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溧水县第二高级中学数学教学案必修1:初高中衔接04一元二次方程


初高中衔接之四---------一元二次方程
1.根的判别式 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的情况可以由 b ? 4ac 来判定,我们把
2

b 2 ? 4ac 叫做一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的判别式,通常用符号“Δ ”来
表示。 对于一元二次方程 ax

2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,有

? b ? b 2 ? 4ac ⑴、当 Δ >0 时,方程有两个不相等的实数根 x1, 2 ? ; 2a b ⑵、当 Δ =0 时,方程有两个相等的实数根 x1 ? x 2 ? ? ; 2a
⑶、当 Δ <0 时,方程没有实数根。 例 1:判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,若方程有实数根,写出方程的 实数根。 ⑴、x2-3x+3=0; ⑵、x2-ax-1=0;

⑶、x2-ax+(a-1)=0;

⑷、x2-2x+a=0。

例 2: k 取何值时,方程 x ? (k ? 1) x ? k ? 2 ? 0 有两个相等的实数根,并求出方程的这两 个根。
2

2.根与系数的关系(韦达定理) :

b c , x1 ? x 2 ? 。 a a 2 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x ? px ? q ? 0 ,若 x1 , x 2 是其两根,由 韦 达 定 理 可知 x1 ? x2 ? ? p , x1 ? x2 ? q , 即 p ? ?( x1 ? x2 ), q ? x1 ? x2 ,所 以 , 方程
如果 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根分别是 x1 , x 2 ,那么 x1 ? x 2 ? ?

x 2 ? px ? q ? 0 可 化 为 x 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 ? x2 ? 0 , 由 于 x1 , x 2 是 一 元 二 次 方 程 x 2 ? px ? q ? 0 的两根,所以, x1 , x 2 也是一元二次方程 x 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 ? x2 ? 0 的两
根。 以两个数 x1 , x 2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 ? x2 ? 0 。
2

例 3:已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值。
2

1

例4:求一个一元二次方程,使它的两根为 ?

3 1 , 。 2 3

例5:设 x1 , x 2 是方程 2 x ? 3x ? 7 ? 0 的两个根,求下列各式的值:
2

⑴、 x1

2

? x2

2

⑵、 ( x1

? 3)(x2 ? 3)

⑶、

1 1 ? x1 x 2

⑷、 x13 ? x23

⑸、 x1 ? x2

例 6: ⑴、若关于 x 的方程 x ? x ? a ? 4 ? 0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取 值范围。
2

⑵、若关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 的一根大于 1、另一根小于 1,求实数 a 的取值范
2

围。

2

作业 班级:_________
1、选择题:
2 2

姓名:__________
( )

⑴方程 x ? 2 3kx ? 3k ? 0 的根的情况是

A、有一个实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个相等的实数根 D、没有实数根 2 ⑵若关于 x 的方程 mx + (2m+1)x+m=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围 ( )

1 4 1 C、m< ,且 m≠0 4
A、m< 2、填空:

1 4 1 D、m>- ,且 m≠0 4
B、m>-

⑴、若方程 x2-3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则 ⑵、以-3 和 1 为根的一元二次方程是 ⑶、方程 mx2 ? x ? 2m ? 0(m ? 0) 的根的情况是

1 1 ? = x1 x2

。 。 。

3、已知 a 2 ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ,当 k 取何值时,方程 kx2+ax+b=0 有两个不相等的实 数根?

4、选择题: ⑴、已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 ⑵、下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ?



7 ; 3


④方程 3 x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0.其中正确说法的个数是( (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 2 2 ⑶、关于 x 的一元二次方程 ax -5x+a +a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 5、填空: ⑴、方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= . 2 2 2 ⑵、方程 2x -x-4=0 的两根为 α、β,则 α +β = . 2 ⑶、已知关于 x 的方程 x -ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是
3



⑷、方程 2x2+2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|= . 2 2 6、试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m x -(2m+1) x+1=0 有两个不等的实 数根?有两个相等的实数根?没有实数根?

7、求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数。

8、一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根为 x1 和 x2。求: ⑴、| x1-x2|和

x1 ? x2 ; 2

⑵、x13+x23.

9、已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根。 ⑴、 是否存在实数 k,使 (2 x1 ? x 2 )( x1 ? 2 x 2 ) ? ? 说明理由;

3 成立?若存在, 求出 k 的值; 若不存在, 2

x1 x2 ? -2 的值为整数的实数 k 的整数值; x2 x1 x ⑶、若 k=-2, ? ? 1 ,试求 ? 的值。 x2
⑵、求使

4


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