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湖北省黄冈中学2014届高三5月适应性考试数学(文)A卷(word含解析答案)


试卷类型:A

湖北省黄冈中学 2014 届高三适应性考试 数学(文史类)试题
本试卷共 6 页,共 22 题.满分 150 分.考试用时 120 分钟.

★ 祝考试顺利★
命题:张卫兵 审稿:曹燕 校对:龙燕 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准 考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草 稿纸上无效. 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的 答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数 6i7 ? 8i2014 (其中 i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 )

D.第四象限

2.一批产品有 A, B, C 三种型号,数量分别是 120 件,80 件,60 件.为了解它们的质量 是否存在差异,用分层抽样的方法抽取了一个容量为 n 的样本,其中从型号 C 的产品 中抽取了 3 件,则 n 的值是( A.9 B.10 ) C.12 D.13 )

3.已知条件 p : log 2 ( x ? 1) ? 1 ;条件 q : | x ? 2 |? 1 ,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

数学(文史类)试卷 A 第 1 页(共 6 页)

试卷类型:A
4.已知 0 ≤ ? ≤ 2? ,且 cos(? A. (0, ) 2

?
2

? ? ) ? 0 , 2sin 2

?
2

? 1 ? 0 ,则 ? 的范围是(



?

B. ( , ? ) 2

?

C. (? ,

3? ) 2

D. (

3? , 2? ) 2

5.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 4 ,过焦点且垂直于长轴的弦长为
3 ,则椭圆的方程是(



A.

x2 y 2 ? ?1 4 3

B.

x2 y 2 ? ?1 4 2

C.

x2 y 2 ? ?1 5 4

D.

x2 ? y2 ? 1 2


6.△ ABC 的内角 A, B, C 的对边 a , b, c 成等差数列,且 5sin A ? 7 sin B ,则角 A ?( A.

? 3

B.

2? 3

C.

3? 4

D.

5? 6

7.在长为 5cm 的线段 AB 上任取一点 C ,以 AC , BC 为邻边作一矩形,则矩形面积不小 于 4cm 2 的概率为( A. )

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

8.在△ ABC 中, AB ? 3 , AC ? 2 , BD ? A. ?

1 BC ,则 AD ? BD ? ( 2
C. ?

) D.

5 2

B.

5 2

5 4

5 4

9.函数 y ? ex ? m (其中 e 是自然对数的底数)的图象上存在点 ( x, y ) 满足条件:
? x ≤ 2, ? ? y ≤ ex, 则实数 m 的取值范围是( ? y ≥ x. ?



A. [?1, 2e? e2 ]

B. [2 ? e2 , ?1]

C. [2 ? e2 , 2e ? e2 ]

D. [2 ? e2 ,0]

数学(文史类)试卷 A 第 2 页(共 6 页)

试卷类型:A
10.如果函数 f ( x) 满足:对定义域中的任意三个数 a , b, c ,都有 f (a), f (b), f (c) 是一个 三 角 形 三 边 的 长 , 则 称 f ( x) 为 “ 三 角 形 函 数 ” . 在 函 数 ① y ?| x | ; ② y ? 2 x ; ③

1 “三角形函数” 的个数是 ( y ? x ? (1≤ x ≤ 2) ;④ y ? 4x3 ? 3x2 ? 2(0 ≤ x ≤1) 中, x
A.1 B.2 C.3 D.4



二、填空题:本大题共 7 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 35 分. 请将答案 填在答题卡对应题号 的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ....... 11.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 6}, B ? {x | x ? a, x ? N*} ,若 A 值是 12.直线 x ? by ? 1 ? 0 平分圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 的面 积,则 b ? 13. a 为如图所示的程序框图中输出的结果,则 a 的 值是
13 题图

B 有 8 个子集,则整数 a 的

开始 a=2,i=1 i<2014 是 1 a? 1? a
i ? i ?1



输出 a 结束

14.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体 积是

4 8 3
正视图 侧视图 俯视图 14 题图

15.向量 a ? (1,1), b ? ( ?1,0) ,则向量 ta ? b(t ? R) 模的最小值是

数学(文史类)试卷 A 第 3 页(共 6 页)

试卷类型:A
16.已知

2 1 1 ? ? , 5 3 15 2 1 1 ? ? , 7 4 28 2 1 1 , ? ? 9 5 45

?????? 观察以上各等式有:(1)

2 ? 11



(2) n ≥ 3 ,且 n ? N* 时, 17. 已知双曲线

2 ? 2n ? 1
y B x

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 中,A1 , A2 a 2 b2

是左、右顶点, F 是右焦点, B 是虚轴的上端 点.若在线段 BF 上(不含端点)存在不同的两 A1 点 Pi (i ? 1, 2) , 使 得 △ P iA 1 A2 (i ? 1, 2) 构 成 以
A1 A2 为斜边的直角三角形,则双曲线离心率 e

O

A2 F

17 题图

的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos(? ? x) ? (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递减区间.

1 ? ? ( 0 ? ? ? )的图像过点 ( ,1) . 2 2 3

数学(文史类)试卷 A 第 4 页(共 6 页)

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19. (本小题满分 12 分) 如图 1, AD 是直角△ ABC 斜边上的高,沿 AD 把△ ABC 的两部分折成直二面角
F A ? C (如图 2) ,D

于F .

(Ⅰ)证明: BF ? AC ; (Ⅱ)设 AB ? AC , E 为 AB 的中点,在线段 DC 上是否存在一点 P ,使得 DE ∥平 面 PBF ?若存在,求 B

DP 的值;若不存在,请说明理由. PC
B

E D A D C 图1 C P F 图2 A

20. (本小题满分 13 分) 已知在等比数列 {an } 中, 2a2 ? a1 ? a3 ? 1, a1 ? 1 ,数列 {bn } 满足

b1 ?

b b2 b3 ? ? ??? ? n ? an (n ? N? ) . 2 3 n

(Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn .

数学(文史类)试卷 A 第 5 页(共 6 页)

试卷类型:A
21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? e x (其中 e 是自然对数的底数). (Ⅰ)若函数 f ( x) 图象在点 (0, f (0)) 处的切线过点 (1,1) ,求 a 的值; (Ⅱ)当 1 ≤ a ≤ 1 ? e 时,求证: f ( x) ≤ x .

22. (本小题满分 14 分) 动圆 E 过点 F (1,0) ,且与直线 x ? ?1 相切,圆心 E 的轨迹是曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q(4, 2) 的任意一条不过点 P(4, 4) 的直线与曲线 C 交于 A, B 两点,直线 AB 与直线 y ? x ? 4 交于点 M ,记直线 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,问是否存在 实数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 恒成立?若存在,求出 ? 的值,若不存在,说明理由. y

E

O

F y

x y

数学(文史类)试卷 A 第 6 页(共 6 页)

试卷类型:A
湖北省黄冈中学 2014 届高三适应性考试 数学(文史类)

答案
一、A 卷选择题答案 CDCCA BCCDB 以下是 A 卷选择题答案及解答: B 卷选择题答案 CACBC CDDAB

1. 6i7 ? 8i 2014 ? ?6i ? 8 ,对应的点位于第三象限,选 B. 3 n 2. ,故 n ? 13 ,选 D. ? 60 120 ? 80 ? 60 3. log2 ( x ? 1) ? 1 ? 0 ? x ? 1 ? 2 ? 1 ? x ? 3 ; | x ? 2 |? 1 ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? x ? 3 .选 C. 4. cos(?

?

? ? ) ? 0 ? cos( ? ? ) ? 0 ? ? sin ? ? 0 ? sin ? ? 0 , 于是 ? 是第三、四象限的角 2 2

?

? 1 ? 0 ? ? cos? ? 0 ? cos? ? 0 ,于是 ? 是第二、三象限的角 2 (含 y 轴正半轴) ,从而 ? 是第三象限的角,选 C.
(含 y 轴负半轴) ; 2sin 2 5. 2a ? 4 ? a ? 2 ,焦点三角形是直角三角形,一直角边长为
5 3 边长 2c ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 2 ? c ? 1 ,∴ b 2 ? 3 ,选 A. 2 2

?

3 5 ,斜边长为 ,另一直角 2 2

6.

7 a , b, c 成 等 差 数 列 ? a ? c ? 2b , 5sin A ? 7sin B ? 5a ? 7b ? a ? b , ∴ 5

7 3 a ? b, c ? b , 5 5
∴ cos A ?

c2 ? b2 ? a2 1 2? ,选 B. ? ? ?C ? 2bc 2 3

3 7.设 AC ? x ,则 x(5 ? x) ≥ 4 ,解得 1 ≤ x ≤ 4 ,又 0 ≤ x ≤ 5 ,所以所求的概率为 ,选 5 C.
8.由 BD ?

1 1 BC 得, D 是 BC 的中点,所以 AD ? ( AB ? AC ) . 2 2

2 2 1 1 1 1 1 5 AD ? BD ? ( AB ? AC) ? BC ? ( AB ? AC) ? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB ) ? ? ,选 C. 2 2 2 2 4 4

9.当 y ? ex ? m 的图象与 y ? ex 相切时,设切点为 ( x0 ,e x0 ) ,则切线斜率为 e x0 .由 e x0 ? e 得
x0 ? 1?[0, 2] .所以当 y ? ex ? m 的图象与 y ? ex 相切于 (1,e) 时, m 的值最大.此时 m ? 0 .

数学(文史类)试卷 A 第 7 页(共 6 页)

试卷类型:A
m ? ?1 .此时 y ? e x ? 1 的图象与直线 x ? 2 的交点为 (2,e2 ? 1) 在点 当 y ? ex ? m 过原点时,

(2, 2) 的上方.故当 y ? ex ? m 图象过点 (2, 2) 时, m 的值最小,

y

此时 m ? 2 ? e .
2

综上所述, m ?[2 ? e2 ,0] ,选 D. 10.“三角形函数”的函数值都为正数,且最小值的 2 倍大于 最大值. ① y ?| x | 的函数值有 0, 不是 “三角形函数” ;② y ? 2
x

(2, 2)

O 2

x

取 a ? b ? 1, c ? 2 ,则 f ( a) ? 2, f (b ) ? 2, f (c )? 4 不构成三角形

5 1 5 三边长;③ y ? x ? (1≤ x ≤ 2) 的最小值为 2 ,最大值为 ,而 2 ? 2 ? ,所以它是“三 2 x 2 1 角形函数” ; ④ y ? 4x3 ? 3x2 ? 2(0 ≤ x ≤1) ,y? ? 12x2 ? 6x ? 6x(2x ? 1) , 在( 0 , ) 上递减, 2 7 1 7 在 ( , ??) 上递增,其最小值为 ,最大值为 3 ,而 2 ? ? 3 ,所以它是“三角形函数” , 4 2 4 选B.
二、填空题: 题号 答案 11 2 12 13 2 14 15
2 2

?1

272? 3

1 1 ? 6 66

16 1 1 ? n n(2n ? 1)

17
2 ?e? 5 ?1 2

11. A

B 有 3 个元素,为 3, 4,5 ,所以 a ? 2 .

12.圆的方程即为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 ,圆心为 (0,1) .直线过圆心,所以 b ? ?1 .

1 13. 由程序框图知, a ? 2, i ? 1; a ? ?1, i ? 2; a ? , i ? 3; a ? 2, i ? 4, 2 时a ? 2.

,直到 i ? 2014 ,故此

1 4 272? 14.几何体是一个半球和一个圆柱的组合体,体积为 V ? ? ? ? 43 ? ? ? 42 ? 3 ? . 2 3 3
1 1 1 15. ta ? b ? (t ? 1, t ) , | a ? tb |? (t ? 1)2 ? t 2 ? 2t 2 ? 2t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ,所以当 t ? 2 2 2

时, ta ? b(t ? R) 模的最小值是

2 . 2

16. ( 1 ) 15 ? 3 ? 5, 28 ? 4 ? 7, 45 ? 5 ? 9 , 所 以

2 1 1 1 1 ? ? ? ? ;( 2 ) 1 1 6 ?6 1 1 6 6 6

数学(文史类)试卷 A 第 8 页(共 6 页)

试卷类型:A
1 1 1 ? ? . 2n ? 1 n n(2n ? 1)

17.以 A1 A2 为直径的圆与线段 BF 有两个不同的 交点,所以圆的半径大于点 O 到 BF 的距离,且
bc ? ?a ? 2 小 于 OB 的 长 . 故 ? b ? c2 , 解 得 ?a ? b ?
5 ?1 . 2 三、解答题: 2 ?e?

y B x

A1

O

A2 F

18.(Ⅰ) 2sin 分 ∵ 0 ?? ? 6分

?
3

cos(? ?

?
3

)?

1 ? 3 ? 1 ? cos(? ? ) ? , ??????????????3 2 3 2

?
2

??

?
3

?? ?

?
3

?

?
6

,∴ ? ?

?
3

??

?
6

?? ?

?
6

.?????????????

(Ⅱ) f ( x) ? 2sin x cos( 8分
?

?
6

? x) ?

1 3 1 1 ? 2sin x( cos x ? sin x) ? ? 3 sin x cos x ? sin 2 x ? 2 2 2 2

3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? ? 2 2 2

? sin(2 x ? ) ,?????????????????????????? 6
10 分 ∴当 2k? ?

?

?
2

≤ 2x ?

?
6

≤ 2k? ?

3? ? 5? , k ? Z ,即在区间 [k? ? , k? ? ](k ? Z ) 上 f ( x) 单 2 3 6

调递减.?????????????????????????????????? 12 分 19.(Ⅰ)∵ AD ? DB, AD ? DC ,∴ ?BDC 是二面角 B ? DA ? C 的平面角.又∵二面角 B ? DA ? C 是直二面角,∴ BD ? DC ,∴ BD ? 平面 ADC ,∴ BD ? AC ,又 DF ? AC , AC ? ∴ 平 面 ∴ B D , F B ? F A C .???????????????????????? 5分

数学(文史类)试卷 A 第 9 页(共 6 页)

试卷类型:A

(Ⅱ)连接 CE 交 BF 于点 M ,连接 PM ,则 PM ∥ DE .?????????????7 分 ∵ AB ? AC ,∴ AD ? DC ,∴ F 为 AC 的中点,而 E 为 AB 的中点,∴ M 为 ?ABC 的重心,

EM 1 DP 1 DP 1 使得 DE ∥ PBF , 此时 ? ,∴ ? .即在线段 DC 上是否存在一点 P , ? . MC 2 PC 2 PC 2 ???????????????????? 12 分 B


E M A F
图2

D P C

20.(Ⅰ)设公比为 q , 则 2q ? q2 ? q ? 2 ? an ? 2n?1 .????????????????2 分
b1 ? a1 ? 1 .?????????????????????????????????

4分
n ≥ 2 时,

bn ? an ? an?1 ? 2n?1 ? 2n?2 ? 2n?2 ? bn ? n ? 2n?2 . n

?1, n ? 1 ∴ bn ? ? ????????????????????????????7 n?2 ?n ? 2 , n ≥ 2

分 (Ⅱ) n ? 1 时, S1 ? 1 ;
n ≥ 2 时, Sn ? 1 ? 2 ? 20 ? 3 ? 21 ?

? n ? 2n?2 , 2Sn ? 2 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ?

? n ? 2n?1 ,

两式相减得: Sn ? ?1 ? 21 ? 22 ?

? 2n?2 ? n ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 1 .

数学(文史类)试卷 A 第 10 页(共 6 页)

试卷类型:A
∴ ?n ? N* , Sn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 1 .???????????????????????? 13 分 21.(Ⅰ)函数 f ( x) 图象过点 (0, ?1) ,切线斜率为 f ?(0) ? 分

1 ? (?1) ? 2 ,??????? 2 1? 0

f ( x) ? ax ? ex ? f ?( x) ? a ? ex ? f ?(0) ? a ? 1 ? 2 , ∴ a ? 3 . ???????????? 6
分 (Ⅱ)令 g ( x) ? x ? f ( x) ,则 g ( x) ? e x ? (a ? 1) x . 若 a ? 1 ,则 g ( x) ? e x ?0 ,∴ f ( x) ≤ x 成立.?????????????????8 分 若 1 ? a ≤ 1 ? e ,则 g ?( x) ? ex ? (a ? 1) . ∴当 x ? ln(a ? 1) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(a ? 1) 时, g ?( x) ? 0 . ∴ g ( x) 的 (??, ln(a ? 1)) 上单调递减;在 (ln(a ? 1), ??) 上单调递增. ∴ g ( x) ≥ g (ln(a ? 1)) ? eln( a ?1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? (a ? 1)[1 ? ln(a ? 1)] . ????????? 11 分 又∵ 1 ? a ≤ 1 ? e ? a ? 1 ? 0 , ln(a ? 1) ≤ ln e ? 1 , ∴ (a ? 1)[1 ? ln(a ? 1)] ≥ 0 . ∴ g ( x) ≥ 0 ,即 f ( x) ≤ x 恒成立. 综上,当 1 ≤ a ≤ 1 ? e 时 f ( x) ≤ x .??????????????????????14 分 22.(Ⅰ )点 E 到 A 的距离与到直线 x ? ?1 的距离相 等,所以曲线 C 是以 A 为焦点的抛物线.设为 y M A y O y P Q x y B

p y ? 2 px,则 ? 1 ? p ? 2 ,故曲线 C 的方程为 2
2

y 2 ? 4 x .???????????????4 分

(Ⅱ)设直线 AB 的斜率为 k ,则直线 AB 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 4) .
? y ? 2 ? k ( x ? 4) 4k ? 2 8k ? 2 由? 得 M( , ). k ?1 k ?1 ?y ? x ? 4

数学(文史类)试卷 A 第 11 页(共 6 页)

试卷类型:A
8k ? 2 k ? 1 ? 2k ? 1 .???????7 分 ∴ k3 ? 4k ? 2 3 4? k ?1 4?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .
? y ? 2 ? k ( x ? 4) 由? 2 得, k 2 x2 ? (8k 2 ? 4k ? 4) x ? 16k 2 ? 16k ? 4 ? 0 . y ? 4 x ?

∴ x1 ? x2 ? 分 ∴ k1 ? k2 ?

8k 2 ? 4k ? 4 16k 2 ? 16k ? 4 .??????????????????9 , x x ? 1 2 k2 k2
y1 ? 4 y2 ? 4 k ( x1 ? 4) ? 2 k ( x2 ? 4) ? 2 ? ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 2( x1 ? x2 ? 8) 1 1 ? ) ? 2k ? x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16

? 2k ? 2(

8k 2 ? 4k ? 4 ? 8) 4k ? 2 k2 ? 2k ? ? 2 2 16k ? 16k ? 4 8k ? 4k ? 4 3 ? 4? ? 16 k2 k2 2(

∴ k1 ? k2 ? 2k3 ,即 ? ? 2 .?????????????????????????? 14 分

数学(文史类)试卷 A 第 12 页(共 6 页)


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