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2011高考数学一轮复习课件:不等关系与不等式


第二章

不等式、

知识点

考纲下载 了解现实世界和日常生

考情上线 本考点多与不等式性质

不等关系 与不等式

活中存在着大量的不等 关系,了解不等式(组)的

相结合,涉及函数、数
列等实际问题,也常与 简易逻辑知识相结合, 多以选择题形式出现.

实际背景.

知识点

考纲下载

考情上线
1.以考查一元二次不

1.会从实际情境中抽象出一元 二次不等式模型. 一元二次 不等式及 其解法 2.通过函数图象了解一元二次 不等式与相应的函数、方程 的联系. 3.会解一元二次不等式,对给 定的一元二次不等式,会设 计求解的程序框图.

等式的解法为主, 在考查时可独立命 题,兼顾“三个二 次间关系问题”. 2.融解法于集合问 题,导数的单调性 问题之中,考查分 类讨论思想、数形 结合思想等.

知识点

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考情上线 1.多考查线性目标函 数的最值问题,兼顾

1.会从实际情境中抽 象出二元一次不等 式组. 2.了解二元一次不等 简单的线性 式的几何意义,能用 平面区域表示二元一 规划 次不等式组. 3.会从实际情境中抽 象出一些简单的二 元线性规划问题,并 能加以解决.

面积、距离、斜率等
问题. 2.常以选择题、填空

题形式出现,主要是
最优解问题.

知识点

考纲下载 1.了解基本不等式的证

考情上线 1.主要考查利用基本不

基本不等 式

明过程. 2.会用基本不等式解 决简单的最大(小)值 问题.

等式求最值的方法及
应用(不等式恒成立 问题).

2.注意函数的实际应
用问题.

第一节 不等关系与不等式

一、实数比较大小的方法

a-b>0? a>b;
a-b=0? a=b; a-b<0? a<b .

二、不等式的基本性质
1.对称性:a>b? b<a . 2.传递性:a>b,b>c? a>c. 3.加法性质:a>b?a+c >b+c;

a>b,c>d?a+c > b+d.
4.乘法性质:a>b,c>0?ac a>b,c<0?ac < bc; > bd. > bc;

a>b>0,c>d>0?ac

5.倒数法则:a>b,ab>0? ,ab>0?a > b.





(同号即可,而不要求a,b均大于0) 6.乘方性质:a>b>0?an > bn(n∈N,n>1). 7.开方性质:a>b>0? > (n∈N,n>1).

1.将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实际问题 中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换, 这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.常见的文字

语言与数学符号之间的转换关系如下表:

文字语言 大于

数学符号 >

文字语言 至多

数学符号

小于
大于等于 小于等于



至少
不少于 不多于

2.注意区分“不等关系”和“不等式”的异同,不等关系强调的

是关系,可用“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”表示,不等式
则是表现不等关系的式子,对于实际问题中的不等关系可

以从“不超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把握,并考
虑到实际意义.

某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计
划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90 万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆, B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.

【解】

设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,则

1.某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙 型卡车,有9名驾驶员.该车队每天至少要运360 t矿石至冶炼 厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可 往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式.

解:设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,根据题

意,应有如下的不等关系:
(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数; (2)车队每天至少要运360 t矿石; (3)甲型卡车不能超过4辆,乙型卡车不能超过7辆. 用关于x,y的不等式表示上述不等关系即可.

在使用不等式的性质时,要先确定独立变量,再搞清它们成立的条件 . (1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号, 那么等号是传递不过去的,如a≤b,b<c?a<c. (2)在乘法法则中,要特别注意“乘数c的符号”,例如当c≠0时,有a> b?ac2>bc2;若无c≠0这个条件,则a>b?ac2>bc2就是错误结论(∵当c= 0时,取“=”). (3)在高考中不等式也常与逻辑用语一起考查

对于实数a、b、c,判断下列命题的真假. (1)若a>b,则ac>bc; (2)若a>b,则ac2>bc2; (3)若a<b<0,则a2>ab>b2; (4)若a<b<0,则

a, b, c ? R, 若

bc b c ? 1, ? ? ?2, 则下列正确的是 2 a a a

2.若
正确的不等式有 A.1个 C.3个

则下列不等式:①a+b<ab;
中, ) B.2个

②|a|>|b|;③a<b;④ (

D.4个 bc b c 3,已知 a, b, c ? R, 若 2 ? 1, ? ? ?2, 则下列正确的是 a a a A,a,b,c同号 B, a,c 同号,b与它们异号

C

b,c同号,a它们异号

D ,b,c同号,a与b,c的符号关系不

确定

比较实数或代数式的大小的方法主要是作差法和作商法. 1.作差法的一般步骤是:(1)作差;(2)变形;(3)判断符号;(4)

得出结论.用作差法比较两个实数大小的关键是判断差的
正负,常采用配方、因式分解、有理化等方法.常用的结 论有x2≥0,-x2≤0,|x|≥0,-|x|≤0等,当两个式子 都为正时,有时也可以先平方再作差.

2.作商法的一般步骤是: (1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小;(4)得出结论. 【注意】 当商与1的大小确定后必须对商式的分母的正负做

出判断方可得出结论,如
>a. P13例4,例5

<1,a>0时,b<a;a<0时,b

3.比较下列各组中两个代数式的大小: (1)(x-3)2与(x-2)(x-4); (2)当x>1时,x3与x2-x+1;

(3) 7 ? 10与2+ 13.

解:(1)(x-3)2-(x-2)(x-4) =x2-6x+9-(x2-6x+8)=1>0, ∴(x-3)2>(x-2)(x-4). (2)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1 =x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1), ∵x>1,∴x3-(x2-x+1)>0, ∴当x>1时,x3>x2-x+1.

(3)∵ ∴( =2 ∴ + +



>0,2+ )2-(2+ =2 )2 -2

>0,

-4

>0,

>2+

1.下列不等式:①m-3>m-5;②5-m>3-m;③5m>
3m;④5+m>5-m.其中正确的有 ———— 个 2.设α∈(0, ),β∈[0, ],那么 2a的取值范围是— 3.“a+b>2c”的一个充分非必要条件是( ) A.a>c或b>c B.a>c或b<c C.a>c且b>c D.a>c且b<c

纵观近三年新课标区高考可以发现,由于新课程标准对 不等式的性质不作要求,新课标区高考也几乎没有涉及,作 差法比较两实数大小也仅是解决问题的工具,一般不单独命 题,高考对本节知识的考查往往结合函数的性质,利用函数

中的不等关系比较实数的大小.

(2009· 湖南高考)如下图,当参数λ=λ1,λ2时,连续函数y=

的图象分别对应曲线 ( x ≥ 0) C1和C2,则 (

)

A.0<λ1<λ2 C.λ1<λ2<0

B.0<λ2<λ1 D.λ2<λ1<0

本题已知含参数的两个函数图象,求参数的大小关系,需要
根据图象的定义域确定参数λ的范围,再结合函数图象所提 供的不等关系,建立不等式,从而确定两参数的大小关系, 若将题目中的函数改为 “y= 哪一个? ,答案又是

( x ≥ 0)




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