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广东省中山一中2009-2010学年高二下(选修2-1)


中山一中 2009—2010 学年度上学期第三次段考













满分 150 分,时间 120 分钟 一、选择题: (每小题 5 分,共 40 分,只有一个答案正确) 1、抛物线 y ? ? x 的焦点坐标为

/>2

( C.(0, ?
1 4



A.(0,

1 4

)
? ?

B. (
x

1 4

, 0)

)

D.( ?

1 4

, 0)

2、设集合 A ? ? x

? ? 0 ? , B ? ?x 0 ? x ? 3? ,那么“ m ? A ”是“ m ? B ”的( x ?1 ?

)

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?x ? y ? 2 ? 0 ? 3、在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 2 ?

表示的平面区域的面积为





A

2
2

B

4

C

2 2

D 4 2 )
2

4、命题: “若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是( A.若 x ? 1 ,则 x ? 1,或 x ? ? 1
2

B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1 D.若 x ? 1或 x ? ? 1 ,则 x ? 1
2

C.若 x ? 1或 x ? ? 1 ,则 x ? 1
2

5、方程 xy ? x y ? ? 2 所表示的曲线的对称性是 ( A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于直线 y ? ? x 对称 D.关于原点对称
2 2
2



6、已知点 A (3, 2 ) , F 为抛物线 y ? 2 x 的焦点, 点 P 在抛物线上, 使 P A ? P F 取得最小 值, 则最小值为 ( ) A.
3 2

B. 2

C.

5 2

D.

7 2

?x ? y ? 2 ? 0 ? 7、设实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ?y ?2 ? 0 ?

,则 u ?

x? y x

的最小值是(



A.

1 3

B.2

C.3

D.

4 3

2 8、设 a , b , c , d ? R ,则条件甲: ac ? 2 ? b ? d ? 是条件乙:方程 x ? ax ? b ? 0 与方

程 x ? cx ? d ? 0 中至少有一个有实根 的(
2

)

A.充分而不必要条件 C.充要条件 二、填空题:(每小题 5 分,共 30 分)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?x ?1 ? 0 9、不等式组 ? 2 的解集是:_______________ ?x ? 3x ? 0
2

10、椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则离心率 e ? _______。 11、在一次射击训练中,某战士连续射击了两次,设命题 p 是“第一次射击击中目标” ,命 题 q 是“第二次射击击中目标” ,用 p , q 及逻 辑联结词“或” “且” “非” (或 ? , ? , ? )表示 下列命题: 两次都击中目标可表示为:_____________; 恰好一次击中目标可表示为:____________________.

12 、 已 知 点 P 是 圆 x ? y ? 1 上 的 一 个 动 点 , 过 点 P 作 P Q ? x 轴 于 点 Q , 设
2 2

???? ? ??? ???? ? OM ? OP OQ ? ,则点 M 的轨迹方程______________;

13、设双曲线

x

2

?

y

2

? 1 的右顶点为 A ,右焦点为 F 。过点 F 平行双曲线的一条渐近线

9

16

的直线与双曲线交于点 B ,则△ AFB 的面积为_______ 14、已知抛物线 y ? 4 x 与直线 y ? 2 x ? 4 交于 A, B 两点,如果在该抛物线上存在点 C ,
2

使得 OA ? OB ? ? OC ( O 为坐标原点) ,则实数 ? =



三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15 . (本小题满分 13 分) 已知关于 x 的不等式 x ? 3 x ? m ? 0 的解集是 ? x | 1 ? x ? n ? 。
2

(1)求实数 m , n 的值; (2)若正数 a , b 满足: m a ? 2 nb ? 3 ,求 a ? b 的最大值。

16 (本小题满分 13 分) 如果双曲线的两个焦点分别为 F1 ( ? 3, 0), F2 (3, 0) ,一条渐近线方程为:
y ? 2x

(1)求该双曲线的方程; (2)过焦点 F2 ,倾斜角为
?
3

的直线与该双曲线交于 A , B 两点,求 A B 。

17.(本小题满分 14 分)如图,椭圆以边长为 1 的正方形 ABCD 的对角顶点 A,C 为焦点, 且经过各边的中点,试建立适当的坐标系,求椭圆的方程。 D

A

C

B

18. (本小题满分 14 分)现有一批货物用轮船从甲地运往乙地,甲乙两地距离为 500 海里, 已知该船最大速度为 45 海里/小时, 每小时运输成本由燃料费用和其它费用组成. 轮船每小 时的燃料费用与 轮船速度的平方成正比,其余费用为每小时 960 元.已知轮船速度为 20 海 里/小时,全程运输成本为 30000 元. (1)把全程运输成本 y (元)表示为速度 x (海里/小时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应为多大速度行驶?

19. (本题满分 12 分) 正方形 A B C D 的一条边 A B 在直线 y ? x ? 4 上, 另外两个顶点 C , D 在抛物线 y ? x 上,求正方形的边长.
2

20. (本小题满分 14 分) 已知,椭圆 C 过点 A ? 1,
? ? 3? ? ,两个焦点为 ? ? 1, 0 ? , ? 1, 0 ? 。 2?

(1) 求椭圆 C 的方程; (2)
E , F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 A E 的斜率与 A F 的斜率互为相反数,证明

直线 E F 的斜率为定值,并求出这个定 值。

高 二 数 学 理 科 答 案 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1 2 3 4 5 题号 答案 C A B C C 6 D 7 D 8 A 得分

二、填空题(每小题 5 分,共 3 0 分)

9. ____ ? 0 ,1 ? __________

10. ____

1 2

_______

11. p ? q , ? p ? ( ? q ) ? ? ? ? ? p ? ? q ?

12. ____

x

2

? y

2

4

? 1 ___

13. _____

32 15

_________

14._____

1 5

____

_

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15 . (本小题满分 13 分)
2 已知关于 x 的不等式 x ? 3 x ? m ? 0 的解集是 ? x | 1 ? x ? n ? 。

(1)求实数 m , n 的值; (2)若正数 a , b 满足 : m a ? 2 nb ? 3 ,求 a ? b 的最大值。 解: (1)由题意可知: 1, n 是 x ? 3 x ? m ? 0 的两根,所以
2

?1 ? n ? 3 ,解得: m ? 2, n ? 2 ; ? ?1 ? n ? m

(2)把 m ? 2, n ? 2 代入 m a ? 2 nb ? 3 得 a ? 2 b ? 因为 a ? 2 b ? 2 a ? 2 b ,所以 得a ?b ?
9 32

3 2

3 2

? 2 a ? 2b ,
3 4

,当且仅当 a ? 2 b ?
9 32

,即 a ?

3 4

,b ?

3 8

时等号成立,

所以 a ? b 的最大值为



16(本小题满分 13 分) 如果双曲线的两个焦点分别为 F1 ( ? 3, 0), F2 (3, 0) ,一条渐近线方程为: y ? (1)求该双曲线的方程; (2)过焦点 F2 ,倾斜角为
?
3
2x

的直线与该双曲线交于 A、B 两点,求 A B 。
x a
2 2

解: (1)依题意:设该双曲线的方程为:

?

y b

2 2

?1

?b ?a2 ? 3 ? ? 2 ? ,? ? 则: ? a 2 ?b ? 6 ? ?c ? 3 ?

?

x

2

?

y

2

? 1为 所 求 。

3

6

( 2 )由 题 意 知 直 线 A B的 方 程 为 y = 3 ( x ? 3) 设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ? y = 3 ( x ? 3) ? 2 2 由 ? x2 得 x ? 18 x ? 33 ? 0 y ? ?1 ? 6 ? 3 ? x1 ? x 2 ? 1 8, x1 x 2 ? 3 3 ?| A B |= [1 + ( 3 ) [( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ]
2 2

?

4 (1 8 ? 4 ?3 3) ? 1 6 3
2

17.(本小题满分 14 分) 如图,椭圆以边长为 1 的正方形 ABCD 的对角顶点 A,C 为焦点,且经过各边的中点,试建 立适当的坐标系,求椭圆的方程。 17.解:如图建系 则 A(?
2 2 , 0 ), C ( 2 2 , 0 ) ,则 c ?

D

2 2

A
5 ?1 4

C

设交点为 P,P 为 AD 中点,则
| P A |?
2

1 2

, | P C |?
2 2

5 2

,?| P A | ? | P C | ?

1 2

?

5 2

? 2 a ,? a ?

B

?b ? a ?c ? ? x
2

5 ?1 8

5?3 8

?

y

2

5 ?1 8

?1

18. (本小题满分 14 分)现有一批货物用轮船从甲地运往乙地距离为 500 海里,已知该船最 大速度为 45 海里/小时, 每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成. 轮船每小时的燃料费 用与轮船速度的平方成正比,其余费用为每小时 960 元.已知轮船速度为 20 海里/小时,全 程运输成本为 30000 元. (1)把全程运输成本 y (元)表示为速度 x (海里/小时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应为多大速度行驶? 18.解: (1)由题意得,每小时燃料费用为 kx (0 ? x ? 4 5) ,全程所用时间为
2

500 x

小时.则全

程运输成本 y= kx 2 ?

500 x

? 960 ?

500 x

, x ? (0, 45]

当 x=20 时,y=30000 得:k=0.6

故所求的函数为 y= 3 0 0 ( x ? 1 6 0 0 ) , x ? (0, 45]
x

(2)y= 3 0 0 ( x ?

1600 x

) ? 300 ? 2 x ?

1600 x

? 24000

当且仅当 x ?

1600 x

,即 x=40 时取等号

故当轮船速度为 40 海里/小时时,所需成本最小 19. (本小题满分 12 分) 正方形的一条边 AB 在直线 y ? x ? 4 上,顶点 C、D 在抛物线 y ? x 上,求正方形的边
2

长. 19.解:设直线 l : y ? x ? b 与抛物线交于 C ( x1 , y1 ) ,D ( x 2 , y 2 ) 两点
? ? ? 1 ? 4b ? 0 ? y2 ? x ? 2 2 ? y ? y ? b ? y ? y ? b ? 0 ? ? y1 ? y 2 ? 1 联立方程 ? ?y ? x?b ?y y ? b ? 1 2

? | C D |? ?| A D | ? ?

1 ? 1 1 ? 4b |b ? 4| 2 |b ? 4| 2

1 ? 1 1 ? 4b ?
2

解 得 : b ? 8b ? 1 2 ? 0 ? b ? ? 2或 ? 6 ?边长为 |b ? 4| 2 ? 3 2或 5 2

20. (本题满分 14 分) 已知,椭圆 C 过点 A ? 1,
? ? 3? ? ,两个焦点为 ? ? 1, 0 ? , ? 1, 0 ? 。 2?

(3) 求椭圆 C 的方程; (4)
E , F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 A E 的斜率与 A F 的斜率互为相反数,证

明直线 E F 的斜率为定值,并求出这个定值。 解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为
x
2

1 1? b
2

?

9 4b
2

? 1 ,解得 b

2

? 3 ,b

2

? ?

3 4

(舍去)

所以椭圆方程为

?

y

2

? 1。

4

3

(Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ?
(3 ? 4 k ) x ? 4 k (3 ? 2 k ) x ? 4 (
2 2

3 2

,代入

x

2

?

y

2

? 1得

4
2

3

3 2 3

? k ) ? 12 ? 0

设 E ( x E , y E ) , F ( x F , y F ) ,因为点 A (1, ) 在椭圆上,所以
2
4( xF ? 3 ? k ) ? 12
2

2 2 3 ? 4k

y E ? kx E ?

3 2

?k

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以— k 代 k ,可得
4( xF ? 3 ? k ) ? 12 2 2 3 ? 4k
2

y E ? ? kx E ?

3 2

?k
? k ( xF ? xE ) ? 2k xF ? xE 1 2

所以直线 EF 的斜率 K E F ?

yF ? yE xF ? xE

?

?

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

1 2




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