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【20150114】第六节 导数的计算及几何意义复习题答案


第六节 导数的计算及几何意义 曲线 y= x 在点(1,-1)处的切线方程为 x-2 B.y=-3x+2 D.y=-2x+1 ( )

A.y=x-2 C.y=2x-3

-2 x 解析:y′=( )′= ,∴k=y′|x=1=-2. x-2 (x-2)2 l:y+1=-2(x-1),即 y=-2x+1. 答案:D 曲线 y=xex+2x+

1 在点(0,1)处的切线方程为________________. 解析:y′=ex+x· ex+2,y′|x=0=3, ∴切线方程为 y-1=3(x-0),∴y=3x+1. 答案:y=3x+1 8.(2009· 福建高考)若曲线 f(x)=ax2+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 1 解析:f′(x)=2ax+ . x ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线, 1 ∴f′(x)=0 有解,即 2ax+x=0 有解, 1 ∴a=- 2,∴a∈(-∞,0). 2x 答案:(-∞,0) 9.已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 4 解:(1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, ∴在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. ∴切线的方程为 y=13(x-2)+(-6), 即 y=13x-32. (2)法一:设切点为(x0,y0),
2 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3 x0 +1, 2 3 ∴直线 l 的方程为 y=(3 x0 +1)(x-x0)+ x0 +x0-16,

又∵直线 l 过点(0,0),
2 3 ∴0=(3 x0 +1)(-x0)+ x0 +x0-16, 3 整理得, x0 =-8,∴x0=-2,

∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13.

∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). 法二:设直线 l 的方程为 y=kx,切点为(x0,y0), y0-0 x0 ? x0 ? 16 则 k= = , x0-0 x0
3

2 又∵k=f′(x0)=3 x0 +1,
3 x0 ? x0 ? 16 2 =3 x0 +1, x0



解之得 x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). x (3)∵切线与直线 y=- +3 垂直, 4 ∴切线的斜率 k=4.
2 设切点的坐标为(x0,y0),则 f′(x0)=3 x0 +1=4,

∴x0=± 1,
?x0=1, ?x0=-1, ? ? ∴? 或? ?y0=-14, ? ? ?y0=-18.

切线方程为 y=4(x-1)-14 或

曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 A. 5 B.2 5 C.3 5 D.0

(

)

解析:设曲线上过点 P(x0,y0)的切线平行于直线 2x-y+3=0,此切点到直线 2x-y+3=0 的距离最短,即斜 率是 2,则 1 y′|x=x0=[ · (2x-1)′]|x=x0 2x-1 2 2 = |x=x0= =2. 2x-1 2x0-1 解得 x0=1,所以 y0=0,即点 P(1,0), 点 P 到直线 2x-y+3=0 的距离为 |2-0+3| 22+(-1)2 = 5,

∴曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 5. 答案:A

求下列函数的导数:
3 ? 1 ( 1 ) y ? sin 2 x ; ( 2 ) y ? sin(3 x ? ) ; ( 3 ) y ? e2 x?1 ; ( 4 ) y ? (3x ? 5) 4 ; ( 5 ) y ? ? e x ? e? x ? 3 2



(6) y ? ln(cos x ? sin 3x) .

答案: (1)2cos2x;
2 x ?1 (3) y? ? 2e ;

(2) yx ? yu ? u x ? cos u ? 3 ? 3cos(3x ?
' ' '

?
3

);

1 1 ? ? 3 9 4 ? (4) y ? (3x ? 5) ? 3 ? (3x ? 5) 4 ; 4 4 1 x ?x ? sin x ? 3cos 3 x (5) y ? ? ? e ? e ? ; (6) y? ? 2 cos x ? sin 3 x

求下列函数的导数: 2 1 (1) y=3x2+ + 2; x x (2) y ? (2 x ? 3)(3x ? 2)
2

(3) y ? 2e x (4) y ? 3cos x ? 4sin x

cos x x 2x-1 (6)y= ; 3x+3
(5) y ? (7) y ?

x ? sin x

(8) y ?

sin x cos x

(9) y ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 2 2 解: (1)6x- 2- 3; (2) y? ? 18x2 ? 8x ? 9 x x (4) y? ? ?3sin x ? 4cos x ; (5) y ? ? ; (3) y? ? 2e x ;

1 ? x sin x ? cos x ; (6 ) 2 ? x + 1?2 x

(7) y? ? sin x ? x cos x ; (8) y? ?
' '

cos 2 x ? sin x ? (? sin x) 1 ? ? sec2 x ; 2 cos x cos 2 x
' '

(9) y ? ( x ? a) ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b) ( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c)

? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b) .
7. 求导:

( 1) y ?

1 1 ? ; 1? x 1? x


(2) y ? (1 ? cos 2 x)3

(3) y ? (2x2 ? 5x ? 1) ? ex ; ( 4) y ? ( 5) y ?

x ; 4x
1 ? ln x ; 1 ? ln x

解: (1) y ?

1 1 ?2 x ?2 x ? ? ? 1 ? x 1 ? x (1 ? x )(1 ? x ) 1 ? x
? 1 (1 ? x) ? 2 x (1 ? x) x x ; ?? 2 (1 ? x) x(1 ? x) 2

所以 y? ?

(2) y? ? 3(1 ? cos 2x)2 ? (? sin 2x) ? 2 ? ?6sin 2 x(1 ? cos 2 x)2 .
x 2 x 2 x (3) y? ? (4 x ? 5) ? e ? (2 x ? 5x ? 1) ? e ? (2 x ? x ? 4) ? e ;

(4) y? ?

4 x ? x ? 4 x ln 4 1 ? x ln 4 ; ? (4 x )2 4x

(5) y ?

1 ? ln x 2 2 ? ?1 ? ,所以 y? ? ? 1 ? ln x 1 ? ln x x(1 ? ln x) 2
1 3 2 x ? x ? 5 在 x ? 1 处的切线的倾斜角为 3
.



8. 曲线 f ( x ) ?

2.设曲线 y ? A.2

x ?1 在点(3,2)处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? x ?1 1 1 B. ?2 C. ? D. 2 2

(

)

答案

B ). D.ln 2

3.已知 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0=( A.e2 解析 B.e C. ln 2 2

f(x)的定义域为(0,+∞),

f′(x)=ln x+1,由 f′(x0)=2,
即 ln x0+1=2,解得 x0=e. 答案 B __.

函数 f ( x) ? x 3 ? ax( x ? R) 在 x ? 1 处有极值,则曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程是 ___

解析 因为函数 f ( x) ? x 3 ? ax( x ? R) 在 x ? 1 处有极值,则 f′(1)=3+a=0,a=-3.所求切线的斜率为-3, 所以切线方程为 y=-3x. 答案 3x+y=0 10.若过原点作曲线 y=ex 的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为________. 解析

y0 ex0 y′=ex,设切点的坐标为(x0,y0)则 =ex0,即 =ex0,∴x0=1.因此切点的坐标为(1,e),切 x0 x0

线的斜率为 e. 答案 (1,e) e

13.求下列函数的导数. (1)y=x2sin x;(2)y= ex+1 ; ex-1

(3)y=log2(2x2+3x+1). 解析:(1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. (2)法一:y′= = = ex ex+1 ′ ex ex-1 - ex+1 ex-1 2 ex-1 ′

ex-1 - ex+1 ex-1 2 -2ex ex-1
2

.

ex-1+2 2 法二:∵y= x =1+ x , e -1 e -1 ? 2 ? ∴y′=1′+? x ?′,即 y′= ?e -1? -2ex ex-1
2

.

(3)法一:设 y=log2u,u=2x2+3x+1, 则 y′x=y′u·u′x= 1 (4x+3)= u·ln 2 4x+3 2x +3x+1
2

ln 2

.

法二:y′=[log2(2x2+3x+1)]′ = = 1 x +3x+
2

·(2x2+3x+1)′ .

4x+3 x +3x+
2

14.求下列函数的导数: (1)y=(2x+1)n,(n∈N*); (2)y=ln(x+ 1+x2); (3)y=2xsin(2x+5). 解析 (1)y′=n(2x+1)n-1·(2x+1)′=2n(2x+1)n-1. 2x ? ? 1 1 ·?1+ . 2?= 2 x+ 1+x ? 2 1+x ? 1+x2

(2)y′=

(3)y′=2sin(2x+5)+4xcos(2x+5). 15.设函数 f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中 x∈R,a、b 为常数,已知曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l. (1)求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程;

设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并求此 定值. 7 解析 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3, 4

b x

b 1 ? 2a- = , ? 2 2 1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ ,于是? 2 x b 7 a+ = , ? ? 4 4
2

?a=1, 解得? ?b=3. (2)证明

3 故 f(x)=x- .

x

设 P(x0,y0)为曲线上任一点,

3? 3 ? 由 f′(x)=1+ 2知,曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=?1+ 2?(x-x0), x x 0? ? 3? ? 3? ? 即 y-?x0- ?=?1+ 2?(x-x0). x0? ? x0? ? 6? 6 ? 令 x=0 得,y=- ,从而得切线与直线 x=0 交点坐标为?0,- ?. x0? x0 ? 令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 1? 6 ? ?- ?|2x0|=6. 2? x0? 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,此定值为 6.
已知函数 f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,和直线 m:y=kx+9,又 f′(-1)=0. (1)求 a 的值; (2)是否存在 k 的值,使直线 m 既是曲线 y=f(x)的切线,又是曲线 y=g(x)的切线?如果存在,求出 k 的值;如 果不存在,请说明理由. 解:(1)f′(x)=3ax2+6x-6a,f′(-1)=0, 即 3a-6-6a=0,∴a=-2.
2 (2)∵直线 m 恒过定点(0,9),先求直线 m 是曲线 y=g(x)的切线,设切点为(x0,3 x0 +6x0+12),

∵g′(x0)=6x0+6,
2 ∴切线方程为 y-(3 x0 +6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将点(0,9)代入,得 x0=± 1,

当 x0=-1 时,切线方程为 y=9; 当 x0=1 时,切线方程为 y=12x+9.

由 f′(x)=0 得-6x2+6x+12=0,即有 x=-1 或 x=2, 当 x=-1 时,y=f(x)的切线方程为 y=-18; 当 x=2 时,y=f(x)的切线方程为 y=9. ∴公切线是 y=9. 又有 f′(x)=12 得-6x2+6x+12=12,∴x=0 或 x=1. 当 x=0 时,y=f(x)的切线方程为 y=12x-11; 当 x=1 时,y=f(x)的切线方程为 y=12x-10, ∴公切线不是 y=12x+9. 综上所述公切线是 y=9,此时存在,k=0.