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高二数学椭圆知识点与例题



高二数学《椭圆曲线知识点与例题》
1 椭圆定义:
王新敞
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平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹叫作椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方: (1)两个定点---两点间距离确定
F1
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新疆

P F2

(2)绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定

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思考:在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的椭圆较扁( ?线段) 在同样的绳长下,两定点间距离较短,则所画出的椭圆较圆( ?圆)
王新敞
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王新敞
奎屯

新疆

由此,椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.根据定义推导椭圆标准方程: 取过焦点 F1 , F2 的直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴 设 P( x, y) 为椭圆上的任意一点,椭圆的焦距是 2c ( c ? 0 ). 则 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,又设 M 与 F1 , F2 距离之和等于 2 a ( 2a ? 2c )(常数)
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? P ? ?P PF 1 ? PF 2 ? 2a?
又 ? PF1 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ,
F1

y
P O F2

x

? ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a ,
2 2 2 2

化简,得

( a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) ,

2 2 由定义 2a ? 2c ,? a ? c ? 0

令? a ? c ? b 代入,得
2 2 2

b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ,

两边同除 a b 得

2

2

x2 y2 ? ?1 a2 b2
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此即为椭圆的标准方程

它所表示的椭圆的焦点在 x 轴上,焦点是 F1 (?c,0) F2 (c,0) ,中心在坐标原点的椭圆方程 其中 a ? c ? b
2 2 2
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y M

公式推导: 平面内两个定点 F1 , F2 之间的距离为 2,一个动点 M 到这两 个定点的距离和为 6.建立适当的坐标系,推导出点 M 的轨迹方 程.

F1

O

F2

x

选题意图:本题考查椭圆标准方程的推导方法. 解:建立直角坐标系 xoy ,使 x 轴经过点 F1 , F2 ,并且点 O 与线段 F1 F2 的中点重合. 设 M ( x, y ) 是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为 2c(c=1),M 与 F1 , F2 的距离的和等于常数 6,则 F1 , F2 的坐标分别是(-1,0),(1,0). ∵ MF1 ?

( x ? 1) 2 ? y 2 , MF 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2
( x ? 1) 2 ? y 2 ? 6 .

2 2 ∴ ( x ? 1) ? y ?

将这个方程移项后,两边平方,得

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 36 ? 12 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 , 9 ? x ? 3 ( x ? 1) 2 ? y 2
两边再平方,得: 81? 18x ? x 2 ? 9 x 2 ? 18x ? 9 ? 9 y 2 整理得: 8x 2 ? 9 y 2 ? 72

x2 y2 ? ? 1. 两边除以 72 得: 9 8
说明:本题若不限制解题方法则可借助椭圆的定义直接写出方程. 例题 已知 B,C 是两个定点,|BC|=6,且 ?ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹方 程
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解:以 BC 所在直线为 x 轴,BC 中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设顶点 A( x, y) ,根据已知 条件得|AB|+|AC|=10
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再根据椭圆定义得 a ? 5, c ? 3, b ? 4 所以顶点 A 的轨迹方程为

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x2 y2 ? ? 1 ( y ≠0) (特别强调检验) 25 16
因为 A 为△ABC 的顶点,故点 A 不在 x 轴上,所以 方程中要注明 y ≠0 的条件

y
A

B
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O

C

x

基本练习:

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点为 F1 , F2 ,一直线过 F1 交椭圆于 A、B 两点,则 ?ABF2 的周 2.椭圆 16 7
长为 ( ) B.16 C.8 D.4 A.32 答案:B

? x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 ? ∈ 3.设 ? ∈(0, ),方程 2 sin ? cos?
A.(0, 答案:B 4.如果方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是______.

? ] 4

B.(

? ? , ) 4 2

C.(0,

? ) 4

D.[

? ? , ) 4 2

分析:将方程整理,得

?2 x2 y2 ? ?2 ? ? 1 ,据题意 ? k ,解之得 0<k<1. 2 2 ? ?k ? 0 k

5.方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是______. 2m m ? 1

?m ? 1 ? 0 1 ? 分析:据题意 ?2m ? 0 ,解之得 0<m< 3 ?? ( m ? 1) ? 2m ?
6.在△ABC 中,BC=24,AC、AB 的两条中线之和为 39,求△

y A
E F M B O C

ABC 的重心轨迹方程.
分析:以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的中垂线为 y 轴建立如图 所示的平面直角坐标系, M 为重心,则 |MB|+|MC|= 39=26.

x

2 × 3

根据椭圆定义可知,点 M 的轨迹是以 B 、 C 为焦点的椭圆,故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ( y ≠0) 169 25

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例 1 如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为 2,从 这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PPˊ,求线段 PPˊ的

y

P
M

1 中点 M 的轨迹(若 M 分 PPˊ之比为 ,求点 M 的轨迹) 2

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-2

O

P′

2

x

解: (1)当 M 是线段 PPˊ的中点时,设动点 M 的坐标为

( x, y ) ,则 P 的坐标为 ( x,2 y )

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因为点 P 在圆心为坐标原点半径为 2 的圆上, 所以有

x 2 ? (2 y) 2 ? 4 ,即

x2 ? y2 ? 1 4 x2 ? y2 ? 1 4
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所以点 M 的轨迹是椭圆,方程是

(2)当 M 分 PPˊ之比为

1 时,设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 P 2

3 的坐标为 ( x, y ) 2

P
M

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因为点 P 在圆心为坐标原点半径为 2 的圆上, 所以有

-2

O

P′

2

x

3 x 2 ? ( y ) 2 ? 4 ,即 2

x2 9y2 ? ?1 4 16 x2 9y2 ? ?1 4 16
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所以点 M 的轨迹是椭圆,方程是

x2 ? y 2 ? 1 上的动点,求 AQ 中点 M 的轨迹 例 2 已知 x 轴上的一定点 A(1,0) ,Q 为椭圆 4
方程
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解:设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 Q 的坐标为 (2 x ? 1,2 y)

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x2 ? y 2 ? 1 上的点, 因为点 Q 为椭圆 4
所以有

y

Q
-2

M O A 2 x

1 (2 x ? 1) 2 ? (2 y ) 2 ? 1 ,即 ( x ? ) 2 ? 4 y 2 ? 1 2 4 1 2
2 2
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所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4 y ? 1

例 3 长度为 2 的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动,点 M 分 AB 的比为 求点 M 的轨迹方程
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2 , 3

解:设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 A 的坐标为 ( x,0) 因为 | AB |? 2 , 所以有

5 3

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B 的坐标为 (0,

5 y) 2

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y

5 5 25 25 2 ( x) 2 ? ( y ) 2 ? 4 ,即 x 2 ? y ?4 3 2 9 4 25 2 25 2 x ? y ?4 9 4
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B
M O A x

所以点 M 的轨迹方程是 例4
2

已知定圆 x ? y ? 6x ? 55 ? 0 ,动圆 M 和已知圆内切且过点 P(-3,0),求圆心
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M 的轨迹及其方程

y
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分析:由两圆内切,圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形,用数学符号表示此结论: MQ ? 8 ? MP
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M P O Q

r=8

上 式 可 以 变 形 为 MQ ? MP ? 8 , 又 因 为

x

PQ ? 6 ? 8 ,所以圆心 M 的轨迹是以 P,Q 为焦点的椭圆
解 已知圆可化为: ?x ? 3? ? y 2 ? 64
2

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圆心 Q(3,0), r ? 8 ,所以 P 在定圆内 设动圆圆心为 M ( x, y ) ,则 MP 为半径 又圆 M
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和圆 Q 内切,所以 MQ ? 8 ? MP , 即 MQ ? MP ? 8 ,故 M 的轨迹是以 P,Q 为焦点的椭圆,且 PQ 中点为原点,所以 2a ? 8 ,

b 2 ? 7 ,故动圆圆心 M 的轨迹方程是:
练习:

x2 y2 ? ?1 16 7

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1.已知圆 x 2 ? y 2 =1,从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段PP′,求线段PP′的 中点 M 的轨迹. 选题意图:训练相关点法求轨迹方程的方法,考查“通过方程,研究平面曲线的性质” 这一解析几何基本思想. 解:设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则点 P 的坐标为 (2 x, y ) . ∵P 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,∴ (2 x) 2 ? y 2 ? 1,即

x2 ? y2 ? 1. 1 4

∴点 M 的轨迹是一个椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1 2.△ABC 的两个顶点坐标分别是 B(0,6)和 C(0,-6),另两边 AB、AC 的斜率的乘积是求顶点 A 的轨迹方程. 选题意图:巩固求曲线方程的一般方法,建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思,训 练根据条件对一些点进行取舍. 解:设顶点 A 的坐标为 ( x, y ) . 依题意得

4 , 9

y?6 y?6 4 ? ?? , x x 9

∴顶点 A 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1( y ? ?6) . 81 36

说明:方程 (0,6)应舍去.

x2 y2 ? ? 1 对应的椭圆与 y 轴有两个交点,而此两交点为(0,-6)与 81 36

3 .已知椭圆的焦点是 F1 (?1,0), F2 (1,0) , P为椭圆上一点,且| F1 F2 |是| PF 1 |和|

PF2 |的等差中项.

(1)求椭圆的方程; (2)若点 P 在第三象限,且∠ PF1 F2 =120°,求 tan F1 PF2 . 选题意图:综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识,灵活运用等比定理进行解题. 解:(1)由题设| PF 2 |=2| F1 F2 |=4 1 |+| PF ∴ 2a ? 4 , 2c=2, ∴椭圆的方程为 ∴b= 3
P y

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(2)设∠ F1 PF2 ? ? ,则∠ PF2 F1 =60°-θ 由正弦定理得:

F1

O

F2

x

F1 F2 sin ? F1 F2 sin ?
4

? ?

PF2 sin 120?

?

PF1 sin(60? ? ? )

由等比定理得:

PF1 ? PF2 sin 120? ? sin(60? ? ? )

?

2 ? sin ?

3 ? sin(60? ? ? ) 2

整理得: 5 sin ? ? 3(1 ? cos? )
3 5 ?5 3 . tan F1 PF2 ? tan? ? 3 11 1? 25 2?

?

sin ? 3 ? 3 故 tan ? ? 2 2 1 ? cos? 5

说明: 曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形, 与曲线三角形有关的问题常常借 助正(余)弦定理,借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质,借助焦半径公 式余弦定理把 P 点横坐标先求出来,再去解三角形作答
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椭圆的第二定义:
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数 e ,那么这个点的 轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率
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y
N1 K1 P

y
K2

N2 P

B2
O F2

A2
N2

F2

A1

F1

A2

K2

x

B1

O

B2
N1

x

B1

A1
K1

F1

2.椭圆的准线方程 对于

x2 y2 a2 ,相对于左焦点 对应着左准线 ; ? ? 1 l : x ? ? F ( ? c , 0 ) 1 1 c a2 b2
a2 c
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相对于右焦点 F2 (c,0) 对应着右准线 l 2 : x ? 对于

y2 x2 a2 ? ? 1 l : y ? ? ,相对于下焦点 对应着下准线 ;相对于上焦点 F ( 0 , ? c ) 1 1 c a2 b2
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a2 F2 (0, c) 对应着上准线 l 2 : y ? c

a2 准线的位置关系: x ? a ? c a2 a2 ? c2 b2 ?c ? ? 焦点到准线的距离 p ? (焦参数) c c c

椭圆的焦半径公式:
设 M ( x0 , y 0 ) 是 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 一 点 , r1 和 r2 分 别 是 点 M 与 点 a2 b2

F1 (?c,0) , F2 (c,0) 的距离.那么(左焦半径) r1 ? a ? ex0 ,(右焦半径) r2 ? a ? ex0 ,其中

e 是离心率

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推导方法一: MF1

2

? ( x0 ? c) 2 ? y 0 , MF 2

2

2

? ( x0 ? c) 2 ? y 0

2

? MF1 ? MF 2

2

2

? 4cx 0 , 又? MF1 ? MF2 ? 2a

2c ? x0 ? MF1 ? MF2 ? ?? a ? ? MF1 ? MF2 ? 2a

c ? ? MF1 ? a ? a x0 ? a ? ex0 ?? c ? MF2 ? a ? x0 ? a ? ex0 a ?
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y
N1 K1 M

B2
O F2

N2

A1

F1

A2

K2

x

即(左焦半径) r1 ? a ? ex0 ,(右焦半径) r2 ? a ? ex0 推导方法二:

B1

r1 r2 ? e, ?e | MF1 | | MF2 |
a2 ? x0 ) ? a ? ex0 , c a2 ? x0 ) ? a ? ex0 c
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? r1 ? e | MF1 |? e(

r2 ? e | MF2 |? e(

同理有焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式: ?

? MF1 ? a ? ey0 ? MF2 ? a ? ey0

( 其中 F1 F2 分别是椭圆的下上焦点) 注意:焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关,而与点在左在右无关 记为:左加右减,上减下加
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可以

例 1 如图所示,我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中 心) F2 为一个焦点的椭圆,已知它的近地点 A(离地面最近的点)距地面 439km,远地点 B(离地面最远的点)距地面 2384km,并且 F2 、A、B 在同一直 线上,设地球半径约为 6371km,求卫星运行的轨道方程 (精 确到 1km). 解:建立如图所示直角坐标系,使点 A、B、 F2 在 x 轴上, 则
B

y

a+c
F1 O F2

a-c
A

x

a ? c =|OA|-|O F2 |=| F2 A|=6371+439=6810

a ? c =|OB|+|O F2 |=| F2 B|=6371+2384=8755
解得 a =7782.5, c =972.5

b ? a 2 ? c 2 ? (a ? c)( a ? c) ? 6810 ? 8755 ? 7722 .
卫星运行的轨道方程为

x2 y2 ? ?1 77832 77222

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例 2 椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其上一点 P(3, y )到两焦点的距离分别是 6.5 和 a2 b2
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3.5,求椭圆方程

解:由椭圆的焦半径公式,得

?a ? 3e ? 6.5 1 5 2 75 2 2 ,解得 a ? 5, e ? ,从而有 c ? , b ? a ? c ? ? 2 2 4 ?a ? 3e ? 3.5
所求椭圆方程为 练习: 1.P 为椭圆

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x2 4y2 ? ?1 25 75

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x2 y2 ? ? 1 上的点,且 P 与 F1 , F2 的连线互相垂直,求 P 25 9

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解:由题意,得 (5 ?

4 4 7 ? 25 81 2 2 x0 ) 2 ? (5 ? x 0 ) 2 =64 ? x 0 ? ,y ? 5 5 16 16
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?P 的坐标为 (
2.椭圆

5 7 9 5 7 9 5 7 9 5 7 9 , ) , (? , ) , (? ,? ) , ( ,? ) 4 4 4 4 4 4 4 4

9 x2 y2 ? ? 1 上不同三点 A( x1 , y1 ), B(4, ), C ( x 2 , y 2 ) 与焦点 F(4,0)的距离成等 5 25 9
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差数列,求证 x1 ? x2 ? 8

证明:由题意,得 (5 ?

4 4 4 x1 ) ? (5 ? x 2 ) =2 (5 ? ? 4) ? x1 ? x2 ? 8 5 5 5

3.设 P 是以 0 为中心的椭圆上任意一点, F2 为右焦点,求证:以线段 F2 P 为直径的圆与 此椭圆长轴为直径的圆内切 证明:设椭圆方程为
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x2 y2 ? ? 1 ,( a ? b ? 0 ), a2 b2

焦半径 F2 P 是圆 O1 的直径, 则由 a ?

y
P

PF2 2

?

2a ? PF2 2

?

PF1 2

? OO1 知,两圆

O1 A1
F1 O F2

半径之差等于圆心距, 所以, 以线段 F2 P 为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆 内切
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A2

x

椭圆的参数方程 1.例题:如图,以原点 O 为圆心,分别以 a , b ( a ? b ? 0 )为半径作两个图,点
B 是大圆半径 OA 与小圆的交点,过点 A 作 NA⊥OX 垂足为 N,过点 B 作 BM⊥AN,垂足为 M.求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹的参数方程
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解答:设 A 的坐标为 ( x, y), ?NOA ? ? ,取 ? 为参数,那么

? x ? ON ?| OA | cos? ? ? y ? NM ?| OB | sin ?
也就是

y B ?
O
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? x ? a cos? (?为参数) ? ? y ? b sin ?

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A M N x

这就是所求点 A 的轨迹的参数方程

?x x ? a cos ? ? a ? cos? ? 将? 变形为 ? y ? y ? b sin ? ? ? sin ? ?b

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x2 y2 发现它可化为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,说明 A 的轨迹是椭圆 a b
椭圆的参数方程: ?
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? x ? a cos? (?为参数) 注意: ? 角不是角 ?NOM y ? b sin ? ?

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例 2 已知椭圆 ? 解: x ?

? x ? cos? 1 (a ? 0, b ? 0, ?为参数) 上的点 P( x, y ),求 x ? y 的取值范围. 2 ? y ? 2 sin ?

1 ? y = cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) ? ? 2 , 2 2 4

?

?

例 3 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与 x 轴的正半轴交于 A,O 是原点,若椭圆上存在一 a2 b2
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点 M,使 MA⊥MO,求椭圆离心率的取值范围

解:A( a ,0),设 M 点的坐标为 (a cos? , b sin ? ) ( 0 ? ? ?

?
2

) ,由 MA⊥MO 得

b sin ? b sin ? ? ? ?1 a cos? ? a a cos?
化简得

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b 2 cos? (1 ? cos? ) cos? 1 ? 1? ? ? ? 1? ? ? 0, ? 2 2 1 ? cos? 1 ? cos? ? 2 ? a sin ?
b2 ? 2 ? ? e ? 1? 2 ?? ? 2 ,1? a ? ?
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所以

x2 y2 练习:求椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内接矩形面积的最大值 a b
答案: S ? 4a cos? ? b sin ? ? 2absin 2? ? S max ? 2ab
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