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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第一章精要课件 计数原理章末复习课


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画一画·知识网络、结构更完善

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研一研·题型解法、解题更高效

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题型一

两个计数原理的应用

/>
基本原理提供了“完成某件事情”是“分类”进行,还是 “分步”进行.在分类或分步中,针对具体问题考虑是与 “顺序”有关,还是无关,来确定排列与组合.

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例 1 在∠AOB 的 OA 边上取 m 个点, OB 边上取 n 个点(均 在 除 O 点外),连同 O 点共 m+n+1 个点,现任取其中三个 点为顶点作三角形,可作的三角形有
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1 2 A.Cm+1C2 +C1 +1Cm n n 1 1 2 C.CmC2 +CnCm+C1 C1 n m n 2 B.C1 C2 +C1 Cm m n n

(

)

D.C1 C2 +1+C2 +1C1 m n m n

分析

方法一,分成三类,用分类加法计数原理;方法二,

间接法,去掉三点共线的组合.
解析 方法一 第一类:从 OA 边上(不包括 O)任取一点与从 OB 边上(不包括 O)任取两点, 可构造一个三角形, C1 C2个; 有 m n 第二类:从 OA 边上(不包括 O)任取两点与 OB 边上(不包括
2 O)任取一点,可构造一个三角形,有 CmC1个; n 第三类:从 OA 边上(不包括 O)任取一点与 OB 边上(不包括 O)
1 任取一点,与 O 点可构造一个三角形,有 C1 Cn个. m

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2 1 由分类加法计数原理共有 N=(C1 C2 +CmC1 +CmC1 )个三 m n n n

角形.
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方法二 从 m+n+1 中任取三点共有 C3 +n+1种情况,其中三 m 点均在射线 OA 上(包括 O 点),有 C3 +1个,三点均在射线 OB m 上(包括 O 点),有 C3+1个. n
3 3 所以,三角形的个数为 N=Cm+n+1-Cm+1-C3+1. n

答案

C

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跟踪训练 1 现有 4 种不同颜色要对如图所示的四 个部分进行着色, 要求有公共边界的两部分不能用 同一种颜色,则不同的着色方法共有
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A.144 种

( D ) B.72 种

C.64 种 D.84 种 解析 根据所用颜色的种数分类
4 第一类:用 4 种颜色涂,有 A4=4×3×2×1=24(种).

第二类: 3 种颜色, 用 必须有一条对角区域涂同色: C1C1A2=48(种). 有 2 4 3
2 第三类: 2 种颜色, 用 对角区域各涂一色有 A4=4×3=12(种).

共有 24+48+12=84(种).

章末复习课 研一研·题型解法、解题更高效 题型二 排列与组合应用题 在解决一个实际问题的过程中,常常遇到排列、组合的 综合性问题,而解决问题的第一步是审题,只有认真审 题,才能把握问题的实质,分清是排列问题、组合问题, 还是综合问题,分清分类与分步的标准和方式,并且要 本 课 遵循两个原则:一是按元素的性质进行分类;二是按事 时 栏 情发生的 过程进行分步. 目 开 解决排列组合应用题的常用方法: 关 (1)合理分类,准确分步; (2)特殊优先,一般在后; (3)先取后排,间接排除; (4)集团捆绑,间隔插空; (5)抽象问题,构造模型; (6)均分除序,定序除序.

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例2

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用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数, 则其中数

18 字 2,3 相邻的偶数有________个.(用数字作答)
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解析 数字 2 和 3 相邻的偶数有两种情况.第一种情况,当数 字 2 在个位上时,则 3 必定在十位上,此时这样的五位数共有 6 个; 第二种情况,当数字 4 在个位上时,且 2,3 必须相邻,此时满
2 足要求的五位数有 A2A3=12(个),则一共有 6+12=18(个). 3

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跟踪训练 2 停车场一排有 12 个空位,如今要停放 7 辆不同的 车,要求恰好有 4 个空位连在一起,求共有多少种停法? 本 解 将 4 个连在一起的空位看成一个整体,由于另一个空位不 课
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能与这个整体相连,则可把这两个元素插在 7 辆车之间,共有
2 A8种方法; 7 7 而 7 辆车共有 A7种排法, 因此共有 A2· 7=282 240(种)不同停法. 8A

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题型三
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二项式定理的应用

对于二项式定理的考查常有两类问题:第一类,直接运用 通项公式求特定项或解决与系数有关的问题;第二类,需 运用转化思想化归为二项式定理来处理的问题.

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例 3
? 2 (1)已知?x - ? ?

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i ?n ? 的展开式中第三项与第五项的系数之 x? ?

3 比为- ,其中 i2=-1,则展开式中系数为实数且最大的 14
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项为 A.第三项 C.第五项 B.第四项 D.第五项或第六项

( C )

解析 T3=-C2x2n-5,T5=C4x2n-10. n n 3 2 4 由-Cn∶Cn=-14,得 n2-5n-50=0, r r 20-5r ∴n=10,又 Tr+1=C10(-i) x 2 ,
据此可知当 r=0,2,4,6,8,10 时其系数为实数,且当 r=4 时,C4 10 =210 最大.

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(2)已知 x2+x10=a0+a1(x+1)+?+a9(x+1)9+a10(x+1)10, 则

-10 a9 的值为________.
解析
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方法一

所给等式即[1-(x+1)] 2 +[1-(x+1)] 10 =a0 +

a1(x+1)+?+a9(x+1)9+a10(x+1)10,而“(x+1)9”只能从[1-
1 (x+1)] 10 中产生,根据二项式定理,a9=-C9 =-C10=-10. 10

方法二 因为 a9 与 x9 项的系数有关, 等式左边 x9 项的系数为 0, 所以等式右边 x9 项的系数也为 0.
0 因为 x10 的系数为 a10=C10=1,x9 的系数为 a9· 0+a10· 10=a9 C9 C1

+10=0,所以 a9=-10.

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小结
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二项式的展开式的右端整理为 f(x)=a0 +a1x+a2x2

+?+anxn 的形式,求多项式的系数和有关的问题用赋值法 可以直接得解;若右端整理为 f(x)=a0+a1(x+m)+a2(x+m)2 +?+an(x+m)n 的形式,此时需要先用左端构造出含(x+m) 的二项式,再分析右端系数的规律求解;求具体某项的符号, 需要先由左端构造出含(x+m)的二项式,再把(x+m)看做一 个整体研究其通项,也可以变换右端相关项的因式求解.

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跟踪训练 3 的项是
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(1)(x-1)9 按 x 降幂排列的展开式中,系数最大 ( B ) B.第 5 项 D.第 6 项

A.第 4 项和第 5 项 C.第 5 项和第 6 项

解析

根据二项式系数的性质,(x-1)9 的展开式中的中间两

项即第 5 项和第 6 项的二项式系数最大,但第 6 项的系数是 负数,所以只有第 5 项的系数最大.

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+|a2|+?+|a9|的值为________. 511
解析
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(2)已知(x+2)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+?+a9(x+1)9,|a1|
方法一 因为(x+2)9=[1+(x+1)] 9=C0+C1(x+1)+ 9 9

C2(x+1)2+?+C9(x+1)9, 9 9
1 所以 a0=C0=1,a1=C9,a2=C2,?,a9=C9. 9 9 9

因此|a1|+|a2|+?+|a9|=a1+a2+?+a9=C1+C2+C3+?+ 9 9 9 C9=29-1=511. 9 方法二 由(x+2)9 =[1+(x+1)] 9 =C 0 +C 1 (x+1)+C 2 (x+1)2 9 9 9 +?+C9(x+1)9 知, 9 a1,a2,a3,?,a9 均为正,

所以|a1|+|a2|+?+|a9|=a1+a2+?+a9. 因此,在已知等式中令 x=0,得 a0+a1+a2+?+a9=29. 又 a0=1,所以|a1|+|a2|+?+|a9|=29-1=511.


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