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1.3函数的基本性质(教案)


[课题 ]:第一章 集合与函数概念 主备人:高一数学备课组陈伟坚

1.3 函数的基本性质

编写时间:2013 年 10 月 8 日 使用班级(21) (22) 第 7 周 星期 一至三

计划上课时间: 2013-2014 学年第 一学期 [课标、大纲、考纲内容 ]: 课标要求 教学大纲要求

广

东考试说明的内容

①通过已学过的函数特别是二次函 ①了解函数的单调性的概念, ①理解函数的单调性、最大值、 数,理解函数的单调性、最大(小) 掌握判断一些简单函数的单 最小值及其几何意义;结合具体 函数,了解函数奇偶性的含义. 值及其几何意义;结合具体函数,了 调性的方法。 ②能够运用函数的性质解决 ②会运用函数图象理解和研究 解奇偶性的含义。 ②学会运用函数图象理解和研究函 某些简单的实际问题。 数的性质。 函数的性质.

【教材与学情分析】 学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质,通过这些基本初 等函数引入函数的单调性和最值,学生还是容易接受的,但很多学生的二次函数的性质还 不过关,需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱,教师需要引导学生对函数的单调性、 奇偶性的定义理解透彻。 [教学目标 ]: 知识目标:
1. 运用已学过的函数特别是二次函 数的图象,理解函数的单调性、 最大(小)值及其几何意义; 2. 会用定义证明函数的单调性,会 求函数的单调区间及求函数的最 值; 3. 结合具体函数,了解奇偶性的含 义,会判定简单函数的奇偶性;

能力目标:

情感态度与价值观目标:

1. 会 用 定义 证明 函数 的 单 1. 树立用数形结合思想 解决 调性,会求函数的单调区 问题的意识. 间及求函数的最值; 2. 通过学习数学推理的能力,

2. 会判定简单函数的奇偶性; 体会数学推理的严谨性。 3. 进一步体会数学语言 的简 洁性与明确性, 发展运用数学 语言交流问题的能力。

[教学重难点 ]: 1、重点:理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;求函数的单调区间和最值;奇偶性
的定义,判定函数的奇偶性的方法;运用函数图象理解和研究函数的性质。

2、难点:运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义,研究基本函数的单调性和奇偶性。 [课的类型、教具、教法、教时 ]: 课的类型 教具 主要教法 教时 新授课 多媒体课件 阅读交流、合作探究 5

第 4 课时

1.3.2 函数的奇偶性
1

教学目的: (1)理解函数的奇偶性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)学会判断函数的奇偶性. 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义. 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式. 教学过程: 一、引入课题 1.实践操作: 取一张纸,在其上画出平面直角坐标系,并在第一象限任画一可作为函数图象的图形,然后按如下 操作并回答相应问题:
1 ○ 以 y 轴为折痕将纸对折,并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸 展开,观察坐标系中的图形;

问题:将第一象限和第二象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数 y=f(x) 的图象, 若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系? 答案: (1)可以作为某个函数 y=f(x) 的图象,并且它的图象关于 y 轴对称; (2)若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x,f(x))也在函数图象上,即函数图象 上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等.
2 ○ 以 y 轴为折痕将纸对折,然后以 x 轴为折痕将纸对折,在纸的背面(即第三象限)画出第一象 限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形:

问题:将第一象限和第三象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数 y=f(x) 的图象, 若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系? 答案: (1)可以作为某个函数 y=f(x) 的图象,并且它的图象关于原点对称; (2)若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x,-f(x))也在函数图象上,即函数图 象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标也一定互为相反数. 2.观察思考(教材 P33 观察思考) 二、新课教学 (一)函数的奇偶性定义 1 中的图象关于 y 轴对称的函数即是偶函数, 2 中的图象关于原点对称的函数 象上面实践操作○ 操作○ 即是奇函数. 1.偶函数(even function) 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) ,那么 f(x)就叫做偶函数. (学生活动) :仿照偶函数的定义给出奇函数的定义 2.奇函数(odd function) 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) ,那么 f(x)就叫做奇函数. 注意:
1 ○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 2 ○ 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则

-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . (二)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. (三)典型例题 1.判断函数的奇偶性 例 1. (教材 P35 例 5)应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性. (本例由学生 讨论,师生共同总结具体方法步骤) 解: (略)
2

总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○
2 确定 f( -x)与 f(x) 的关系; ○ 3 作出相应结论: ○

若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 巩固练习: (教材 P36 练习:1) 说明:函数具有奇偶性的一个必要条件是,定义域关于原点对称,所以判断函数的奇偶性应应首先 判断函数的定义域是否关于原点对称,若不是即可断定函数是非奇非偶函数. 2.利用函数的奇偶性补全函数的图象 (教材 P39 习题 1.3 A 组:6) 规律: 偶函数的图象关于 y 轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. 说明:这也可以作为判断函数奇偶性的依据. 3.函数的奇偶性与单调性的关系 (学生活动)举几个简单的奇函数和偶函数的例子,并画出其图象,根据图象判断奇函数和偶函数 的单调性具有什么特殊的特征. 例 3.已知 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0)上也是增函数 解:(由一名学生板演,然后师生共同评析,规范格式与步骤) 规律: 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反; 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致. 三、归纳小结,强化思想 本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法 判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.单调性与奇偶性的综合应用 是本节的一个难点,需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质. 四、作业布置 书面作业:课本 P39 习题 1.3(A 组) 第 6 题, 五、教学反思:分段函数奇偶性的判断中,学生对 f(-x) =-f(x)或 f(-x) = f(x)中 f(x)取哪一部分比 较不明确。特别地,奇函数在 0 处有定义 f(x)=0,抓住函数的图象特征直观形象地辅助解题。

第 5 课时

本单元小结

教学目的: (1)理解函数奇偶性与单调性定义、判定方法; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)函数的奇偶性与单调性的关系. 教学重点:函数的奇偶性与单调性的关系. 教学难点:已知函数的奇偶性与单调性,求参数的范围. 教学过程:
3

一、复习回顾: (提问学生) 1.证明函数单调性的步骤; 2.求函数单调区间的方法; 3.函数的奇偶性定义; 4.判断函数的奇偶性的步骤; 5.具有奇偶性的函数的图象的特征。 二、综合能力提升: (学生思考求解,学生讲评,教师点评) 1.判断下列函数的奇偶性: ① f ( x) =

2 x2 + 2 x ; x+ 1
(x? R)

② f ( x) = a

ì x(1- x ) ? ③ f ( x) = ? í ? ? ? x(1 + x )

x ? 0, x < 0.

点评:判断函数的奇偶性注意先求函数的定义域,含参数问题注意是否需要分类讨论。

2. 已知函数 y=f(x) 为奇函数, 且当 x>0 时, f ( x ) = x 2 - 2 x + 3, 则当 x<0 时,f(x)的解析式为____________. 变式思考:把上题中的“奇函数”改为“偶函数” ,结果是什么? 点评:运用特殊到一般的推理 3.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∽,0)上是减函数,且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是( )

A.(- ? , 2) C .(- ? , 2) (2, + ? )
变式思考 :若 f(x)在 (- ? ,0)

B.(2, ) D.( 2, 2)

(0,

) 上为奇函数, 且在(0,+∽)上是单调增函数,f(-2)=0, 则不等式

xf(x)<0 的解集为__________________. 点评:对抽象函数的性质运用数形结合法求解。 4. 已知函数 f ( x ) = x +

1 , x

(1)判断函数 f(x)的奇偶性, 并证明你的结论; (2)证明:函数 f(x)在区间(1,+∽)上是增函数. 点评:证明函数的奇偶性和单调性必须依据定义,进行严谨的推理论证。 5.已知 f ( x ) =

ax + b 1 为定义在 R 上的奇函数,且 f (1) = , 2 x +1 2

(1)求 f(x)的解析式; (2)判断并证明 y=f(x)在(-1,0)上的单调性。 点评:运用待定系数法求解。 三、归纳小结,强化思想:
4

①判断函数的奇偶性注意先求函数的定义域,含参数问题注意是否需要分类讨论; ②对抽象函数的性质运用数形结合法求解或运用特殊到一般的推理; ③证明函数的奇偶性和单调性必须依据定义,进行严谨的推理论证。 四、教学反思:证明函数的奇偶性和单调性必须依据定义,进行严谨的推理论证。

第一次月考试卷评讲(3 个课时)
教学目的: (1)集合的概念与表示; (2)集合的运算与表示 (2)函数的概念与表示; (3)函数的性质与运用. 教学重点:函数的奇偶性与单调性性质的应用. 教学难点:已知函数的奇偶性与单调性,求参数的范围. 教学过程:

连州中学 2013-2014 学年高一十月月考 数学试卷
考试时间:120 分钟 总分:150 分

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一个项是符合题目要求的) 1.下列说法正确的是 (A)某个班级年龄较小的同学组成一个集合;
1,2,3?与 ?3,2,1?表示不同集合; (B)集合 ?

( )

(C)2008 北京奥运会的所有比赛项目组成一个集合; (D)函数 y ? x
0

的定义域是x ? 0

2. 已知集合 A ? ?0,1,2,3,4,5?, B ? {1,3,6,9}, C ? {3,7,8} ,则 ( A ? B) ? C 等于() (A) {3,7,8,} ; (B) {1,3,7,8}; (C) {1,3,6,7,8}; (D) {0,1,2,6}; ( )

3.若集合 A ? {x | ?5 ? x ? 1} , B ? {x | x ? 2} ,则 A B 等于 (A) {x | ?5 ? x ? 1}; (B) {x | ?5 ? x ? 2} ; (C){x | x ? 1} ;

( D){x | x ? 2} ( )

4.满足条件:{1,3} A ? {1,3,5} 的集合 A 的个数是
5

(A)

4 个;

(B)

3 个;

(C) 2 个;

(D) 1 个;

5、已知集合 P ? ?x | x 2 ? 1?,集合 Q ? ?x | ax ? 1? ,若 Q ? P , 那么 a 的取值集合是 (A){1} ; (B){-1} ; (C){1,-1} ; ( ) (D){0,1,-1}

6 、 方 程 x 2 ? px ? 6 ? 0 的 解 集 为 A , 方 程 x 2 ? 6x ? q ? 0 的 解 集 为 B , 且
A B ? ?2?, 那么 p ? q ?

( ) (D)7

(A)21

; (B)8 ; (C)6 ;

7.

下列四组函数中,表示相等函数的一组是
x 2 , g ( x) ? ( x ) 2 ;(B) f ( x) ? x , g ( x) ?

( )
x2

(A) f ( x) ?

;

x2 ? 1 , g ( x) ? x ? 1; (D) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1, g ( x) ? x 2 ? 1 (C) f ( x) ? x ?1
2 f ( 2 x ? 1 ) ? x ? 2x ,则 f (3) =( ) 8. 若函数

(A) -1;

( B)

0;

(C)

1;

( D) 2

9、已知 A ? ?0,1?, B ? ?? 1,0,1?,设 f 是从集合 A 到集合 B 映射的对应关系, 则满足条件 f (0) ? f (1) 的映射的个数有( (A)5 ; (B)4 ; ) (D)2

(C)3 ;

10.已知集合 A={x|y= 1 ? x 2 ,x∈R}, B={x|x=t 2,t∈A},则( ) (A)A=B; ( B)B ? A ; ? (C)A ? B ; ( D)B ? A

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的 横线上) 11. 函数 f (x ) ?

1 的定义域是 x ?1
6

? ,那么 1 12、若集合 S ? ?3, a? , T ? ?x | 0 ? x ? 3, x ? Z ? 且 S ? T ? ?
S T?

?1 x ? 1 ( x ? 0) ? ?2 f ( x) ? ? 13、 设 ,则 f[f(1)]= ?1 ( x ? 0) ? ?x

14.

某工厂8年来某产品产量y与时间t年的函数关系如下图,则:
y

O

3

8

t

①前3年总产量增长速度增越来越快; ②前3年中总产量增长速度越来越慢; ③ 第3年后,这种产品停止生产;④第3年后,这种产品年产量保持不变. 说法中正确的是_______. 1.C 2.B 3.D 4.A 5.D 6.A 7.B 8.A 9.C 11.
(1, ??)

以上

10.B

12. ?1, 2,3?

13. -2

14. (1) (4)

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 80 分,解答时写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分) 已知全集U ? R ,集合 A ? {x |1 ? x ? 4} , B ? {x | 3x ? 1 ? x ? 5} , 求:① A B ; ② (CU A) B .

解:∵ A ? {x |1 ? x ? 4} ; B ? {x | x ? 3} ;??. (3 分) ∴① A B ? {x |1 ? x ? 3} ;??. (6 分)
7

②∵ CU A ? {x | x ? 1或 x ? 4} ;??. (9 分) ∴ (CU A) B ? {x | x ? 3 或 x ? 4} ;??. (12 分)

16. (本小题满分12分)
2 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c, x ? R . 且 f (?1) ? 2, f (2) ? 11 ,

求: (1)函数 f ( x) 的解析式: (2)函数 f ( x) 的值域. 解: (1)由题意,得 ?

?1 ? b ? c ? 2 ?4 ? 2b ? c ? 11

?. (2 分) ?. (5 分)

?b ? 2 解此方程组,得 ? ?c ? 3

? f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ?. (6 分) 2 2 (2) f ( x) ? x ? 2x ? 3 ? ( x ? 1) ? 2 ?. (8 分) x ? R ?( x ? 1)2 ? 0, ( x ? 1)2 ? 2 ? 2 ?. (10 分) ?函数f ( x)的值域为[2,+?) ?. (12 分)

17. (本小题满分 14 分) 已知 a , b 为常数,若 f ( x) ? 4 x ? 3, f (ax ? b) ? 8 x ? 23, 求 5a ? b 的值. 解:

f ( x) ? 4 x ? 3 ? f (ax ? b) ? 4(ax ? b) ? 3 ? 4ax ? 4b ? 3 ?. (4 分) ? 4a ? 8 ? f ( x) ? 8 x ? 23 ? ?. (8 分) ?4b ? 3 ? 23 ?a ? 2 ?? ?. (12 分) ? 5a ? b ? 5 ?. (14 分) ?b ? 5

18.(本小题满分 14 分)
8

已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3} , B ? {x | m ? x ? m ? 2} (1)若 A B ? B ,求实数 m 的取值集合; (2)若 A B ? ? ,求实数 m 的取值集合. (1)∵ A B ? B ,∴ B ? A ,??. (2 分) ∵由 B ? ? ∴?
?m ? ?2 ?3 ? m ? 2

??. (4 分)

??2 ? m ? 1

?(6 分)∴实数 m 的取值集合为[?2,1) ;??. (7 分)

(2)若 A B ? ? ,则

m ? 2 ? ?2, 或m ? 3 ;??. (11 分)
∴ m ? ?4, 或m ? 3 ;??. (12 分) ∴ 当 A B=? 时;实数 m 的取值集合为

{m | m ? ?4, 或m ? 3}

?. (14 分)

19. (本小题满分 14 分)
2 2 已知集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? 2x ? m ? 0}

且 A ? B ? A, 解:

求 m 的取值范围.

A B ? A,? B ? A ,?. (2 分) A ? {1, 2} ?. (3 分)
(4 分) 分别讨论求解, 当 B ? ? 时; ? ? (?2)2 ? 4m ? 0, m ? 1;?. (6 分)
? m ? 1 ?. (8 分) ?1 ? 2 ? m ? 0 ?? ? 0 ? m ? ? ;?. (10 分) 当 B ? {2} 时; ? 2 ?2 ? 4 ? m ? 0

? 集合B 有四种可能: ?, ?1?, ?2?, ?1,2? ,?.

当 B ? {1} 时: ? 2

?? ? 0

9

?? ? 0 2 当 B ? {1, 2}时; ? ? m ?? ;?. (12 分) ?1 ? 2 ? m ? 0 ?22 ? 2 ? 2 ? m ? 0 ?

综合以上知: m 的取值范围是: m ? 1 ;?. (14 分)

20. (14 分)S 城出租车的收费标准是:3 千米以内,收起步价 5 元;3 千米 以上至 10 千米以内,超出 3 千米的部分按1.2 元/千米收取;10 千米以上,超 出 10 千米的部分按1.5 元/千米收取。 (1)计算出租车行驶 8 千米应付的车费; (2)试写出车费 y 与里程 x 的函数关系式; (3)王老师周末外出,行程为 30 千米,为了省钱,他设计了两种方案:方案 1 分两段乘车,乘一车行 15 千米,换乘另一车再行 15 千米;方案 2 分三

段乘车,每行 10 千米换乘一次车. 试问:哪种方案更省钱,请说明理由. 解: (1)出租车行驶 8 千米应付车费为:5 ? 1.2 ? (8 ? 3) ? 11 (元)--(3 分) (2)设出租车行驶 x 千米,应付车费 y 元 当 0 ? x ? 3 时,y=5 ?. (4 分)

当 3 ? x ? 10 时, y ? 5 ? 1.2 ? ( x ? 3) ? 1.2 x ? 1.4 ?. (5 分) 当 x ? 10 时, y ? 5 ? 1.2 ? (10 ? 3) ? 1.5 ? ( x ? 10) ? 1.5x ? 1.6 ?. (7 分) 所以所求函数关系式为: y ?
5 1.2x ? 1.4 1.5x ? 1.6
(0 ? x ? 3) (3 ? x ? 10) ------(9 分) ( x ? 10)

(3)由方案 1 得: (1.5 ?15 ? 1.6) ? 2 ? 41.8 (元)?. (10 分) 由方案 2 得: (1.2 ?10 ? 1.4) ? 3 ? 40.2 (元)?. (12 分) 因为 41.8 ? 40.2 ,所以方案 2 比方案 1 省钱。
10

-----(14 分)


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