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函数的单调性问题教师版


高频考点 函数的单调性 知识点 5:函数单调性的定义及应用: 定义:在函数 y ? f ?x ? 的定义域 A 的某一区间 I 内任取 x1 , x 2 ? I ,且 x1 ? x 2 . 1 ○ x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则称 y ? f ?x ? 在区间 I 上为增函数; 2 ○ x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2

? ,则称 y ? f ?x ? 在区间 I 上为减函数. 说明: (1)函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质; (2)函数的单调性是对某个区间而言的,在某一点上不存在单调性且单调区间不可写并集; (3)函数单调性的定义中,有两层意思: ①对于任意的 x1 , x2 ? M ,若 x1 ? x2 ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称 f ( x) 在 M 上是增函数; ②若 f ( x) 在 M 上是增函数,则当 x1 ? x2 时,就有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立. (4)图象特征:图象是上升趋势的为增函数;图象是下降趋势的为减函数. 1.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,则 f(x)=0 的根 ( C ) A.有且只有一个 B.有 2 个? C.至多有一个 D.以上均不对 2.已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a) ·f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b] ) (D A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根? D.必有惟一的实根 题型 1:证明函数的单调性:步骤:一设,二作差,三变形判断符号,四结论 变形常用的手段有:通分,提取公因式、配方法、有理化、因式分解。 x +2 在 (-1, ??) 上是减函数。 x +1 x2 ? x1 x +2 x2 +2 ? ? 解:在 (-1, ??) 上任取 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 x1 +1 x2 +1 (x2 +1)(x1 +1) 因为 x2 ? x1 ? ?1 ,所以 x2 ? x1 ? 0, x2 +1>0,x1 +1 ? 0 。 x2 ? x1 x +2 ? >0 , 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ; f ( x2 )>f ( x1 ) , 故 f ( x) ? 即 在区间 (-1,+?) 上为减函数。 (x2 +1)(x1 +1) x +1 1.利用单调性的定义证明函数 f ( x) ? 练.证明函数 f ( x) ? x ? 2 在 R 上的单调递增。 题型 2.函数单调性的判定,有一些规律 3 〈1〉若 y ? f ?x ? ? , y ? g ?x ? ? ,则 y ? f ?x ? ? g ?x ? ? .(若 f (x) 单增, g (x) 单减,则 f ( x) ? g ( x) 单增) 〈2〉若 y ? f ?x ? ? , y ? g ?x ? ? ,则 y ? f ?x ? ? g ?x ? ? . 〈3〉若 f ? x ? 是增函数,那么 〈4〉若 f ? x ? 是减函数,那么 f ?x ? 是增函数, ? f ?x ?, 1 ( f ( x) ? 0或 ? 0 部分)是减函数。 f ?x ? 1 f ?x ? 是减函数, ? f ?x ?, ( f ( x) ? 0或 ? 0 部分)是增函数。 f ?x ? 1.设 f ( x) 是定义在 A 上的减函数,且 f ( x) ? 0 ,则下列函数① y ? 3 ? 2 f

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