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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 7-2 两条直线的位置关系课件 (文) 全国.重庆专版


第二节

两条直线的位置关系

? 1.两条直线平行与垂直的判定

? 1.两条直线l1、l2垂直的充要条件是斜率之

积为-1,这句话正确吗? ? 【提示】 不正确.由两直线的斜率之积 为-1,可以得出两直线垂直,反过来, 两直线垂直,斜率之积不一定为-1.如果 l1、l2中有一条直线的斜率不存在,另一 条直线的斜率为0时,l1与l2互相垂直.

2.到角与夹角 (1)直线 l1 与 l2 相交, l1 按 把

逆时针

方向旋

转到与 l2 重合时所旋转的角,叫做 l1 到 l2 的角,记为 θ, θ∈ (0,π) ,tan θ=
? π? ?如1+k2k1=0,则θ= ?. 2? ?

? (2)记l1到l2的角为θ,则l2到l1的角为π-θ,

当直线l1与l2相交但不垂直时,θ和π-θ中 有且仅有一个 角是锐角,把其中的 锐角 叫做两条直线的夹角.记夹角为α,则 tan α=

? 当直线l1⊥l2时,我们说直线l1和l2的夹角



? 当两条直线的斜率k1,k2有一个不存在时,

可画出图形,根据另一条直线的斜率求 “到角”或“夹角”.当1+k2k1=0时, “夹角”和“到角”均为.

? 3.点到直线的距离

? (1)点到直线的距离
? 点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距

离d=

? (2)两条平行线间的距离 ? 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2

=0间的距离 ? d=

2.在应用点到直线的距离公式与两 条平行线间的距离公式时应注意什么问题? ? 【提示】 (1)求点到直线的距离时,直线 方程要化为一般式; ? (2)求两条平行线间的距离时,必须将两条 直线方程化为系数相同的一般形式后,才 能套用公式计算.
?

(1)若点 P 在直线上,点 P 到直线的距离为零,公式仍 然适用. (2)当 A=0 或 B=0 时,可以不用公式而直接求距离; 当 A=0 时,点到直线的距离是 当 B=0 时,点到直线的距离是
? C? d=?y0+B?. ? ? ? C? d=?x0+A?. ? ?

1.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行, 则 a= A.-3 3 C.-2 B.-6 2 D.3 ( )

【解析】

a 由题意得- =3,∴a=-6. 2

【答案】 B

2.直线 y=2 与直线 x+y-2=0 的夹角是( π A.4 π C.2
? 【答案】

)

π B.3 3π D. 4

A

3.已知点(cos θ,sin θ)到直线 xsin θ+ycos θ-1=0 1 π 的距离是2(0≤θ≤2),则 θ 的值为 π A.12 π 5π C.12或12 5π B.12 5π π D. 6 或6 ( )

【解析】

|sin θcos θ+cos θsin θ-1| 1 ∵ =2, 1

1 π π 5π ∴sin 2θ=2(0≤θ≤2),即 θ=12或12.

【答案】 C

? 4.点P为x轴上一点,P点到直线3x-4y+

6=0的距离为6,则P点坐标为________.
【解析】 |3a-4×0+6| 设 P(a,0),则有 2 2 =6, 3 +(-4)

解得 a=-12 或 a=8. ∴P 点坐标为(-12,0)或(8,0).

【答案】 (-12,0)或(8,0)

? 5.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对

称的直线方程是________.
【解析】 由对称性知,所求直线方程设为 2x+3y+C =0. 又(1,-1)到两直线距离相等, |2-3-6| |2-3+C| ∴ 2 2= 2 2 ,解得 C=8(C=-6 舍去). 2 +3 2 +3

【答案】 2x+3y+8=0

已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x +my-1=0.试确定m、n的值,使 ? (1)l1与l2相交于点P(m,-1); ? (2)l1∥l2; ? (3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1. ? 【思路点拨】 两直线的位置关系如何用 直线方程的系数来反映是解题的切入点.
?

【解析】

(1)∵m2-8+n=0 且 2m-m-1=0,

∴m=1,n=7. (2)当 m=0 时,显然 l1∥[FK)]l2, m 8 n 当 m≠0 时,由 = ≠ 得 2 m -1
?m· ? m-8×2=0, ? ?8×(-1)-n· m≠0, ? ?m=4, ? ∴? ?n≠-2. ? ?m=-4, ? 或? ?n≠2. ?

.

即 m=4,n≠-2 时,或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2.

(3)当且仅当 m· 2+8· m=0,即 m=0 时 l1⊥l2. n 又-8=-1,∴n=8. 即 m=0,n=8 时,l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.

?

腰三角形一腰所在直线l1的方程是x -2y-2=0,底边所在直线l2的方程是x+ y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求该腰 所在直线l3的方程.

【解析】

设 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,l1

1 到 l2 的角是 θ1,l2 到 l3 的角是 θ2,则 k1= ,k2=-1, 2 k2-k1 tan θ1= = 1+k1k2 1 -1-2 1 1+(-1)×2

=-3.

因为 l1,l2,l3 所围成三角形是等腰三角形,所以 θ1 =θ2,tan θ1=tan θ2=-3. k3-k2 k3+1 即 =-3, =-3,得 k3=2. 1+k3k2 1-k3

? 又∵直线l3经过点(-2,0), ? ∴直线l3的方程为y=2(x+2). ? 即2x-y+4=0.

? 应用平面几何知识求几何图形各边所在直

线时,经常使用夹角与到角公式,要注意 采集已知条件中所含信息以便于选用公式, 切忌不考虑图形特点盲目使用两公式的做 法.如果不能确定是哪条直线到哪条直线 的角,可先用夹角公式进行运算再对运算 结果用图形或借助题目其他条件进行检验 和取舍.

1.已知直线 l 经过两条直线 l1:x+2y=0 与 l2:3x-4y π -10=0 的交点,且与直线 l3:5x-2y+3=0 的夹角为4,求 直线 l 的方程.

【解析】

?x+2y=0, ? 由? ?3x-4y-10=0 ?



解得 l1 和 l2 的交点坐标为(2,-1). 设所求直线 l 的方程为 y+1=k(x-2). 5 π π ? k-kl3 ? ? 又 kl3=2,由 l 与 l3 的夹角为4,得 tan4=? ?1+kkl ?, 3? ? 5? ? ? k-2 ? 2k-5 7 3 ? 即 1=? 1?k=-3或 k=7. 5 ??5k+2=± ?1+ k 2 ? ?

故所求直线 l 的方程为: 7 3 y+1=- (x-2)或 y+1= (x-2), 3 7 即 7x+3y-11=0 或 3x-7y-13=0.

已知直线 l1:2x-y+a=0(a>0),直线 l2: -4x+2y+1=0 和直线 l3:x+y-1=0,且 l1 与 l2 的距离 7 5 是 10 .

(1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使得 P 点同时满足下列三个条 件: ①P 是第一象限的点;②P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 1 的距离的2;③P 点到 l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之比是 2∶ 5.若能,求出 P 点坐标;若不能,说明理由.

【解析】

1 (1)l2:-4x+2y+1=0 即 2x-y- =0, 2
? ? 1?? ?a-?- ?? ? ? 2??

7 5 ∴l1 与 l2 的距离 d= 2 2= 10 , 2 +(-1)
? 1? 7 ∴?a+2?=2.∵a>0,∴a=3. ? ?

(2)设存在点 P(x0,y0)满足②,则 P 点在与 l1、l2 平行 |C-3| 1 的直线 l′:2x-y+C=0 上,且 = · 2 5 13 11 即 C= 2 ,或 C= 6 , 13 11 ∴2x0-y0+ 2 =0,或 2x0-y0+ 6 =0; 若 P 点满足条件③,由点到直线的距离公式有 |2x0-y0+3| 2 |x0+y0-1| = · , 5 5 2
? 1? ?C+ ? 2? ?

5



即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|. ∴x0-2y0+4=0,或 3x0+2=0. ∵P 在第一象限,∴3x0+2=0 不可能. 13 ? ?x0=-3, ?2x0-y0+ =0, ? 2 由? ,得? (舍去 1 ?x0-2y0+4=0 ?y0=2. ? ?

1 ? 11 ? ?x0=9, ?2x0-y0+ =0, 6 由? 得? ?x0-2y0+4=0, ?y0=37. ? 18 ?
?1 37? ∴P?9,18?为同时满足三个条件的点. ? ?

? (1)挖掘题目的隐含条件,题目隐含l1∥l2,

故第(2)问中满足②的条件转化为“P点在 直线l′:2x-y+C=0”上. ? (2)第(2)问属存在型开放问题,解决的方 法可概括为“假设——推理——否定(肯定)假 设——得出结论”,即假设存在型开放问 题的结论成立,以此为基础进行演绎推理, 若出现矛盾,则否定假设,得出相反结论; 若推出合理结果,说明假设正确.

? 2.已知点P(2,-1).
? (1)求过P点与原点距离为2的直线l的方程; ? (2)求过P点与原点距离最大的直线l的方程,

最大距离是多少? ? (3)是否存在过P点与原点距离为6的直线? 若存在,求出方程;若不存在,请说明理 由.

【解析】

(1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2,而 P 点

坐标为(2,-1),可见,过 P(2,-1)垂直于 x 轴的直线满足 条件. 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 由已知,得 =2, 2 k +1 3 解之得 k= . 4

? 此时l的方程为3x-4y-10=0.

? 综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-

10=0.

(2)作图可证过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且 与 PO 垂直的直线, 由 l⊥OP,得 klkOP=-1. 1 所以 kl=-k =2. OP 由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2), 即 2x-y-5=0, 即直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直 |-5| 线,最大距离为 = 5. 5

(3)由(2)可知, P 点不存在到原点距离超过 5的直线, 过 因此不存在过 P 点且到原点距离为 6 的直线.

已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1, -2),求: ? (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标; ? (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称 直线m′的方程; ? (3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的 方程.
?

【解析】

(1)设 A′(x,y),再由已知 33 ? ?x=-13, 解得? ?y= 4 . ? 13

?y+2 2 ? ·=-1, x+1 3 ? ? x-1 y-2 ? ?2× 2 -3× 2 +1=0. ?
? 33 4? ∴A′?-13,13?. ? ?

(2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0), 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点必在 m′上. 设对称点为 M′(a,b),则
?a+2? ?b+0? ? ? ? ? ?2× -3×? ? 2 ? ? 2 ?+1=0, ? ? ? ? ? ? ?b-0×2=-1. ?a-2 3 ?

解得

?6 30? M′?13,13?. ? ? ?2x-3y+1=0, ? N,则由? ?3x-2y-6=0. ?

设 m 与 l 的交点为

? 得N(4,3). ? 又∵m′经过点N(4,3), ? ∴由两点式得直线方程为9x-46y+102=0.

? (3)设P(x,y)为l′上任意一点, ? 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为 ? P′(-2-x,-4-y),

? ∵P′在直线l上,
? ∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, ? 即2x-3y-9=0.

? (1)在对称问题中,点关于直线的对称是最

基本也是最重要的对称,处理这种问题要 抓住两点:一是已知点与对称点的连线与 对称轴垂直;二是以已知点与对称点为端 点的线段的中点在对称轴上. ? (2)处理直线关于直线的对称问题可以转化 为点关于直线的对称问题来解决. ? (3)直线关于点的对称都可以转化为点关于 点的对称来处理.

? 3.一条光线经过P(2,3)点,射在直线l:x

+y+1=0上,反射后穿过点Q(1,1). ? (1)求入射光线的方程; ? (2)求这条光线从P到Q的长度.

【解析】

(1)设点 O′(x′,y′)为 Q 关于直线 l 的对

称点且 QQ′交 l 于 M 点. ∵kl=-1,∴kQQ′=1, ∴QQ′所在直线方程为 y-1=1· (x-1), 即 x-y=0.
?x+y+1=0, ? 由? ?x-y=0, ?

解得 l 与 QQ′的交点 M 又∵M 为 QQ′的中点,

? 1 1? 的坐标为?-2,-2?. ? ?

?1+x′ 1 ? 2 =-2, ? 由此得? 1 ?1+y′ ? 2 =-2 ? ∴Q′(-2,-2).

?x′=-2, ? 解之得? ?y′=-2 ?

设入射光线与 l 交于点 N,且 P、N、Q′共线. 则 P(2,3),Q′(-2,-2),得入射光线方程为 y+2 x+2 = ,即 5x-4y+2=0. 3+2 2+2

(2)∵l 是 QQ′的垂直平分线,∴|NQ|=|NQ′|, ∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′| = (3+2)2+(2+2)2= 41. 即这条光线从 P 到 Q 的长度是 41.

? 本节主要考查两直线平行、垂直的判定、

点到直线的距离、两平行直线间的距 离.高考题型以填空题为主,解答题较 少.难度为中低档题.

? 1.(2009年上海卷)已知直线l1:(k-3)x+(4

-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行, 则k的值是 ( ) ? A.1或3 B.1或5 ? C.3或5 D.1或2

? 【解析】

∵l1∥l2, ? ∴-2(k-3)-2(k-3)(4-k)=0,(k-3)(5 -k)=0, ? ∴k=3或5. ? 【答案】 C

2.(2009 年全国卷Ⅰ)若直线 m 被两平行线 l1:x-y +1=0 与 l2: x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2, m 则 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________.(写出所有正确答 案的序号) ( )

【解析】 两直线 x-y+1=0 与 x-y+3=0 之间的 |3-1| 距离为 = 2,又动直线被 l1 与 l2 所截的线段长为 2 2 2,故动直线与两直线的夹角应为 30° ,因此只有①⑤ 适合.
? 【答案】

①⑤


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