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一元二次不等式及其解法--讲课--时沁


3.2 一元二次不等式
及其解法

1

问题: 某同学要把自己的计算机接入因特网, 现有两家 ISP 公司可供 选择,公司 A 每小时收费 1.5 元;公司 B 的收费原则如图所示,即在用 户上网的第 1 个小时内收费 1.7 元, 第 2 个小时内收费 1.6 元,以后 每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计 算),那么,一次上网在多长时间内能够保证选择公司 A 的上网费用 小于选择公司 B 所需费用?
分析:假设一次上网 x 小时( 0? x ?17, x?N*) 公司 A 收取的费用为: 1.5x (元)

x(35 ? x) 要满足题设条件,则 >1.5x (0<x <17)要成立. 20 2

公司 B 收取的费用为: x{1.7 ? [1.7 ? ( x ? 1) 0.1]} ( 元) 2 x (35 ? x) 即 (元) 20

x(35 ? x) 先化简不等式 >1.5x 20 整理得 x 2 ? 5 x ? 0

这是一个关于x的一元二次不等式。 只要求得满足不等式的解集,就得到了问题的答案。

一元二次不等式
定义:只含有一个未知数,未知数的最高次 数是2的不等式,叫一元二次不等式。

即:ax ? bx ? c ? 0 或 ax ? bx ? c ? (a 0 ? 0)
2 2

3

如何解关于 x 的不等式

x ? 5x ? 0
2

???

作出二次函数 y ? x 2 ? 5 x 的图象如图所示

由右边的图象填空:
2 x ⑴当 x =0 或 5 时, y = 0, 即 ? 5 x = 0;

⑵当 0<x <5 时, ⑶当 x <0 或 x >5 时,

2 x y < 0, 即 ? 5 x < 0; 2 y > 0, 即 x ? 5 x > 0.

∴可知 x 2 ? 5 x ? 0 的解集为 ? x 0 ? x ? 5?

所以,当一次上网时间在5小时内时,选择公司A的费用小 于公司B的费用;超过5小时,选择公司B的费用少。
4

一元二次方程的解即一元二次函数图象与x轴交点的 横标,一元二次不等式的解集即一元二次函数图象在x 轴下方或上方图象所对应x的范围。

利用二次函数图象能解一元二次不等式!

5

函数 、方程、不等式之间的关系
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c △>0 y
y>0

△=0
y
y>0

△<0
y
y>0

的图象 (a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根

x1 O

x2 x
y<0

O x1

x

O 没有实根

x

有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)

有两相等实根 b x1=x2= ? 2a

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ
6

Φ

例1.解不等式 2x2-3x-2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0, 先求方程的根

方程的解2x2-3x-2 =0的解是

1 x1 ? ? , x2 ? 2. 2
所以,原不等式的解集是

然后大致画出图象 形状

1 ? ? ? x | x ? ? , 或x ? 2?. 2 ? ?

注:开口向上,大于0 解集是大于大根,小 于小根
7

若改为:不等式 2x2-3x-2 < 0 .
1 则不等式的解集为:? ? x ? 2 2
图象为:

注:开口向上,小于0解集 是大于小根且小于大根

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练习.解不等式 4x2-4x+1 > 0
解:因为△ =0,方程4x2-4x+1 =0的解是 1 x1 ? x 2 ? 2, 所以,原不等式的解集是
1? ? ?x | x ? ? 2? ?

注:4x2-4x+1 <0

无解
9

对于一元二次不等式

ax ? bx ? c ? 0,(a ? 0)或 2 ax ? bx ? c ? 0, (a ? 0)
2

当二次项系数 a ? 0 时如何求解?

10

例2.解不等式 -x2 +2x-3 > 0 解: -x2 +2x-3 > 0

x2 -2x+3 < 0
无 解

注 :x 2 - 2x + 3 > 0

x?R
11

求一元二次不等式的一般步骤:
一看:看二次项系数是否为正,若为 负化为正。 二算:算△及对应方程的根。 三写:由对应方程的根,结合不等号 的方向,根据函数图象写出不等式的 解集。

课后作业:练习 1,2

A组 1

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