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2008年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)数学试题(文科)参考答案和评分标准


2008 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一) 年佛山市普通高中高三教学质量检测( 数学试题(文科)参考答案和评分标准
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 选择题( 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D 10 B

C A A B D B D C 答案 填空题( 二、填空题(每题 5 分,共 20 分,两空的前一空 3 分,后一空 2 分) 两空的前一空 11. [0,2] . 12.4 . 13. a + b = 22

π 14. (2, ) .
2

15.

30

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 小题,
16. 本题满分 12 分) . (本题满分 ( 如图 A、B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限. C 是圆与 x 轴正半轴的

y
B O

3 4 交点,A 点的坐标为 , ,△AOB 为正三角形. 5 5 (Ⅰ)求 sin ∠COA ; (Ⅱ)求 cos ∠COB .
4 3 4 解: (1)因为 A 点的坐标为 , ,根据三角函数定义可知 sin ∠COA = ---4 分 5 5 5
(2)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ∠AOB = 60 ,
0

3 4 A( , ) 5 5 C

x

第 16 题图

sin ∠COA =

4 3 , cos ∠COA = , 5 5

-----------------------------6 分

所以 cos ∠COB = cos(∠COA + 600 )

= cos ∠COA cos 600 sin ∠COA sin 600
=

-------------------------10 分

3 1 4 3 34 3 = . 5 2 5 2 10

--------------------------------------12 分

17、 本题满分 12 分) 、 (本题满分 ( 如图,四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, PA ⊥ CD, PA = 1, PD = (Ⅰ)求证: PA ⊥ 平面 ABCD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ABCD 的体积. (Ⅰ)因为四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, PA = 1, PD = 所以 PD 2 = PA2 + AD 2 ,所以 PA ⊥ AD 又 PA ⊥ CD , AD I CD = D 所以 PA ⊥ 平面 ABCD (Ⅱ)四棱锥 P ABCD 的底面积为 1,
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2.

P _

2
B _

A _ 第 17 题图 C _

D _

----------------4 分

--------------------------------------8 分

因为 PA ⊥ 平面 ABCD ,所以四棱锥 P ABCD 的高为 1, 所以四棱锥 P ABCD 的体积为

1 . 3

--------------------12 分

18.(本小题满分 14 分) . 为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学举行了一次“环保知识竞赛” ,共有 900 名学生 参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图,解答下列问题: 分组 50.560.5 60.570.5 70.580.5 80.590.5 90.5100.5 合计 50 (Ⅰ)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内); (Ⅱ)补全频数条形图; (Ⅲ)若成绩在 75.585.5 分的学生为二等奖,问获得二等奖的学生约为多少人? 解:(1) 分组 50.560.5 60.570.5 70.580.5 80.590.5 90.5100.5 合计 频数 4 8 10 16 12 50 频率 0.08 0.16 0.20 0.32 0.24 1.00 ---------------------4 分 (2) 频数直方图如右上所示--------------------------------8 分 (3) 成绩在 75.580.5 分的学生占 70.580.5 分的学生的 10 16 0.32 频数 4 频率 0.08 0.16

5 ,因为成绩在 70.580.5 分的学生频率为 10

0.2 ,所以成绩在 76.580.5 分的学生频率为 0.1 ,---------10 分 成绩在 80.585.5 分的学生占 80.590.5 分的学生的

5 , 因为成绩在 80.590.5 分的学生频率为 0.32 , 10

所以成绩在 80.585.5 分的学生频率为 0.16 -------------12 分 所以成绩在 76.585.5 分的学生频率为 0.26,

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2

由于有 900 名学生参加了这次竞赛, 所以该校获得二等奖的学生约为 0.26×900=234(人) ------------------14 分

19. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 ( 2 抛物线 y = 2 px 的准线的方程为 x = 2 , 该抛物线上的每个点到准线 x = 2 的距离都与到定点 N 的距离相等,圆 N 是以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y = x和l2 : y = x 相切的圆, (Ⅰ)求定点 N 的坐标; (Ⅱ)是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E ( 4,1) ; ② l 被圆 N 截得的弦长为 2; 解: (1)因为抛物线 y 2 = 2 px 的准线的方程为 x = 2 所以 p = 4 ,根据抛物线的定义可知点 N 是抛物线的焦点, 所以定点 N 的坐标为 ( 2,0) (2)假设存在直线 l 满足两个条件,显然 l 斜率存在, 设 l 的方程为 y 1 = k ( x 4) , (k ≠ ±1) -----------2 分 ----------------------------3 分 -----------4 分 ------------------------5 分

以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y = x和l2 : y = x 相切的圆 N 的半径为 2 , ----6 分 方法 1:因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1, 即d = -------7 分

2k 1

4 = 1 ,解得 k = 0或 , 3 1+ k2

-------------------------------8 分

当 k = 0 时,显然不合 AB 中点为 E ( 4,1) 的条件,矛盾! 当k = 由

--------------9 分 ----------------------------10 分

4 时, l 的方程为 4 x 3 y 13 = 0 3

4 x 3 y 13 = 0 ,解得点 A 坐标为 (13,13) , y=x 4 x 3 y 13 = 0 13 13 ,解得点 B 坐标为 , , 7 7 y = x

------------------11 分



------------------12 分

显然 AB 中点不是 E ( 4,1) ,矛盾! 所以不存在满足条件的直线 l . 方法 2:由

----------------------------------13 分 ------------------------------------14 分 ------7 分

y 1 = k ( x 4) 4 k 1 4k 1 ,解得点 A 坐标为 , , k 1 k 1 y=x

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3



y 1 = k ( x 4) 4k 1 4k 1 ,解得点 B 坐标为 , , 1+ k 1+ k y = x
4k 1 4k 1 + = 8 ,解得 k = 4 , k 1 k +1

------------8 分

因为 AB 中点为 E ( 4,1) ,所以

---------10 分

所以 l 的方程为 4 x y 15 = 0 ,

圆心 N 到直线 l 的距离

7 17 , 17

-------------------------------11 分

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,矛盾! ----13 分 所以不存在满足条件的直线 l . -------------------------------------14 分 方法 3:假设 A 点的坐标为 ( a, a ) , 因为 AB 中点为 E ( 4,1) ,所以 B 点的坐标为 (8 a,2 a ) , 又点 B 在直线 y = x 上,所以 a = 5 , 所以 A 点的坐标为 (5,5) ,直线 l 的斜率为 4, 所以 l 的方程为 4 x y 15 = 0 , -----------------------------10 分 -------------8 分

----------------------------9 分

圆心 N 到直线 l 的距离

7 17 , 17

-----------------------------11 分

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,矛盾! ---------13 分 ----------------------------------------14 分 所以不存在满足条件的直线 l . 20. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 ( 观察下列三角形数表 1 2 3 4 7 4 2 3 -----------第一行 -----------第二行 -----------第三行 -----------第四行 … …


7 4 5 11 14 11 5 … … … … … … …

假设第 n 行的第二个数为 an ( n ≥ 2, n ∈ N ) , (Ⅰ)依次写出第六行的所有 6 个数字; (Ⅱ)归纳出 an +1与an 的关系式并求出 an 的通项公式; (Ⅲ)设 an bn = 1, 求证: b2 + b3 + L + bn < 2 解: (1)第六行的所有 6 个数字分别是 6,16,25,25,16,6; --------------2 分 (2)依题意 an +1 = an + n ( n ≥ 2) , a2 = 2 -------------------------------5 分

an = a2 + (a3 a2 ) + (a 4 a3 ) + ...... + (an an 1 )
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------------------------7 分

= 2 + 2 + 3 + ...... + (n 1) = 2 +
所以 an =

(n 2)(n + 1) , 2

1 2 1 n n + 1 ( n ≥ 2) ; -------------------------------------9 分 2 2 2 2 1 1 (3)因为 an bn = 1, 所以 bn = 2 < 2 = 2( ) -------------11 分 n n+2 n n n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 b2 + b3 + b4 + ...... + bn < 2[( ) + ( ) + ... + ( )] = 2(1 ) < 2 ---14 分 1 2 2 3 n 1 n n
21. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 ( 已知函数 f ( x) = ax + b sin x, 当x =

π
3

时, f ( x) 取得极小值

π
3

3.

(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)设直线 l : y = g ( x),曲线S : y = F ( x) . 若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件: (1)直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点; (2)对任意 x∈R 都有 g ( x ) ≥ F ( x ) . 则称直线 l 为曲线 S 的“上夹 线”. 试证明:直线 l : y = x + 2 是曲线 S : y = ax + b sin x 的“上夹线”. 解: (I)因为 f ( x) = ax + b sin x ,所以 f ' ( x ) = a + b cos x ---------------1 分

π 1 π π 3 π f '( ) = a + b = 0 , f ( ) = a + b= 3 -------------------------------2 分 3 2 3 3 2 3 -------------------------------------------------------------------------3 分 解得 a = 1 , b = 2 ,
此时 f ' ( x) = 1 2 cos x , 当 x ∈ 0, 所以 x =

π π π ' ' 时 f ( x) < 0 ,当 x ∈ , 时 f ( x) > 0 , 3 3 2

-------------------------5 分 ----------------6 分

时 f (x ) 取极小值,所以 a = 1 , b = 2 符合题目条件; 3 (II)由 f ' ( x ) = 1 2 cos x = 1 得 cos x = 0 , 当x=

π

π
2

时, cos x = 0 ,此时

y1 = x + 2 =

π
2

+ 2 , y2 = x 2 sin x = π + 2 ,
2
-----------8 分

π π y1 = y 2 ,所以 , + 2 是直线 l 与曲线 S 的一个切点; 2 2 3π 3π 3π 当x= 时, cos x = 0 ,此时 y1 = x + 2 = + 2 , y2 = x 2 sin x = + 2, 2 2 2 3π 3π y1 = y 2 ,所以 , + 2 是直线 l 与曲线 S 的一个切点; 2 2
所以直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点; 对任意 x∈R, g ( x ) F ( x ) = ( x + 2) ( x 2 sin x ) = 2 + 2 sin x ≥ 0 , 所以 g ( x ) ≥ F ( x )

-----------10 分

---------------------------------------------------------------------13 分 ----------14 分

因此直线 l : y = x + 2 是曲线 S : y = ax + b sin x 的“上夹线”.

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