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常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题38 数列通项的求法


第 38 讲:数列通项的求法(构造法)
【考纲要求 】 1、了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) 。 2、掌握等差数列、等比数列的通项公式。 【基础知识】 一、数列的通项公式

类型三:已知错误!未找到引用源。,一般利用待 定系数法构造等比或等差数列求通项。 类型四:已知错误!未找到引用源。,一般利用待定系数法构造等比数列求通项。 类型五:已知 错误!未找到引用源。,一般利用倒数构造等差数列求数列的通项。 类型六:已知错误!未找到引用源。,一般 利用取对数构造等比数列。 【方法 讲评】

例 1 已知数列{错误!未找到引用源。}满足错误!未找到引用源。=1,错误!未找到引 用源。=错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。),求数列{错误!未找到引用源。} 的通项公式。 解:构造新数列错误!未找到引用源。 ,其中 p 为常数,使之成为公比是错误!未找到引用 源。的系数 2 的等比数列 即错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。 整理得:错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。使之满足错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ∴p=1 即错误!未找到引用源。是首项为错误!未找到引用源。=2,q=2 的等比数列∴错误!未找 到引用源。=错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 【点评】 (1)已知错误!未找到引用源。,一般可以利用待定系数法构造等比数列错误!未 找到引用源。,其公比为错误!未找到引用源。(2)注意数列错误!未找到引用源。的首项 为错误!未找到引用源。 ,不是错误!未找到引用源。对新数列的首项要弄准确。 【变式演练 1】已知数列{错误!未找到引用源。}中,错误!未找到引用源。=2,错误!未 找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ,求{错 误!未找到引用源。}的通项公式。

例 2 已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,求数列错误!未找到 引用源。的通项公式。 解:设错误!未找到引用源。 ⑧ 将错误!未找到引用源。代入⑧式,得 错误!未找到引用源。 ,则 错误!未找到引用源。 等式两边消去错误!未找到引用源。,得错误!未找到引用源。,

错误!未找到引用源。为首项,以 2 为公比的等比数列,因此错误!未找到引用源。,则错 误!未找到引用源。。 【点评】本题解题的关键是把递推关系式错误!未找到引用源。转化为错误!未找到引用 源。,其中要用到待定系数法,从而可知数列错误!未找到引用源。是等比数列,进而求 出数列错误!未找到引用源。的通项公式,最后再求出数列错误!未找到引用源。的通项 公式。 【变式演练 2】 在数列{ an }中, a1 ?

3 , 2an ? an?1 =6 n ? 3 ,求通项公式 an . 2

例3 已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,求数列错误!未找到 引用源。的通项公式。 解:设错误!未找到引用源。 ① 将错误!未找到引用源。代入①式,得错误!未找到引用源。,等式两边消去错误!未找 到引用源。,得错误!未找到引用源。,两边除以错误!未找到引用源。,得错误!未找到 引用源。代入①式得错误!未找到引用源。 ②

由错误!未找到引用源。及②式得错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。,则数 列错误!未找到引用源。是以错误!未找到引用源。为首项, 以 2 为公比的等比数列,则 错误!未找到引用源。,故错误!未找到引用源。。

例 4 已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 求数列错误!未找到引用源。的通项公式。 解:错误!未找到引用源。两边除以错误!未找到引用源。,得错误!未找到引用源。,则 错误!未找到引用源。,故数列错误!未找到引用源。 是以错误!未找到引用源。为首项, 以错误!未找到引用源。为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得错误!未找到引 用源。,所以数列错误!未找到引用源。的通项公式为错误!未找到引用源。。

【变式演练 4】数列{错误!未找到引用源。} 满足错误!未找到引用源。错误!未找到引用 源。且错误!未找到引用源。 。求错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 、错误!未找 到引用源。 、错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。是否存在一个实数错误!未找 到引用源。 ,使此数列错误!未找到引用源。为等差数列?若存在求出错误!未找到引用源。 的值及错误!未找到引用源。 ;若不存在,说明理由。 类型四 使用情景 解题步骤 构造法四 已知错误!未找到引用源。 一般利用待定系数法构造等比数列求通项。

例 5 数列错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。,求数列错误!未找到引用源。 的通项公式。 解:错误!未找到引用源。

比较系数得错误!未找到引用源。 若取错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。为首项的等比数列 即 错误!未找到引用源。 由累差法可得错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 = 错误!未找到引用源。

[来源:Zxxk.Com]

类型五 使用情景 解题步骤
[来源:学科网]

构造法五 已知错误!未找到引用源。 一般利用倒数构造等差数列求数列的通项。

例6 已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。求数列错误!未找到引 用源。的通项公式。 解:取倒数 错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。

式 an 。

类型六 使用情景 解题步骤

构造法六 已知错误!未找到引用源。 一般利用取对数构造等比数列。

例7

若数列{ an }中, a1 =3 且 an?1 ? an (n 是正整数) ,求它的通项公式是 an 。

2

【高考精选传真】 1. 【 2012 高 考 真 题 广 东 理 19 】 设 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 满 足

2Sn ? an?1 ? 2n?1 ?1(n ? N * ) ,且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列。
(1)求 a1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式。 (3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? an 2

当 n ? 2 时, ( ) ? ( ) ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? an ? 2 ?
n 2 n n n

3 2

3 2

1 1 ? n an 2

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 1 ? 1? 2 ? 3 ? an 2 2

?

1 1 1 3 ? 1? ? n ? n 2 2 2 2

由上式得:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? (lfxlby) an 2

2.【2012 高考真题全国卷理 22】 (本小题满分 12 分) (注意:在试卷上作答无效 ) ........ 函数 f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1 是过两点 P(4,5) 、Qn(xn,f(xn))的直线 PQn 与 x 轴交 点的横坐标. (Ⅰ)证明:2 错误!未找到引用源。 xn<xn+1<3; (Ⅱ)求数列{xn}的通项公式.

下面用数学归纳法证明 2 ? xn ? 3

[来源:学科网]

当 n ? 1 时, x1 ? 2 ,满足 2 ? x1 ? 3 假设 n ? k 时, 2 ? xk ? 3 成立,则当 n ? k ? 1 时, xk ?1 ?

4 xk ? 3 5 , ? 4? xk ? 2 xk ? 2

由 2 ? xk ? 3 ? 4 ? xk ? 2 ? 5 ? 1 ? 也成立

5 5 11 5 ? ? 2 ? ? 4? ? 3 即 2 ? xk ?1 ? 3 xk ? 2 4 4 xk ? 2

综上可知 2 ? xn ? 3 对任意正整数恒成立。 下面证明 xn ? xn?1 由 xn?1 ? xn ?

4 xn ? 3 4 x ? 3 ? xn 2 ? 2 xn ?( xn ? 1)2 ? 4 ? xn ? n ? xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2

由 2 ? xn ? 3 ? 1 ? xn ?1 ? 2 ? 0 ? ?( xn ?1)2 ? 4 ? 3 ,故有 xn?1 ? xn ? 0 即 xn ? xn?1 综上可知 2 ? xn ? xn?1 ? 3 恒成立。

(2) 由 xn ?1 ? 或 x ? ?1

4x ? 3 4 xn ? 3 2 得到该数列的一个特征方程 x ? 即 x ? 2x ? 3 ? 0 , 解得 x ? 3 x?2 xn ? 2

? xn?1 ? 3 ?

4 xn ? 3 x ?3 ?3 ? n xn ? 2 xn ? 2



xn?1 ? (? 1 ) ?

4 xn ? 3 5 x ? 5 ② ? ? 1 n xn ? 2 xn ? 2

两式相除可得

xn ?1 ? 3 1 xn ? 3 x ?3 2? 3 1 ,而 1 ? ? ? ? ? xn ?1 ? 1 5 xn ? 1 x1 ? 1 2? 1 3

[来源:学科网 ZXXK]

故数 列 ?

? xn ? 3 ? 1 1 ? 是以 ? 为首项以 为公比的等比数列[来源:Z.xx.k.Com] 3 5 ? xn ? 1 ?

xn ? 3 9 ? 5n?1 ? 1 4 1 1 ? 3? 。 ? ? ? ( )n?1 ,故 xn ? n ?1 3? 5 ?1 3 ? 5n?1 ? 1 xn ? 1 3 5

下面用数学归纳法证明 2 ? xn ? 3 当 n ? 1 时, x1 ? 2 ,满足 2 ? x1 ? 3 假设 n ? k 时, 2 ? xk ? 3 成立,则当 n ? k ? 1 时, xk ?1 ?

4 xk ? 3 5 , ? 4? xk ? 2 xk ? 2

由 2 ? xk ? 3 ? 4 ? xk ? 2 ? 5 ? 1 ? 也成立

5 5 11 5 ? ? 2 ? ? 4? ? 3 即 2 ? xk ?1 ? 3 xk ? 2 4 4 xk ? 2

综上可知 2 ? xn ? 3 对任意正整数恒成立。 下面证明 xn ? xn?1

由 xn?1 ? xn ?

4 xn ? 3 4 x ? 3 ? xn 2 ? 2 xn ?( xn ? 1)2 ? 4 ? xn ? n ? xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2

两式相除可得

xn ?1 ? 3 1 xn ? 3 x ?3 2?3 1 ,而 1 ? ? ? ?? xn ?1 ? 1 5 xn ? 1 x1 ? 1 2 ? 1 3

故数列 ?

? xn ? 3 ? 1 1 ? 是以 ? 为首项以 为公比的等比数列[来源:Z.xx.k.C om] 3 5 ? xn ? 1 ?

xn ? 3 9 ? 5n?1 ? 1 4 1 1 ? 3? 。 ? ? ? ( )n?1 ,故 xn ? n ?1 3? 5 ?1 3 ? 5n?1 ? 1 xn ? 1 3 5
【反馈训练】 1. 已知数列错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 求错误!未找到引用源。. 2.设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。,若 * 对于任意的 n∈N ,都有错误!未找到引用源。, (1)求数列错误!未找到引用源。的首项与递推关系式错误!未找到引用源。; (2)先阅读下面定理,若数列错误!未找到引用源。有递推关系错误!未找到引用源。,其中 A、 B 为常数,且 A≠1,B≠0,则数列{错误!未找到引用源。 -错误!未找到引用源。}是以 A 为 公比的等比数列, 请你在第(1)题的基础上应用本定理,求数列错误!未找到引用源。的 通项公式; (3)求数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。. 3.在数列{错误!未找到引用源。}中,错误!未找到引用源。=2,错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 ,求数列的通项错误!未找到引用源。 。 4.已知数列{错误!未找到引用源。}中,错误!未找到引用源。 =1,错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 ,求数列的通项公式。 5、数列{错误!未找到引用源。}满足错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。 (错 误!未找到引用源。),首项为错误!未找到引用源。 ,求数列{错误!未找到引用源。}的通 项公式。 6. 数列{错误! 未找到引用源。 }中, 错误! 未找到引用源。 =5, 且错误! 未找到引用源。 (n=2、 3、4……) ,试求数列{错误!未找到引用源。}的通项公式。 7. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1 .
n

(Ⅰ)写出数列 ?an ? 的前 3 项 a1 ,a 2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式.

12.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (1)设 bn ? an?1 ? 2an ,证 明数列 {bn } 是等比数列 (2)求数列 {an } 的通项公式。

13.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 4, an?2 ? 4an?1 ? 3an (n ? N * ). (1)求 a3 , a4 的值; (2)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (3)求数列 {an } 的通项公式; 14.已知数列{错误!未找到引用源。},错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ,求错误!未找到引用源。=? 15.已知数列{错误!未找到引用源。}满足错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 )错误!未找到引用源。求数列{错误!未找 到引用源。}的 通项公式。 16.已知各项均为正数的数列{错误!未找到引用源。}满足:错误!未找到引用源。 ,且错 误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ,求数列{错误!未找到引用源。}的通项公式。 【变式演练详细解析】 【变式演练 1 详细解析】 构造新数列错误!未找到引用源。 ,使之成为错误!未找到引用源。的等比数列 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 整理得:错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 使之满足已知条件 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 +2 错误!未找到引用源。∴错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。 ∴错误! 未找到引用源。是首项为错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。的等比 数列,由 此得 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到 引用源。=错误!未找到引用源。

由错误!未找到引用源。 (n=1、2、3……)…①得错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。 所以错误!未找到引用源。=2 再错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 (n=2、 3…)…② 将①和②相减得:错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 整理得错误!未找到引用源。 ( n=2、3…)因而数列{错误!未找到引用源。}是首项为错 误!未找到引用源。,q=4 的等比数列。即错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,因 而错误!未找到引用源。 。 【变式演练 4 详细解析】 错误!未找到引用源。由错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=81 得错误!未找 到引用源。=33;又∵错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=33 得错误!未找到引 用源。=13; 又∵错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=13,∴错误!未找到引用源。=5 错误!未找到引用源。假设存在一个实数错误!未找到引用源。 ,使此数列错误!未找到引 用源。为等差数列 即错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。= 错误!未找到 引用源。 该数为常数 ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 即错误!未找到引用源。为首 项错误! 未找到引用源。 ,d=1 的等差数列 ∴错误!未找到引用源。=2+错误!未找到引用源。=n+1 ∴错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。 【变式演练 5 详细解析】 ① 可化为:

【变式演练 6 详细解析】 将 an ?

a n ?1 1 1 1 两边取倒数得: ? ? 2 ,这说明 { } 是 一个等差数列,首项是 a n a n ?1 an 2a n ?1 ? 1

1 1 1 . ? 1 ,公差为 2,所以 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1,即 a n ? 2n ? 1 a1 an
【变式演练 7 详细解析】 因为错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。。在错误!未找到引用源。式两边 取常用对数得错误!未找到引用源。 ① 设错误!未找到引用源。 ② 将① 式代入②式,得错误!未找到引用源。 ,两边消去错误!未找到引用源。并整理,得 错误!未找到引用源。,则 错误!未找到引用源。,故错误!未找到引用源。 代入○ 11式,得错误!未找到引用源。 ③ 由错误!未找到引用源。及③式, 得错误!未找到引用源。,
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【反馈训练详细解析】 1. 【解析】设递推公式错误!未找到引用源。可以转化为错误!未找到引用源。即错误! 未找到引用源。.故递推公式为错误!未找到引用源。,令错误!未找到引用源。,则错误! 未找到引用源。,且错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。是以错误!未找到引用源。为首项,2 为公比的等比数列,则错 误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。. 2.【解析】(1)∵Sn=2an-3n, ∴Sn+1=2an+ 1-3(n+1). ∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3. 故 an+1=f(an)=2an+3. (2)∵an+1+3=2(an+3), n-1 n ∴{an+3}为等比数列,首项为 a1+3=6,公比为 2, 故 an+3=6×2 =3×2 . n ∴an=3×2 -3. (3)Sn=a1+a2+a3+…+an 2 n =3(2+2 +…+2 )-3n n+1 =3×2 -6-3n. 3.【解析】构造新数列错误!未找到引用源。 ,使之成为 q=4 的等比数列,则错误!未找到 引用源。=错误!未找到引用源。 整理得:错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。满足 错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 新数列错误!未找到引用源。的首项为错误!未找到引用源。 ,q=4 的等比数列 ∴错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。
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4.【解析】构造数列错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。为不为 0 的常数,使之 成为 q=2 的等比数列 即错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 整理得:错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。 满足 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 得错误!未找到引用源。 ∴错误!未 找到引用源。新数列错误!未找到引用源。是首项为错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。 ,q=2 的等比数列 ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ∴错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。

得错误!未找到引用源。 ,d=1 ,即错误!未找到引用源。是首项为错误!未找到引用源。 , 公差 d=1 的等差数列。 故错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 7. 【解析】⑴当 n=1 时,有:S1=a1=2a1+(-1) ? a1=1; 2 当 n=2 时,有: S2=a1+a2=2a2+(-1) ? a2=0; 3 当 n=3 时,有:S3=a1+a2 +a3=2a3+(-1) ? a3=2; 综上可知 a1=1,a2=0,a3=2;
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⑵由已知得: an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? (?1)n ? 2an ?1 ? (?1)n?1 化简得: an ? 2an?1 ? 2(?1)n?1

2 2 (?1) n ? 2[an ?1 ? (?1) n ?1 ] 3 3 2 2 n 1 故数列{ an ? ( ?1) }是以 a1 ? (?1) 为首项, 公比为 2 的等比数列. 3 3 2 1 n ?1 1 n ?1 2 2 n 2 ? (?1) n ? [2n ? 2 ? (?1) n ] 故 an ? ( ?1) ? 2 ∴ an ? 3 3 3 3 3 2 n?2 n 数列{ an }的通项公式为: an ? [2 ? (?1) ] . 3
上式可化为: an ? 8.【解析】在错误!未找到引用源。两边乘以错误!未找到引用源。得:错误!未找到引用 源。 令错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。,应用例 7 解法得:错误!未找到引用 源。 所以错误!未找到引用源。

得错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。, 故 数列错误!未找到引用源。是以错误!未找到引用源。为首项,以 3 为公比的等比数列, 因此错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。。 10.【解析】原递推式可化为:

an?1 ? ? ? 3n ? 2(an ? ? ? 3n?1 )



比较系数得 ? =-4,①式即是: an?1 ? 4 ? 3n ? 2(an ? 4 ? 3n?1 ) . 则数列 {an ? 4 ? 3n?1} 是一个等比数列,其首项 a1 ? 4 ? 3 ∴ an ? 4 ? 3n?1 ? ?5 ? 2 n?1 即 an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2 n?1 .
1?1

? ?5 ,公比是 2.

(3)由(2)可知,存在常 数 t ? ?

a ?t 1 ,使 { n n } 为等差数列, 2 3

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a2 ? t a1 ? t a ?t 3 ? ? 1 ,又 1 ? 9 3 3 2 an ? t 3 1 1 1 ? ? (n ? 1) ? n ? ,即 an ? (n ? ) ? 3n ? 则 n 2 3 2 2 2
且公差 d ? 12.【解析】 (I)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有

a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3
由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又

bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列.
an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

(II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

a 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列.[来源.网.] ? 数列 { n n 2 4 2 a 1 3 3 1 ? ? (n ? 1) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 ? n n 2 2 4 4 4
13.【解析】 (1)解: a3 ? 4a2 ? 3a1 ? 13, (2)证明:

a4 ? 4a3 ? 3a2 ? 46

an?2 ? 4an?1 ? 3an , ?an?2 ? an?1 ? 3(an?1 ? an )
an ? 2 ? an ?1 ? 3, an ?1 ? an

又 a1 ? 1, a2 ? 4 ,?

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1 【解析】把原式变形得错误!未找到引用源。 4. 误!未找到引用源。 两边同除以错误!未找到引用源。得错

∴错误!未找到引用源。是首项为错误!未找到引用源。 ,d=错误!未找到引用源。的等差 数列故错误!未找到引用源。∴错误!未找到引用源。 。

16.【解析】解:把原式变形为错误!未找到引用源。 两边同除以错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 移项得:错误!未找到引 用源。 所以新数列错误!未找到引用源。是首项为错误!未找到引用源。 q=2 的等比数列。 故错误!未找到引用源。 解关于错误!未找到引用源。的方程得错误!未找到引用源。 。
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