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03三角函数


三、三角函数
(一)填空题
1、 (2008 江苏卷 1)f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

? 其中 ? ? 0 , 则? = ? 的最小正周期为 5 , 6?
2? ?



? ? ? 10 ? 5 2、 (2009

江苏卷 4) 函数 y ? A sin(? x ? ?) ( A, ? , ? 为常数,A ? 0, ? ? 0 ) 在闭区间 [?? , 0]
【解析】本小题考查三角函数的周期公式. T ? 上的图象如图所示,则 ? = .

?

【解析】 考查三角函数的周期知识。

3 2 T ? ? , T ? ? ,所以 ? ? 3 2 3
??

3、 (2010 江苏卷 10)定义在区间 ? 0 ,

? ?

? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点 2?

为 P,过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为 ____________。 【解析】考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值, 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx=

2 2 。线段 P1P2 的长为 3 3 b a a ? 6 cos C , b

4、 (2010 江苏卷 13) 在锐角三角形 ABC, A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, ? 则

tan C tan C ? =_________。 tan A tan B

【解析】考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。 (方法一)考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。 当 A=B 或 a=b 时满足题意,此时有: cos C ?

1 1 ? cos C 1 C 2 2 C ? ? , tan ? , tan , 3 2 1 ? cos C 2 2 2

tan A ? tan B ?

1 tan C 2

? 2,

tan C tan C ? = 4。 tan A tan B

(方法二) ?

b a

a a 2 ? b2 ? c 2 3c 2 ? 6 cos C ? 6ab cos C ? a 2 ? b 2 , 6ab ? ? a 2 ? b2 , a 2 ? b2 ? b 2ab 2

tan C tan C sin C cos B sin A ? sin B cos A sin C sin( A ? B) 1 sin 2 C ? ? ? ? ? ? ? tan A tan B cos C sin A sin B cos C sin A sin B cos C sin A sin B

5、 (2011 江苏卷 7)已知 tan( x ?

?
4

) ? 2, 则

tan x 的值为__________. tan 2 x

解析:

? 1 ? tan x 1 tan x tan x ( 1- tan 2 x) 4 tan( x ? ) ? ? 2,? tan x ? ,? = = ? 2 tan x 4 1 ? tan x 3 tan 2 x 2 9 1- tan 2 x

本题主要考查三角函数的概念,同角三角函数的基本关系式,正弦余弦函数的诱导公式,两 角和与差的正弦余弦正切,二倍角的正弦余弦正切及其运用,中档题. 6、 (2011 江苏卷 9)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?),( A, ?, ? 是常数, A ? 0, ? ? 0) 的部分图象 如图所示,则 f (0) ? ____ 【解析】由图可知: A ?

2,

2?

7? 3? ? ? ? ? 2 k? ? , ? ? 2 k? ? , 12 2 3

T 7 ? ? ? ? ? ? , ? ? 2, 4 12 3 4

? 6 f (0) ? 2 sin(2k? ? ) ? 3 2
由图知: f (0) ?

6 2

本题主要考查正弦余弦正切函数的图像与性质, y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质以及诱导 公式,数形结合思想,中档题.

? ?? 4 ? 7. (2012 江苏卷 13)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为 ▲ . 6? 5 12 ?
【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? <

?
2

,∴

?
6

<? ?

?
6

<

?
2

?

?
6

=

2? . 3

?? 4 ?? 3 ? ? ∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? . 6? 5 6? 5 ? ? ?? ?? ?? 3 4 24 ?? 7 ? ? ? ? = . ∴ cos ? 2? ? ? ? ∴ sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2 . 3? 6? 6? 5 5 25 3 ? 25 ? ? ? ?
∴ sin(2a ?

?
12

)=sin(2a ?

?
3

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 4 3 4 3? 4 ? ? ?

=

24 2 7 2 17 ? = 2. 25 2 25 2 50

(二)解答题
1、 (2008 江苏卷 15)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,

它们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 (Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值; (Ⅱ)求 ? ? 2 ? 的值.

2 2 5 . , 10 5

【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式. 由条件的 cos ? ?

2 2 5 7 2 5 ,因为 ? , ? 为锐角,所以 sin ? = ,cos ? ? ,sin ? ? 10 5 10 5
1 2

因此 tan ? ? 7, tan ? ? (Ⅰ)tan( ? ? ? )=

tan ? ? tan ? ? ?3 1 ? tan ? tan ?

(Ⅱ) tan 2 ? ?

2 tan ? 4 tan ? ? tan 2? ? ,所以 tan ?? ? 2? ? ? ? ?1 2 1 ? tan ? 3 1 ? tan ? tan 2?
3? 3? ,∴ ? ? 2 ? = 2 4

∵ ? , ? 为锐角,∴ 0 ? ? ? 2 ? ?

2、 (2009 江苏卷 15) (本小题满分 14 分) 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 【解析】 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角 的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

3、 (2010 江苏卷 17) (本小题满分 14 分) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位: m) , 如示意图, 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m, 仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位:m) ,使 ? 与 ? 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的 实际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大? 【解析】 本题主要考查解三角形的知识、 两角差的正切及不等式的应用。 (1)

H H H h ? tan ? ? AD ? , 同理:AB ? ,BD ? 。 tan ? AD tan ? tan ?

AD—AB=DB,故得

H H h h tan ? 4 ?1.24 ? ? ? ? 124 。 ,解得: H ? tan ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , tan ? ? ? ? , d AD DB d H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d d tan(? ? ? ) ? ? ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d H ( H ? h) d? ? 2 H ( H ? h) , (当且仅当 d ? H (H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时, 取等号) d

故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。 4、 (2010 江苏卷 23) (本小题满分 10 分) 已知△ABC 的三边长都是有理数。 (1)求证 cosA 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有理数。 【解析】 本题主要考查余弦定理、 数学归纳法等基础知识, 考查推理论证的能力与分析问题、 解决问题的能力。满分 10 分。 (方法一) (1)证明:设三边长分别为 a , b, c , cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 ,∵ a , b, c 是有理数, 2bc

b 2 ? c 2 ? a 2 是有理数, 分母 2bc 为正有理数, 又有理数集对于除法的具有封闭性,


b2 ? c2 ? a 2 必为有理数,∴cosA 是有理数。 2bc

(2)①当 n ? 1 时,显然 cosA 是有理数; 当 n ? 2 时,∵ cos 2 A ? 2cos 2 A ? 1 ,因为 cosA 是有理数, ∴ cos 2 A 也是有理数; ②假设当 n ? k (k ? 2) 时,结论成立,即 coskA、 cos(k ? 1) A 均是有理数。 当 n ? k ? 1 时, cos(k ? 1) A ? cos kA cos A ? sin kA sin A ,

1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? [cos(kA ? A) ? cos(kA ? A)] , 2 1 1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? cos(k ?1) A ? cos(k ? 1) A , 2 2 解得: cos(k ? 1) A ? 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A
∵cosA, cos kA , cos(k ? 1) A 均是有理数,∴ 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A 是有理数, ∴ cos(k ? 1) A 是有理数。 即当 n ? k ? 1 时,结论成立。 综上所述,对于任意正整数 n,cosnA 是有理数。 (方法二)证明: (1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知

cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 是有理数。 2 AB ? AC

(2)用数学归纳法证明 cosnA 和 sin A ? sin nA 都是有理数。 ①当 n ? 1 时,由(1)知 cos A 是有理数,从而有 sin A ? sin A ? 1 ? cos A 也是有理数。
2

②假设当 n ? k (k ? 1) 时, cos kA 和 sin A ? sin kA 都是有理数。 当 n ? k ? 1 时,由 cos(k ? 1) A ? cos A ? cos kA ? sin A ? sin kA ,

sin A ? sin(k ? 1) A ? sin A ? (sin A ? cos kA ? cos A ? sin kA) ? (sin A ? sin A) ? cos kA ? (sin A ? sin kA) ? cos A ,
及①和归纳假设,知 cos(k ? 1) A 和 sin A ? sin(k ? 1) A 都是有理数。 即当 n ? k ? 1 时,结论成立。 综合①、②可知,对任意正整数 n,cosnA 是有理数。 5、 (2011 江苏卷 15) .在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3
【解析】本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形,考查运算求 解能力。满分 14 分. 解: (1)由题设知

?

sin A cos

?
6

? cos A sin

?
6

? 2 cos A, 从而 sin A ? 3 cos A, 所以 cos A ? 0 ,

tan A ? 3 ,因为0 ? a ? ? , 所以 A ?
(2)由 cos A ?

?
3

.

1 , b ? 3c及a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, 得a 2 ? b 2 ? c 2 . 3 ? 1 故△ ABC 是直角三角形,且 B ? , 所以 sin C ? cos A ? . 2 3
6. ( 2012 江苏 15)在 ?ABC 中 ,已知 AB AC ? 3BA BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形. 【答案】解: (1)∵ AB AC ? 3BA BC ,∴ AB AC cos A=3BA BC cos B ,

AC BC ,∴ sin B cos A=3sin A cos B . = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 .∴ 即 tan B ? 3tan A . =3 cos B cos A
即 AC cos A=3BC cos B .由正弦定理,得

? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = (2)∵ cos C ? .∴ tan C ? 2 . ? ? ? 5 5 ? 5 ?

2

tan A ? tan B ? ?2 . 1 ? tan A tan B 1 4tan A ? 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1 , tan A= ? .∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 .∴ A= . 2 3 1 ?3tan A 4
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 .∴ 【点评】 (1)先将 AB AC ? 3BA BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系 式证明. (2)由 cos C ?

5 ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ? ?? ? ? A ? B?? ? ,从 5

而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值.


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