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高中数学一轮复习专题学案——数列的综合1


26.综合应用(1) 一、知识梳理: 1、递推数列的概念: 由递推公式确定的数列叫做递推数列.由相邻两项的关系给出的递推公式称为一阶递推公式,由相邻三项的 关系给出的递推公式称为二阶递推公式??.等差数列与等比数列是最基本的递推数列.递推数列的基本问 题是由递推关系求通项公式。 2、求递推数列通项公式的常用方法: (1)公式法:利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法.常用的公式有 a n ? S n ? S n ?1 (n ? 2) ,以及 等差数列和等比数列的通项公式。 (2)归纳法:先根据数列的前几项,有不完全归纳法猜想出数列的通项公式,再用数学归纳法证明其正 确性,这种方法叫做归纳法。 (3)累加法:利用恒等式 a n ? a1 ? (a 2 ? a1 ) ? ? ? (a n ? a n ?1 ) 求通项公式的方法称为累加法.累加法是 求形如 an?1 ? an ? f (n) 的递推数列通项公式的基本方法(其中数列 ? f (n)?可求前 n 项和) 。 ( 4)累乘 法:利用 恒等式 an ? a1 ?

a a2 a3 ? ?? ? n 求 通项公式 的方法称为累 乘法 .累乘法 是求形如 a1 a2 an ?1

an?1 ? g (n)an 的递推数列通项公式的基本方法(其中数列 ? g (n)? 可求前 n 项积)
(5)转化法:通过变换递推关系,将非等差(等比)数列转化为与等差或等比数列有关的数列而求得通项公 式的方法称为转化法。 二、基础练习: 求满足下列条件的数列 ? an ? 的通项公式: (1) a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n ? 1 ; (2) a1 ? 1, an ?1 ? 2 an ;
n

(3) a1 ? 2, an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ;

1 n

(4) a1 ? 2, an ?1 ? an (an ? 0) ;
2

(5) a1 ? 1, an ?1 ?

2an 2 ? an



(6) a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1 ;

(7) a1 ? 1, a2 ? 三、典型例题:

5 5 2 , an? 2 ? an?1 ? an 。 3 3 3

例 1.已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n 满足: an ? 2Sn Sn ?1 ? 0(n ? N ? , n ? 2), a1 ? (1)求证: ?

1 。 2

?1? (2)求 an 的表达式。 ? 是等差数列; ? Sn ?

例 2.数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n 满足: Sn ? 2an ? 3n, (n ? N )
?

(1)若数列 ?an ? c? 成等比数列,求常数 c 的值; (2)求数列 ? an ? 的通项公式; (3)数列 ? an ? 中是否存 在三项,它们可以构成等差数列?若存在,求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由。

例 3.设数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn ? (1)求 a1 及通项 an ; (2)设 Tn ?

4 1 2 an ? ? 2n?1 ? , (n ? N * ) 。 3 3 3

n 2n 3 , (n ? N * ) ,证明: ? Ti ? 。 Sn 2 i ?1

四、课后作业:
? 1.已知数列 ? an ? ,对任意 p, q ? N ,有 a p ? aq ? a p ? q ,且 a1 ?

2 . 设 数 列

? an ?

1 ,则 a36 = 。 9 是 等 比 数 列 , 且 an ? 0 , 数 列 ?bn ? 由 以 下 关 系 给 定 :


1 (lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg an?1 ? lg kan ) ,若 ?bn ? 是等差数列,则正常数 k = n 3.已知数列 ? an ? 中: bn ?

1 1 ,则 an = , an?1 ? an ? 2 2 4n ? 1 n ?1 (2) a1 ? 1, an ? an?1 , (n ? 2) ,则 an = n n (3) a1 ? 2, an ?1 ? 2an ? 2 ,则 an = (4) a1 ? 3, an ?1 ? 2an ? 1 ,则 an =
(1) a1 ?

。 。 。 。
2 2 ?

4.设数列 ? an ? 是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)an ?1 ? nan ? an ?1an ? 0, (n ? N ) ,则它的通项公式 5.对于数列 ? an ? ,定义数列 ?an ?1 ? an ? 为 ? an ? 的“差数列” 。 (1)若 ? an ? 的“差数列”是一个公差不为零的等差数列,写出一个 ? an ? 的通项公式 an =
n (2)若 a1 ? 2, ?an ? 的“差数列”的通项为 2 ,则数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n =

an =



。 。

6.已知等差数列 ? an ? 中,公差 d ? 0 ,? an ? 中的部分项组成的数列 ak1 , ak2 ,? , akn 恰好为等比数列,其中

k1 ? 1, k2 ? 5, k3 ? 17 ,求 k1 ? k2 ? ? ? kn 的值。


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