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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 6-1 不等式的概念及性质课件(文) 全国.重庆专版


? 第一节 不等式的概念及性质

? 1.两个实数的大小 ? 两个实数的大小是用实数的运算性质来定 义的,有a-b>0? a>b a=b ;a-b=0? ;a-b<0? a>b a<b ? .另外,若b>0,则有节 >1? a=b a<b. ; =1? ; < 1?

? 2.不等式的性质 ? 现行教材中介绍的不等式的11条性质可以 分为两部分. ? (1)第一部分为以下4条性质定理: ? ①对称性:a>b? ; b<a ? ②传递性:a>b,b>c? ; a>c a+c>b+c ? ③不等量加等量:a>b? ; ac>bc ? ④不等量乘正量:a>b,c>0? .

由不等式的乘法性质可知在不等式的两边同时乘以 一个非零实数,不等号方向有可能改变,它取决于该实 a>b? a>b? ? ? ??ac>bc, ??ac<bc,这一点 数的正负,即 c>0 ? c<0 ? ? ? 容易被忽略而导致错误,因此在不等式两边同时乘以一 个含有字母又不能确定其正负的代数式时,必须对代数 代式的符号进行讨论.

? (2)第二部分为两个不等式的运算性质,共 有7条: a+c>b+d ? ①同向不等式相加:a>b,c>b? a-c>b-d ; ac>bd ? ②异向不等式相减:a>b,c<d? ; ? ③同向不等式相乘:a>b>0,c>d>0? ;

? (1)同向可加性及同向可乘性可以推广到两 个以上的不等式. ? (2)注意不等式性质的单向性和双向性,也 就是说每条性质是否具有可逆性.在应用 性质时要准确把握条件是结论的充分条件 还是必要条件. ? (3)在使用不等式的性质时,一定要搞清它 们成立的前提条件.例如:

? ①在应用传递性时,如果两个不等式中有 一个带等号而另一个不带等号,那么等号 将不参与传递.如a≤b,b<c?a<c. ? ②在乘法法则中,要特别注意“因数c的 符号”,例如当c≠0时,有a>b?ac2>bc2; 若无c≠0这个条件,则a>b?ac2>bc2就是 错误结论(∵当c=0时,取“=”号).

③“a>b>0?an>bn>0(n∈N,n>1)”成立的条件 是“n 为大于 1 的自然数,a>b>0”,假如去掉“n 为 大于 1 的自然数”这个条件,取 n=-1,a=3,b=2, 1 1 那么就会出现“3 >2 ,即 > ”的错误结论;假如去 3 2
-1 -1

掉“b>0”这个条件,取 a=3,b=-4,n=2,那么就 会出现“32>(-4)2”的错误结论.

(4)以后经常用到“不等式取倒数”的性质: 1 1 a>b, ab>0?a<b, 应在会证明的基础上理解记忆.

? 1.已知a,b都是实数,那么“a2>b2”是 “a>b”的 ( ) ? A.充分而不必要条件 ? B.必要而不充分条件 ? C.充分必要条件 ? D.既不充分也不必要条件

? 【解析】 令a=-2,b=1,(-2)2>12/? -2>1,充分性不成立. ? 令a=1,b=-2,1>-2/?12>(-2)2,必要 性不成立.
【答案】 D

? 2.若x+y>0,a<0,ay>0,则x-y的 值为( ) ? A.大于0 B.小于0 ? C.等于0 D.符号不确定 ? 【解析】 ∵a<0,ay>0?y<0,又∵x +y>0?x>0,又-y>0,∴x-y>0.故 本题应选A. ? 【答案】 A

? 3.若m<0,n>0且m+n<0,则下列不 等式中成立的是 ( ) ? A.-n<m<n<-m B.-n<m<-m <n ? C.m<-n<-m<n D.m<-n<n<- m

? 【解析】 解法1:(取特殊值法) ? 令m=-3,n=2分别代入各选项检验可 知只有D正确. ? 解法2:m+n<0?m<-n?n<-m,又 由于m<0<n, ? 故m<-n<n<-m成立. ? 【答案】 D

? 4.设a<0,-1<b<0,则a,ab,ab2三 者的大小关系为________. ? 【答案】 a<ab2<ab

π π 5.若-2<α<β<2,则 α-β 的范围是________.

【解析】

π π ∵- <α<β< , 2 2

π π π π ∴- <α< ,- <-β< , 2 2 2 2 因此,-π<α-β<π, 又 α<β,所以 α-β<0,故-π<α-β<0.
【答案】 (-π,0)

对于实数 a、b、c 判断下列命题的真假: (1)若 a>b,则 ac>bc; (2)若 a>b,则 ac2>bc2; (3)若 a<b<0,则 a2>ab>b2; 1 1 (4)若 a<b<0,则a>b; b a (5)若 a<b<0,则a>b.

? 【思路点拨】 熟练掌握不等式的性质, 考查方式主要体现在不等式的性质的应 用. ? 【解析】 (1)因未知c的正负或是否为零, 无法确定ac与bc的大小,所以是假命题. ? (2)因为c2≥0,当c=0时,ac2=bc2,所以 是假命题. ? (3)由a<b,a<0,得a2>ab;由a<b,b <0,得ab>b2,所以命题是真命题.

(4)由 a<b<0,得 ab>0 所以在 a<b<0 的两边同 1 1 1 乘以ab,得到a>b,所以命题是真命题. -2 -3 (5)特例,如-3<-2<0, < ,所以命题是假 -3 -2 命题.

比较下列各组中两个代数式的大小: (1)(x-3)2 与(x-2)(x-4); (2)比较 2m2+3m-1 与 m2+4m-1 的大小.

? ? ? ? ? ? ? ? ?

【解析】 (1)(x-3)2-(x-2)(x-4) =x2-6x+9-(x2-6x+8)=1>0, ∴(x-3)2>(x-2)(x-4). (2)(2m2+3m-1)-(m2+4m-1) =m2-m=m(m-1) ①当m=0或m=1时, 2m2+3m-1=m2+4m-1; ②当0<m<1时,2m2+3m-1<m2+4m-1; ③当m<0或m>1时,2m2+3m-1>m2+4m -1.

? 比较两个代数式的大小,通常采用作差比 较法,当两个代数式都有根号,作差后不 好变形时,可以作平方差,但要注意只有 两个代数式同号时,才可以作平方差比较 大小,否则要先将两代数式变形后再比 较.

? 1.已知函数f(x)=x2+ax+b,当p,q满足 p+q=1时,试证明:pf(x)+qf(y)≥f(px+ qy)对于任意实数x,y都成立的充要条件是 0≤p≤1.

? 【证明】 pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x2 +ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px +qy)-b ? =p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy=pq(x-y)2 ? ①若0≤p≤1,q=1-p∈[0,1], ? ∵pq≥0,∴pq(x-y)2≥0, ? ∴pf(x)+qf(y)≥f(px+qy).

? ? ? ?

②当pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)时, pq(x-y)2≥0. ∵(x-y)2≥0,∴pq≥0.即p(1-p)≥0, ∴0≤p≤1,∴原命题成立.

?

设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 求f(-2)的取值范围. ? 【解析】 解法1:设f(-2)=mf(-1)+ nf(1)(m,n为待定系数), ? 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b), ? 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.

? ? ? ?

∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故5≤f(-2)≤10.

解法

?f(-1)=a-b ? 2:由? ?f(1)=a+b ?



? 1 ?a=2[f(-1)+f(1)] 得? ?b=1[f(1)-f(-1)] ? 2



∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,

故 5≤f(-2)≤10. 解法
?1≤a-b≤2 ? 3: ? 由 ?2≤a+b≤4 ?

确定的平面区域如图阴影部分,

当 f(-2)=4a-2b 3 1 过点 A(2,2)时, 3 1 取得最小值 4×2-2×2=5, 当 f(-2)=4a-2b 过点 B(3,1)时, 取得最大值 4×3-2×1=10,

∴5≤f(-2)≤10.

? 由a<f1(x1,y1)<b,c<f2(x1,y1)<d,求 g(x1,y1)的取值范围,可利用待定系数法 解决,即设g(x1,y1)=pf1(x1,y1)+qf2(x1, y1),用恒等变形求得p,q,再利用不等式 的性质求得g(x1,y1)的取值范围.

a 2.(1)已知 12<a<60,15<b<36,求 a-b,b的取 值范围. (2)已知-1<a+b<3 且 2<a-b<4,求 2a+3b 的 取值范围.

【解析】 (1)欲知 a-b 的取值范围,应先求-b 的 a 1 取值范围;欲知b的取值范围,应先求b的取值范围. ∵15<b<36,∴-36<-b<-15. 又 12<a<60,∴12-36<a-b<60-15, 1 1 1 12 a 60 ∴-24<a-b<45.又 < < ,∴ < < , 36 b 15 36 b 15 1 a ∴3<b<4.

(2)设 2a+3b=x(a+b)+y(a-b), ? 5 ?x+y=2 ?x=2 ? ∴? ,解得? ?x-y=3 ? ?y=-1 2 ?

.

5 5 15 1 ∴-2<2(a+b)< 2 ,-2<-2(a-b)<-1. 9 5 1 13 ∴-2<2(a+b)-2(a-b)< 2 , 9 13 即- <2a+3b< . 2 2

? 本节以考查不等式的性质为重点,同时考 查不等关系,常与函数、数列、几何、实 际问题等相结合进行综合命题,题型多以 选择题形式出现,难度为中档题,多与函 数相结合.

? 1.(2009年安徽卷)“a+c>b+d”是“a >b且c>d”的 ( ) ? A.必要不充分条件 ? B.充分不必要条件 ? C.充分必要条件 ? D.既不充分也不必要条件 ? 【解析】 “a+c>b+d”?/“a>b且c >d”, ? ∴充分性不成立;“a>b且c>d”?“a 【答案】 A +c>b+d”,

? 2.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等 式中正确的是 ( ) ? A.b-a>0 B.a3+b3<0 ? C.b+a>0 D.a2-b2<0

【解析】 >0. 故选 C.

?-a<b<a, ? a-|b|>0?a>|b|,? ?a>0 ?

?a+b

【答案】 C


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