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2.3不等式的证明方法之三:反证法教案




题: 第 03 课时

不等式的证明方法之三:反证法

教学札记

教学目标: 通过实例,体会反证法的含义、过程与方法,了解反证法的基本步骤,会用反证法证明 简单的命题。 教学重点:体会反证法证明命题的思路方法,会用反证法证明简单的命题。 教学难点:会用反证法证明简单的命题。 教学过程: 一、引

入: 前面所讲的几种方法,属于不等式的直接证法。也就是说,直接从题设出发,经过一系 列的逻辑推理,证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式,有时很难直接入手求证,这 时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性,而是 证明它的反论题为假,或转而证明它的等价命题为真,以间接地达到目的。其中,反证法是 间接证明的一种基本方法。 反证法在于表明:若肯定命题的条件而否定其结论,就会导致矛盾。具体地说,反证法 不直接证明命题“若 p 则 q” ,而是先肯定命题的条件 p,并否定命题的结论 q,然后通过合 理的逻辑推理,而得到矛盾,从而断定原来的结论是正确的。 利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤: 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论; 第二步 作出与所证不等式相反的假定; 第三步 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步 断定产生矛盾结果的原因, 在于开始所作的假定不正确, 于是原证不等式成立。 二、典型例题: 例 1、已知 a ? b ? 0 ,求证: n a ? n b ( n ? N 且 n ? 1 ) 例 1、设 a ? b ? 2 ,求证 a ? b ? 2.
3 3

证明:假设 a ? b ? 2 ,则有 a ? 2 ? b ,从而

a 3 ? 8 ? 12b ? 6b 2 ? b 3 , a 3 ? b 3 ? 6b 2 ? 12b ? 8 ? 6(b ? 1) 2 ? 2.
2 因为 6(b ? 1) ? 2 ? 2 ,所以 a ? b ? 2 ,这与题设条件 a ? b ? 2 矛盾,所以,
3 3 3 3

原不等式 a ? b ? 2 成立。 例 2、 设二次函数 f ( x) ? x 2 ? px ? q , 求证: f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于 证明:假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于

1 . 2

1 ,则 2
(1)

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2.
另一方面,由绝对值不等式的性质,有

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? (1 ? p ? q) ? 2(4 ? 2 p ? q) ? (9 ? 3 p ? q) ? 2

(2)

(1)(2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。 、 注意:诸如本例中的问题,当要证明几个代数式中,至少有一个满足某个不等式时,通 常采用反证法进行。 议一议:一般来说,利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是指所推出 的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛盾等各种情况。 试根据上述两例,讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点? 例 3、设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于 证:设(1 ? a)b >

1 4

1 1 1 , (1 ? b)c > , (1 ? c)a > , 4 4 4 1 64

2

则三式相乘:ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <

又∵0 < a, b, c < 1 同理: (1 ? b)b ?

1 ? (1 ? a) ? a ? ∴ 0 ? (1 ? a)a ? ? ? ?4 2 ? ?
1 , 4 (1 ? c)c ? 1 4 1 64
与①矛盾∴原式成立

以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤

例 4、已知 a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求证:a, b, c > 0 证:设 a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由 a + b + c > 0, 则 b + c = ?a > 0 与题设矛盾 又:若 a = 0,则与 abc > 0 矛盾,

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 ∴必有 a > 0 同理可证:b > 0, c > 0 三、课堂练习:

1、利用反证法证明:若已知 a,b,m 都是正数,并且 a ? b ,则

a?m a ? . b?m b

2、设 0 < a, b, c < 2,求证:(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于 1 3、若 x, y > 0,且 x + y >2,则

1? y 1? x 和 中至少有一个小于 2。 x y
∵x, y > 0,可得 x + y ≤2 与 x + y >2 矛盾。

提示:反设

1? y 1? x ≥2, ≥2 x y

四、课时小结:利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤: 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论; 第二步 作出与所证不等式相反的假定; 第三步 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步 断定产生矛盾结果的原因, 在于开始所作的假定不正确, 于是原证不等式成立。 五、课后作业: 课本 29 页第 1、4 题。 六、教学后记:


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