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首都师范大学2010-2012学年第一学期-数学分析期中试卷


首都师范大学 2010-2012 学年第一学期 期中考试试卷
考试科目:数学分析 3 数学科学学 院 姓名


试卷类别:A 系 级

考试时间: 120 班 毛

分钟

学号 一 二 三 四

题号
订 线 内





总分

得分 得分 评卷人 一、计算曲线积分与曲面积分 计算曲线积分与曲面积分.(每小题 5 分,共 20 积分 分) 1.计算 ∫ ( x + y )ds ,其中 L 为连接(1,0)及(0,1)两点的
L

直线段.








2.计算



L

( xy ? x 2 )dx + ( x + 2 y 2 )dy , 其中 L 是由抛物线 y = x 2 和

y 2 = x 所围成的区域的正向边界曲线.

第1页共6页

1 3. 求 ∫∫ dS ,其中 S 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = 16 被平面 z = 2 截出的顶 z S
部.

4. 计算 ∫∫ x 3 dydz + y 3 dzdx + z 3 dxdy ,其中 Σ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 的外 侧.

得分

评卷人

二、证明题(6 分) 证明题 证明曲线积分 ∫
( 3, 4 ) (1, 2 )

( xy 2 ? 3 y )dx + ( x 2 y ? 3 x)dy 在整

个 xoy 平面内与路径无关,并计算其积分值.

第2页共6页

得分

评卷人

判断级数的敛散性(包括绝对收敛, 三、判断级数的敛散性(包括绝对收敛,条件收 敛)(每题 5 分,共 20 分) ∞ 1 1. ∑ n n n =1

∞ n ? 3n + 2 ? 2. ∑ (? 1) ? ? ? 4n + 1 ? n =1

n

3.

∑ (?1)
n =1



n

sin

π
n

3. ∑
n =1



(? 1)n
n

3n 1 + 3n

得分

评卷人

四、证明题(每题 6 分,共 30 分) 证明题 1.设正项级数

∑ a 和∑b
n =1 n n =1





n

都收敛,证明级数

∑ (a
n =1



n

+ bn ) 2 也收敛.

第3页共6页

2.证明函数列 f n ( x ) = 敛.

x ,n =1, 2 ,L 1 + n2 x2

,在( ? ∞ , + ∞ )上一致收 (

3.证明函数项级数 ∑
n =1



(? 1)n?1
x2 + n

在( ? ∞ (

, + ∞ )上一致收敛.

4. 证明函数 f ( x) = ∑
n =1



cos nx n
3 2

在( ? ∞ , + ∞ )上连续.

第4页共6页

5.设 5. u n ( x) ≤ v n ( x) , ?x ∈ I , ?n ∈ N ,若

∑ v ( x) 在 I 上一致收敛,则
n =1 n



∑u
n =1



n

( x) 在 I 上一致收敛.

得分

评卷人

五、幂级数(每题 6 分,共 12 分) 幂级数 ∞ ( x ? 1) n 1.求幂级数 ∑ 的收敛半径、收敛区间、收敛 n n =1

域.

xn 2.. 求幂级数 ∑ n 的收敛域及和函数. n =1 n 2



第5页共6页

得分

评卷人

六、函数的幂级数展开(每题 6 分,共 12 分) 函数的幂级数展开 1. 将函数

f ( x ) = ∫ 0 cos t 2 dt 展为马克劳林级数.
x

2. 将函数 f ( x) =

1 展开成 ( x + 2) 的幂级数. x + 4x + 3
2

第6页共6页


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