 当 20≤x≤200 时, 当且仅当 x=200﹣x,即 x=100 时,等号成立. 所以,当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 综上所述,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值为 . ,

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为 3333 辆/小时. 答: (Ⅰ) 函数 v(x)的表达式 (Ⅱ) 当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为 3333 辆/小时.

2016 年 12 月 14 日


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