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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 6-2 不等式的证明课件(文) 全国.重庆专版


第二节

不等式的证明

? 1.比较法 ? 比较法是证明不等式的最基本、最重要的 方法之一,它可分为作差法、作商法. ? (1)作差比较法根据a>b? 作 a-b>0 差,对差式因式分解、配方等以判断 差式的符号 ,根据差式符号证明被减式与减 式的大小关系.

? (2)作商比较法根据不等式的性质a>b> 0? >1且b>0作商,通过 的大小 商与1 关系,在分母符号确定的前提下,证明分 子与分母的大小关系.

? 2.分析法 ? 在证明过程中“执果索因” ,从结 论出发找命题成立的 条件,直到 充分 找到明显成立的不等式或已证的不等式为 止,这种证明方法叫做分析法. ? 3.综合法 ? 从一个正确的不等式出发,根据不等式的 求证的不等式 性质对该不等式作一系列变形,直到推演 “由因导果”. 出所 ,也就是 在 用综合法证题时,要注意常见不等式的运 用.

? 综合法和分析法有什么区别与联系?

? 【提示】 分析法的特点是:从“未知” 看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步 推理,实际上是寻求它的充分条件;综合 法的特点是:从“已知”看“可知”,逐 步推向“未知”,其逐步推理,实际上是 寻找它的必要条件.分析法与综合法各有 其特点,有些具体的待证命题,用分析法 或综合法均能证明出来,往往选择较简单 的一种.

? 4.反证法 ? 假设原命题不成立 (即在原命题的条件下, 结论不成立),经过正确的推理,最后得 矛盾 出 ,因此说明假设错误,从而证明 了原命题成立,这样的证明方法叫反证 法.

? 用反证法证明问题时要注意以下三点: ? (1)必须先否定结论,即肯定结论的反面, 当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出 各种可能结论,缺少任何一种可能,反证 都是不完全的. ? (2)反证法必须从否定结论进行推理,即应 把结论的反面作为条件,且必须根据这一 条件进行推证,否则,仅否定结论,不从 结论的反面出发进行推理,就不是反证 法.

? (3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已 知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事 实相矛盾等,推导出的矛盾必须是明显 的.

? 1.分析法是从要证明的结论出发,逐步 寻求使结论成立的 ( ) ? A.充分条件 B.必要条 件 ? C.充要条件 D.等价条 件 ? 【答案】 A

? 2.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数” 时,正确的反设为 ( ) ? A.a,b,c都是奇数 ? B.a,b,c都是偶数 ? C.a,b,c中至少有两个偶数 ? D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数 ? 【解析】 ∵a,b,c恰有一个是偶数, 即a,b,c中只有一个偶数,其反面是两 个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都 是奇数,故只有D正确.

3.若 a<b<0 则下列不等式中成立的是( 1 1 A. < a b 1 1 B.a+b>b+a 1 1 C.b+a>a+b b b+1 D.a< a+1

)

1 1 【解析】 ∵a<b<0,∴ > , a b 1 1 又 b>a,∴b+a>a+b.

? 【答案】 C

? 4.若实数a>b,a2-ab________ba- b2(填上不等号). ? 【答案】 >

a+ b 5. 已知 a, 是不相等的正数, b x= , y= a+b, 2 则 x,y 的大小关系是________.

? 【解析】 取特殊值a=2,b=8,得x<y ? 【答案】 x<y

a2-b2 a-b 设 a>b>0,求证: 2 > . a +b2 a+b
【思路点拨】 作差(商) ―→ 变形 ―→ 判断 ―→ 结论

【证明】

∵a>b>0,

(a-b)[(a+b)2-(a2+b2)] ∴左边-右边= (a2+b2)(a+b) 2ab(a-b) = 2 >0,故原不等式成立. (a +b2)(a+b)

已知 a>0,b>0.c>0,且 a、b、c 不全相等,求证: bc ac ab a + b + c >a+b+c.

【证明】

bc ac ab 证法 1:要证明 + + >a+b+c, a b c

(bc)2+(ac)2+(ab)2 只要证 >a+b+c.∵a、b、c>0, abc 只要证(bc)2+(ac)2+(ab)2>abc(a+b+c). 由公式知(bc)2+(ac)2≥2abc2, (ac)2+(ab)2≥2a2bc,(bc)2+(ab)2≥2ab2c, ∵a、b、c 不全相等,上面各式等号至少有一个不成 立,三式相加,

得 2[(bc)2 + (ac)2 + (ab)2] > 2abc2 + 2a2bc + 2ab2c = 2abc(a+b+c).即(bc)2+(ac)2+(ab)2>abc(a+b+c)成立. bc ac ab ∴ + + >a+b+c 成立. a b c

证法 2: ∵a>0,b>0,c>0,且不全相等, bc ac ∴ a + b ≥2 bc ac a · =2c, b

ac ab ab bc 同理, + ≥2a, + ≥2b, b c c a 上述三个等号至少有一个不成立,三式相加得: bc ac ab bc ac ab 2( + + )>2(a+b+c),即 + + >a+b+c. a b c a b c

?

(1)分析法易于寻找解题思路,其 步骤中相应的语言叙述不可少(比如“要 证??”、“只要证??”、即“要 证??”等),否则是错误的,有时也用 “?”代替语言叙述. ? (2)本题证法1联合使用了综合法与分析法, 实际上是以分析法为主,借助综合法,使 证明的问题明朗化,此种方法称为分析综 合法.分析综合法的实质是既充分利用己 知条件,又时刻不忘解题目标,既不仅要 搞清己知什么,还要搞清干什么,瞻前顾 后,便于找到解题途径.

? (3)本题证法2是综合法,运用分析法易于 找到思路,但书写较繁,所以常常用分析 法去探索证明途径,用综合法书写证明过 程.

? 1.设a,b均为正数,且a≠b,求证:a3+ b3>a2b+ab2. ? 【证明】 证法1:(分析法) ? 要证a3+b3>a2b+ab2成立, ? 只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成 立. ? 又因为a+b>0,

? ? ? ?

只需证a2-ab+b2>ab成立. 只需证a2-2ab+b2>0成立. 即需证(a-b)2>0成立. 而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立, 由此命题得证.

? 证法2:(综合法) ? a≠b?a-b≠0?(a-b)2>0?a2-2ab+b2> 0 ? ?a2-ab+b2>ab.( * ) ? 而a,b均为正数,∴a+b>0, ? 由( * )式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+ b), ? ∴a3+b3>a2b+ab2.

π 若 a,b,c 均为实数,且 a=x -2y+ ,b= 2
2

π π 2 y -2z+3,c=z -2x+6.
2

求证:a,b,c 中至少有一个大于 0.

【证明】 假设 a, c 都不大于 0, a≤0, b, 即 b≤0, c≤0. π π π 2 2 ∵a=x -2y+ ,b=y -2z+ ,c=z -2x+ , 2 3 6
2

π 2 π 2 π ∴x -2y+ +y -2z+ +z -2x+ =(x-1)2 +(y-1)2 2 3 6
2

+(z-1)2+(π-3)≤0,① 又∵(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,π-3>0, ∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)>0.② ①式与②式矛盾,∴假设不成立,即 a,b,c 中至少有 一个大于 0.

? (1)用反证法证明问题的一般步骤: ? ①分清命题的条件和结论; ? ②作出与命题结论相矛盾的假设命题(否 定结论); ? ③从假设和条件出发,应用正确的推理方 法,推出矛盾结果(推导矛盾); ? ④断定产生矛盾结果的原因在于开始所作 的假设不真,于是原结论成立,从而间接 证明了原命题为真命题.

? (2)反证法主要适用于以下两种情形: ? ①要证的结论与条件之间的联系不明显, 直接由条件推出结论的线索不够清晰; ? ②如果从正面证明,需要分成多种情形进 行分类讨论,而从反面进行证明,只要研 究一种或很少的几种情形.

2.若 x,y 都是正实数,且 x+y>2. 1+x 1+y 求证: y <2 和 x <2 中至少有一个成立.

【证明】

1+x 1+y 假设 <2 和 <2 都不成立, y x

1+x 1+y 则有 ≥2 和 ≥2 同时成立, y x 因为 x>0 且 y>0,所以 1+x≥2y,且 1+y≥2x, 两式相加,得 2+x+y≥2x+2y, 所以 x+y≤2, 这与已知条件 x+y>2 矛盾, 1+x 1+y 因此 <2 和 <2 中至少有一个成立. y x

? 不等式证明在高考要求中并不突出,一般 不会单独命题.在知识点的交汇处命题是 近几年高考命题的热点之一,不等式常与 函数、数列、解析几何、三角函数、向量、 导数等知识结合在一起命制压轴题.近几 年高考特别注意考查不等式与函数、数列 相结合的逻辑推理题,并且题目有一定的 难度,考查考生综合处理问题的能力.

(2008 年浙江卷)已知 a≥0, b≥0, a+b=2, 且 则( 1 A.ab≤2 C.a2+b2≥2 1 B.ab≥2 D.a2+b2≤3

)

【解析】

?a+b? a+b ?2 解法 1:由 ≥ ab得 ab≤? ? 2 ? =1, 2 ? ?

又 a2+b2≥2ab?2(a2+b2)≥(a+b)2?a2+b2≥2, 故选 C. 解法 2:(特值法)取 a=0,b=2,满足 a+b=2, 代入选项可排除 B、D.又取 a=b=1 满足 a+b=2. 但 ab=1.可排除 A.故选 C.
【答案】 C


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