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2015创新设计(高中理科数学)题组训练5-2


第2讲

等差数列及其前 n 项和
基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 S3 S2 1.(2013· 温州二模)记 Sn 为等差数列{an}前 n 项和,若 3 - 2 =1,则其公差 d= ( 1 A.2 C.3 解析 B.2 D.4 a1+a2+a3 a1+a2 S3 S2 由 3 -

2 =1,得 - 2 =1, 3 ).

d? ? 即 a1+d-?a1+2?=1,∴d=2. ? ? 答案 B

2.(2014· 潍坊期末考试)在等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么 a3+a4+…+ a9 等于 A.21 C.35 解析 答案 B.30 D.40 由题意得 3a6=15,a6=5.所以 a3+a4+…+a9=7a6=7×5=35. C ( ).

3.(2013· 揭阳二模)在等差数列{an}中,首项 a1=0,公差 d≠0,若 am=a1+a2 +…+a9,则 m 的值为 A.37 C.20 解析 答案 B.36 D.19 由 am=a1+a2+…+a9,得(m-1)d=9a5=36d?m=37. A ( ).

4.(2014· 郑州模拟){an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a7=5,S7=21,则 S10= A.40 C.30 解析 B.35 D.28 7?a1+a7? 7?a1+5? 设公差为 d,则由已知得 S7= ,即 21= ,解得 a1=1, 2 2 ( ).

10×9 10×9 2 2 所以 a7=a1+6d,所以 d=3.所以 S10=10a1+ 2 d=10+ 2 ×3=40. 答案 A

5.(2013· 淄博二模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 a13=S13=13,则 a1= A.-14 C.-12 解析 B.-13 D.-11 ( ).

13?a1+a13? 在等差数列中,S13= =13,所以 a1+a13=2,即 a1=2-a13 2

=2-13=-11. 答案 D

二、填空题 6.(2013· 肇庆二模)在等差数列{an}中,a15=33,a25=66,则 a35=________. 解析 答案 a25-a15=10d=66-33=33,∴a35=a25+10d=66+33=99. 99

7.(2014· 成都模拟)已知等差数列{an}的首项 a1=1,前三项之和 S3=9,则{an} 的通项 an=________. 解析 由 a1=1,S3=9,得 a1+a2+a3=9,即 3a1+3d=9,解得 d=2,∴an

=1+(n-1)×2=2n-1. 答案 2n-1

8.(2013· 浙江五校联考)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),若 a2∶a3=5∶ 2,则 S3∶S5=________. 解析 答案 S3 3?a1+a3? 3a2 3 5 3 S5=5?a1+a5?=5a3=5×2=2. 3∶2

三、解答题 9.已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (1)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (2)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围. 解 (1)因为数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列,所以 a2 1=1×(a1

+2),即 a2 1-a1-2=0,解得 a1=-1 或 2.
2 (2)因为数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9,所以 5a1+10>a2 1+8a1,即 a1+

3a1-10<0,解得-5<a1<2. 故 a1 的取值范围是(-5,2). Sn 10.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an= n +2(n-1)(n∈N*). (1)求证:数列{an}为等差数列,并求 an 与 Sn. S2 S3 Sn (2)是否存在自然数 n,使得 S1+ 2 + 3 +…+ n -(n-1)2=2 015?若存在, 求出 n 的值;若不存在,请说明理由. 证明 Sn (1)由 an= n +2(n-1),得 Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*).

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1), 即 an-an-1=4, 故数列{an}是以 1 为首项,4 为公差的等差数列. ?a1+an?n 于是,an=4n-3,Sn= =2n2-n(n∈N*). 2 Sn (2)由(1),得 n =2n-1(n∈N*), S2 S3 Sn 又 S1+ 2 + 3 +…+ n -(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2=n2- (n-1)2=2n-1. 令 2n-1=2 015,得 n=1 008, 即存在满足条件的自然数 n=1 008. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.(2014· 咸阳模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4 =130,则 n= A.12 C.16 解析 B.14 D.18 Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80, ( ).

S4=a1+a2+a3+a4=40, 所以 4(a1+an)=120, a1+an=30, n?a1+an? 由 Sn = =210,得 n=14. 2 答案 B

2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=13,S3=S11,当 Sn 最大时,n 的值 是 A.5 C.7 解析 法一 B.6 D.8 由 S3=S11,得 a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质,可 ( ).

得 a7+a8=0,根据首项等于 13 可推知这个数列递减,从而得到 a7>0,a8 <0,故 n=7 时,Sn 最大. 法二 由 S3=S11,可得 3a1+3d=11a1+55d,把 a1=13 代入,得 d=-2,

故 Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n,根据二次函数的性质,知当 n=7 时,Sn 最大. 法三 根据 a1=13,S3=S11,则这个数列的公差不等于零,且这个数列的和

先是单调递增然后又单调递减,根据公差不为零的等差数列的前 n 项和是关 3+11 于 n 的二次函数,以及二次函数图象的对称性,得只有当 n= 2 =7 时, Sn 取得最大值. 答案 C

二、填空题
2 2 * 3. (2014· 九江一模)正项数列{an}满足: a1=1, a2=2,2a2 n≥2), n=an+1+an-1(n∈N ,

则 a7=________. 解析
2 2 * 因为 2a2 n=an+1+an-1(n∈N ,n≥2),

2 2 2 所以数列{a2 n}是以 a1=1 为首项,以 d=a2-a1=4-1=3 为公差的等差数列,

所以 a2 n=1+3(n-1)=3n-2, 所以 an= 3n-2,n≥1. 所以 a7= 3×7-2= 19. 答案 三、解答题 4. (2013· 西安模拟)已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 a3· a4 =117,a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)若数列{bn}满足 bn= ,是否存在非零实数 c 使得{bn}为等差数列?若 n+c 存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,且 d>0,由等差数列的性质,得 a2+a5 19

=a3+a4=22, 所以 a3,a4 是关于 x 的方程 x2-22x+117=0 的解,所以 a3=9,a4=13,易 知 a1=1,d=4,故通项为 an=1+(n-1)×4=4n-3. n?1+4n-3? 2n2-n Sn 2 (2)由(1)知 Sn= =2n -n,所以 bn= = . 2 n+c n+c 法一 1 6 15 所以 b1= ,b2= ,b3= (c≠0). 1+c 2+c 3+c

1 令 2b2=b1+b3,解得 c=-2. 2n -n 1 当 c=- 时,bn= =2n, 2 1 n-2 当 n≥2 时,bn-bn-1=2. 1 故当 c=-2时,数列{bn}为等差数列. n?1+4n-3? 1? ? 2n?n-2? 2 ? ? Sn 由 bn = = = , n+c n+c n+c
2

法二

∵c≠0, 1 ∴可令 c=-2,得到 bn=2n. ∵bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*), ∴数列{bn}是公差为 2 的等差数列. 1 即存在一个非零常数 c=-2,使数列{bn}也为等差数列.


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