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【数学】2014版《6年高考4年模拟》:第2章 函数与基本初等函数 第2节 基本初等函数


掌门 1 对 1 教育 高中数学 【数学】2014 版《6 年高考 4 年模拟》 第二节 第一部分 基本初等函数 I 六年高考荟萃

2013 年高考题
一、选择题 1 .(2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))若 a ? b ? c ,则函

数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b?

? ? x ? b?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点分别位于区间( A. ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c, ??? 内 B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ??? 内

)

答案:A 【命题立意】本题考查二次函数的图像与性质以及函数零点的判断。因为 , f ? b ? ? ? b ? c ??b ? a ? , f ? c ? ? ? c ? a ?? c ? b ? ,又 a ? b ? c , f ? a? ? ? a? ?? b a ??c 所以 f ( a) ? 0, f (b ) ? 0, f (c )? 0,即函数 f ( x ) 的两个零点分别在 ? a, b ? 和 ? b, c ? 内,选 A.
2 .(2013 年高考四川卷(理))设函数

f ( x) ? e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数).
)

若曲线 y ? sin x 上存在 ( x0 , y0 ) 使得 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是( (A) [1, e] (B) [e ,-11] ,
?1

(C) [1, e ? 1]

(D) [e -1, e ? 1]

?1

答案:A 曲线 y=sinx 上存在点(x0,y0)使得 f(f(y0) )=y0,则 y0∈[﹣1,1] 考查四个选项,B,D 两个选项中参数值都可取 0,C,D 两个选项中参数都可取 e+1,A, B,C,D 四个选项参数都可取 1,由此可先验证参数为 0 与 e+1 时是否符合题意,即可得 出正确选项 当 a=0 时, (f(y0) )=y0 是否成立 由于 是一个增函数,可得出 f(y0)≥f(0)=1,而 f(1)= >1,故 ,此是一个增函数,且函数值恒非负,故只研究 y0∈[0,1]时 f

a=0 不合题意,由此知 B,D 两个选项不正确

当 a=e+1 时,

此函数是一个增函数,

=0,

而 f(0)没有意义,故 a=e+1 不合题意,故 C,D 两个选项不正确 综上讨论知,可确定 B,C,D 三个选项不正确,故 A 选项正确

3 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 Ⅱ 卷数学(理)(纯 WORD 版含答案)) 设

a ? log 3 6, b ? log 5 10, c ? log 7 14 ,则
A. c ? b ? a B. b ? c ? a C. a ? c ? b 答案:D 因为 a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72, 因为 y=log2x 是增函数,所以 log27>log25>log23, 因为 , , D. a ? b ? c





所以 log32>log52>log72,所以 a>b>c,故选 D.
4 .(2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版))已知 x, y 为正

实数,则 A. 2 C. 2
lg x ? lg y

? 2lg x ? 2lg y ? 2lg x ? 2lg y

B. 2

lg( x ? y )

? 2lg x ? 2lg y ? 2lg x ? 2lg y

lg x?lg y

D. 2

lg( xy )

答案:D s+t s t lg(xy) lgx+lgy lgx lgy :因为 a =a ?a ,lg(xy)=lgx+lgy(x,y 为正实数) ,所以 2 =2 =2 ?2 ,满足 上述两个公式,故选 D.

5.(2013 年高考四川卷(理))函数 y

?

x2 的图象大致是( 3x ? 1

)

答案:C 当 x<0 时,x <0,3 ﹣1<0,所以 对于 C,由于函数值不可能为 0,故可以排除 C;
3 x

,故排除 B;

因为 y=3 ﹣1 与 y=x 相比,指数函数比幂函数,随着 x 的增大,增长速度越大, 所以 x→+∞, →0,所以 D 不正确,A 正确,故选 A.

x

3

6. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 (理) 试题 (纯 WORD 版) ) 若函数

f (x)=x3 +bx+c

有极值点 x1 , x2 ,且 f (x1 )=x1 ,则关于 x 的方程 3(f (x1 ))2 +2f (x)+b=0 的不同实根个数是 (A)3 (B)4 答案: A 使用代值法。 (C) 5 (D)6

设 f ' ( x) ? 3( x ? 1)( x ? 2) ? 3x ? 3x ? 6 ? f ( x) ? x ?
2 3

3 2 x ? 6x ? c . 2

9 令f ' ( x) ? 0 ? x1 ? 1, x 2 ? ?2 ? f ( x1 ) ? x1 ? c ? , 2

? f ( x)在(??,?2)上单调递增,在 (?2, 1)上单调递减,在 (1 , ? ?)上单调递增,极小值为 1
.由f ' ( f ( x)) ? 0 ? f ( x) ? x1解得有二个根, f ( x) ? x2 解得有一个根,共 3个根. 所以选A
7. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学 (理) 试题 (含答案) ) 函数 f ( x) ? 2x | log0.5 x | ?1

的零点个数为 (A) 1 (B) 2 答案:B

(C) 3

(D) 4

在同一坐标系中作出函数 y ? ( ) 与 y ?| log 0.5 x | 的图象,由图象可知零点个数为 2 个,选
x

1 2

B.

8.(2013 年高考北京卷(理))函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与 y=e

x

关于 y 轴对称,则 f(x)= A. e
x ?1

B. e

x ?1

C. e

? x ?1

D. e

? x ?1

答案:D ﹣x x 函数 y=e 的图象关于 y 轴对称的图象的函数解析式为 y=e ,

而函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=e 的图象关于 y 轴对称, ﹣(x+1) ﹣x﹣1 ﹣x﹣1 所以函数 f(x)的解析式为 y=e =e .即 f(x)=e . 故选 D.
二、填空题 9.(2013 年高考上海卷(理))方程

x

3 1 ? ? 3x ?1 的实数解为________ 3 ?1 3
x

答案: x ? log3 4 . 【解答】原方程整理后变为 32 x ? 2 ? 3x ? 8 ? 0 ? 3x ? 4 ? x ? log3 4 .

10.(2013 年高考上海卷(理))设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0

时, f ( x) ? 9 x ? 答案: a ? ?

a2 ? 7 ,若 f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________ x

8 . 7

【解答】 f (0) ? 0 ,故 0 ? a ? 1 ? a ? ?1 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? 即 6 | a |? a ? 8 ,又 a ? ?1 ,故 a ? ?

a2 ? 7 ? a ?1 x

8 . 7

三、解答题 11. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2

小题满分 7 分,第 3 小题满分 6 分.

b) 成中心对称图形”的充要条件为“函 已知真命题:“函数 y ? f ( x) 的图像关于点 P(a、
数 y ? f ( x ? a) ? b 是奇函数”. (1)将函数 g ( x) ? x ? 3x 的图像向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,求此时图像对应
3 2

的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数 g ( x) 图像对称中心的坐标; (2)求函数 h( x) ? log 2

2x 图像对称中心的坐标; 4? x

(3)已知命题:“函数 y ? f ( x) 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实 数 a 和 b,使得函数 y ? f ( x ? a) ? b 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予 证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必

证明). (1)平移后图像对应的函数解析式为 y ? ( x ? 1)3 ? 3( x ? 1)2 ? 2 , 整理得 y ? x3 ? 3x , 由于函数 y ? x3 ? 3x 是奇函数,

, ? 2) . 由题设真命题知,函数 g ( x) 图像对称中心的坐标是 (1
(2)设 h( x) ? log 2

2x b) ,由题设知函数 h( x ? a) ? b 是奇函数. 的对称中心为 P(a, 4? x

设 f ( x) ? h( x ? a) ? b, 则 f ( x) ? log 2

2 x ? 2a 2( x ? a) ?b . ? b ,即 f ( x) ? log 2 4?a? x 4 ? ( x ? a)

2 x ? 2a ? 0 的解集关于原点对称,得 a ? 2 . 4?a? x 2( x ? 2) ? b, x ? (?2, 2) . 此时 f ( x) ? log 2 2? x
由不等式 任取 x ? (?2, 2) ,由 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,得 b ? 1 , 所以函数 h( x) ? log 2 (3)此命题是假命题. 举反例说明:函数 f ( x) ? x 的图像关于直线 y ? ? x 成轴对称图像,但是对任意实数 a 和 b , 函数 y ? f ( x ? a) ? b ,即 y ? x ? a ? b 总不是偶函数. 修改后的真命题: “函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 成轴对称图像”的充要条件是“函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数”.

2x 1) . 图像对称中心的坐标是 (2, 4? x

2012 年高考题
? ?1,x为有理数, 1. [2012· 福建卷] 设函数 D(x)=? 则下列结论错误的是( ?0,x为无理数, ?

)

A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数 C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数 答案:C [解析] 考查分段函数的奇偶性、单调性、值域等,解决本题利用定义、图象等解 决.若当 x 为无理数时,x+T 也为无理数,则 f(x+T)=f(x);故 f(x)是周期函数,故 C 错误; 若 x 为有理数,则-x 也为有理数,则 f(-x)=f(x);若 x 为无理数,则-x 也为无理数,则 f(-x)=f(x);故 f(x)是偶函数,故 B 正确;结合函数的图象,A 选项 D(x)的值域为{0,1},正

确;且 D(x)不是单调函数也正确,所以 C 错误. 2.[2012· 重庆卷] 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且以 2 为周期, 则“f(x)为[0,1]上的增函数” 是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( ) A.既不充分也不必要的条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.充要条件 答案: D [解析] 由于 f(x)是 R 的上的偶函数, 当 f(x)在[0,1]上为增函数 时,根据对称性知 f(x)在[-1,0]上为减函数.根据函数 f(x)的周期性将 f(x)在[-1,0]上的图象 向右平移 2 个周期即可得到 f(x)在[3,4]上的图象,所以 f(x)在[3,4]上为减函数;同理当 f(x) 在[3,4]上为减函数时,根据函数的周期性将 f(x)在[3,4]上的图象向左平移 2 个周期即可得到 f(x)在[-1,0]上的图象,此时 f(x)为减函数,又根据 f(x)为偶函数知 f(x)在[0,1]上为增函数(其 平移与对称过程可用图表示,如图 1-1 所示),所以“f(x)为[0,1]上的减函数”是“f(x)为[3,4] 上的减函数”的充要条件,选 D. 3.[2012· 陕西卷] 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) 1 A.y=x+1 B.y=-x3C.y= x D.y=x|x|

答案:D [解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性,解题的突破口为单调性的定义、 奇偶性的定义与函数图像的对应关系.若函数为单调增函数,其图像为从左向右依次上升; 若函数为奇函数,其图像关于原点对称.经分析,A 选项函数的图像不关于原点对称,不是 奇函数,排除;B 选项函数的图像从左向右依次下降,为单调减函数,排除;C 选项函数的 图像从左向右依次下降, 为单调减函数, 排除; 故选 D.其实对于选项 D, 我们也可利用 x>0、 x=0、x<0 分类讨论其解析式,然后画出图像,经判断符合要求. 4.[2012· 辽宁卷] 设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x3. 1 3 - , ?上的零点个数为( 又函数 g(x)=|xcos(πx)|,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在? ? 2 2? )

A.5 B.6 C.7 D.8 答案:B [解析] 本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断.解题的突破口 为根据函数的性质得到函数 f(x)的解析式,结合函数图象求解. f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(2-x)=f(x-2),所以函数 f(x)为周期为 2 1? ? 1? ?3? 的周期函数, 且 f(0)=0, f(1)=1, 而 g(x)=|xcos(πx)|为偶函数, 且 g(0)=g? ?2?=g?-2?=g?2? 1 3? ? 1 3? =0,在同一坐标系下作出两函数在? ?-2,2?上的图像,发现在?-2,2?内图像共有 6 个公 1 3 - , ?上的零点个数为 6. 共点,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在? ? 2 2?

1 5.[2012· 山东卷] 设函数 f(x)= ,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若 y=f(x)的图象与 y=g(x) x 的图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( ) A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0B.当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2<0 C.当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2<0D.当 a>0 时,x1+x2>0,y1+y2>0 答案:B [解析] 本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力,偏难. 当 y=f(x)的图象与 y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点时,a<0 时,其图象为

作出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐标为(-x1,-y1),由图象知-x1<x2,-y1>y2,故 x1+x2>0,y1+y2<0,同理当 a>0 时,有 x1+x2<0,y1+y2>0,故选 B. 6.[2012· 浙江卷] 设 a∈R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则 a=________. 3 答案:. [解析] 本题主要考查不等式的恒成立,不等式与方程的转化与应用问题,考查数 2 形结合和转化化归的数学思想. 令 y1=(a-1)x-1, y2=x2-ax-1, 则函数 y1=(a-1)x-1, 1 y2=x2-ax-1 都过定点 P(0,-1).考查函数 y1=(a-1)x-1,令 y=0,得 M?a-1,0?,同 ? ? 时只有 a-1>0 即 a>1 时才有可能满足 x∈(0,+∞)时,y1· y2≥0; 1 考查函数 y2=x2-ax-1,显然只有过点 M?a-1,0?时才能满足 x∈(0,+∞)时,y1· y2≥0, ? ? 3 ? 1 ?2- a -1=0, 代入得: 可得(a-1)2+a(a-1)-1=0,2a2-3a=0 解得 a= 或 a=0, a - 1 2 ? ? a-1 3 舍去 a=0,得答案:a= . 2

7.[2012· 湖北卷] 已知二次函数 y=f(x)的图象如图 1-1 所示, 则它与 x 轴所围图形的面积为 ( )

图 1-1 2π 4 3 π A. B. C. D. 5 3 2 2 答案: B [解析] (解法一)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).因为函数 f(x)的图象过(-1,0), (1,0), (0,1),

a-b+c=0, ? ? 代入得?a+b+c=0, ? ?c=1,

a=-1, ? ? 解得?b=0, ? ?c=1,

故 f(x)=1-x2.

x3 2 x- ? 故 S=?1-1(1-x )dx=? ? 3?

?

4 ?1 ?-1=3.故选 B.

(解法二)设 f(x)=a(x-1)(x+1),将 x=0,y=1 代入 f(x)=a(x-1)(x+1),得 a=-1,所 x3 4 2 ?1 x- ? 以 f(x)=-(x-1)(x+1)=1-x2,所以 S=?1-1(1-x )dx=? -1= .故选 B. 3 ? ? ? 3 ? (解法三)观察函数图象可知,二次函数 f(x)的顶点坐标为(0,1),故可设 f(x)=ax2+1,又函数 图象过点(1,0), 代入得 a=-1, 所以 f(x)=-x +1.所以 S=? ?
2 1-1

(1-x2)dx=?x-x ?
?
3?

3

?1 ? -1

4 = .故选 B. 3 1 8.[2012· 四川卷] 函数 y=ax- (a>0,且 a≠1)的图象可能是( a )

图 1-2 1 答案:D [解析] 若 a>1,则 f(x)为增函数,排除 C、D,而 0< <1,图象与 y 轴的交点 a 应该在(0,1)内,A、B 也不符合,故 a>1 不合题意. 1 若 0<a<1,则 f(x)为减函数,排除 A、B,此时 >1,故图象与 y 轴的交点应该在负半轴, a 排除 C,选 D. B7 对数与对数函数 1 9. [2012· 全国卷] 已知 x=lnπ,y=log52,z=e- ,则( 2 )

A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x 答案:D [解析] 本小题主要考查对数与指数的大小比较,解题的突破口为寻找中间量作比 较. 1 1 1 1 1 1 x=lnπ>lne=1,0<log52<log42=log44 = ,1=e0>e- = > = ,∴y<z<x,故选 D. 2 2 2 e 4 2 1 10.[2012· 课标全国卷] 已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的图像大致为( ln?x+1?-x )

图 1-3 答案:B [解析] 设 g(x)=ln(x+1)-x,则 g′(x)= -x 1 -1= .所以 x>0 时,g′(x)<0,g(x) x+1 x+1

1 =ln(x+1)-x 单调递减 ,所以 g(x)<g(0)=0,所以 f(x)= 单调递增且小于 0; ln?x+1?-x 当- 1<x<0 时, g′(x)>0 , g(x) = ln(x + 1) - x 单调递增, 所以 g(x)<g(0) = 0 ,所以 f(x) = 1 单调递减且小于 0.故选 B. ln?x+1?-x 11.[2012· 天津卷] 函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 )

答案:B [解析] 本题考查函数的方程与零点,考查数据处理能力,容易题. 法一:∵f(x)=2x+x3-2 在(0,1)上单调递增,且 f(0)× f(1)=-1× 1=-1<0,∴函数 f(x)=2x +x3-2 在(0,1)上有一个零点. 法二:将 2x+x3-2=0 化为 2x=2-x3,在同一坐标系内画出 y=2x 与 y=2-x3 的图象,如 图所示, 结合图象可知函数 f(x)=2x+x3-2 在(0,1)上有一个零点. 12.[2012· 湖北卷] 函数 f(x)=xcosx2 在区间[0,4]上的零点个数为( ) A.4 B.5C.6 D.7 答案: C π ? [解析] 令 f(x)=0, 得 x=0 或 cosx2=0, 由 x∈[0,4], 得 x2∈[0,16].因为 cos? ?2+kπ?

π 3π 5π 7π 9π =0(k∈Z),故方程 cosx2=0 中 x2 的解只能取 x2= , , , , ∈[0,16].所以零点个 2 2 2 2 2 数为 6.故选 C. 13.[2012· 辽宁卷] 设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1]时,f(x)= 1 3? x3.又函数 g(x)=|xcos(πx)|,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在? ?-2,2?上的零点个数为( A.5 B.6 C.7 D.8 )

答案:B [解析] 本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断.解题的突破口 为根据函数的性质得到函数 f(x)的解析式,结合函数图象求解. f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(2-x)=f(x-2),所以函数 f(x)为周期为 2 1? ?-1?=g?3? 的周期函数, 且 f(0)=0, f(1)=1, 而 g(x)=|xcos(πx)|为偶函数, 且 g(0)=g? = g ?2? ? 2? ?2? 1 3? ? 1 3? =0,在同一坐标系下作出两函数在? ?-2,2?上的图像,发现在?-2,2?内图像共有 6 个公 1 3? 共点,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在? ?-2,2?上的零点个数为 6.

14.B9、E8[2012· 陕西卷] 设函数 fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R). 1 ? (1)设 n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间? ?2,1?内存在唯一零点; (2)设 n=2,若对任意 x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求 b 的取值范围; 1 ? (3)在(1)的条件下,设 xn 是 fn(x)在? ?2,1?内的零点,判断数列 x2,x3,…,xn,…的增减性. 解:(1)b=1,c=-1,n≥2 时,fn(x)=xn+x-1. 1? ? 1 1? ?1 ? ∵fn? ?2?fn(1)=?2n-2?×1<0,∴fn(x)在?2,1?内存在零点. 1 ? n-1 又当 x∈? ?2,1?时,f′n(x)=nx +1>0, 1 ? ?1 ? ∵fn(x)在? ?2,1?上是单调递增的,∴fn(x)在?2,1?内存在唯一零点. (2)当 n=2 时,f2(x)=x2+bx+c. 对任意 x1, x2∈[-1,1]都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4 等价于 f2(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之差 M≤4. 据此分类讨论如下: b? ①当? ?2?>1,即|b|>2 时, M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾. b ②当-1≤- <0,即 0<b≤2 时, 2 b? ?b ?2 M=f2(1)-f2? ?-2?=?2+1? ≤4 恒成立. b ③当 0≤- ≤1,即-2≤b≤0 时, 2

b? ?b ?2 M=f2(-1)-f2? ?-2?=?2-1? ≤4 恒成立. 综上可知,-2≤b≤2. 注:②,③也可合并证明如下: 用 max{a,b}表示 a,b 中的较大者. b 当-1≤- ≤1,即-2≤b≤2 时, 2 b? M=max{f2(1),f2(-1)}-f2? ?-2? f2?-1?+f2? 1? |f2?-1?-f2? 1? | ? b? = + -f2?-2? 2 2 b2 - +c ? =1+c+|b|-? ? 4 ? |b| 1+ ?2≤4 恒成立. =? ? 2? 1 ? (3)法一:设 xn 是 fn(x)在? ?2,1?内的唯一零点(n≥2).
n+1 ?1 ? fn(xn)=xn n+xn-1=0,fn+1(xn+1)=xn+1+xn+1-1=0,xn+1∈ 2,1 , ? ? 1 n 于是有 fn(xn)=0=fn+1(xn+1)=xn n+1+xn+1-1<xn+1+xn+1-1=fn(xn+1),


1 ? 又由(1)知 fn(x)在? ?2,1?上是递增的,故 xn<xn+1(n≥2),所以,数列 x2,x3,…,xn,…是递增 数列. 1 ? 法二:设 xn 是 fn(x)在? ?2,1?内的唯一零点,
1 n 1 fn+1(xn)fn+1(1)=(xn +1-1) n +xn-1)(1 + n 1 n =xn +xn-1<xn+xn-1=0, 则 fn+1(x)的零点 xn+1 在(xn,1)内,故 xn<xn+1(n≥2), 所以,数列 x2,x3,…,xn,…是递增数列. 15.[2012· 浙江卷] 设 a∈R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则 a=________.
+ +

3 答案: [解析] 本题主要考查不等式的恒成立,不等式与方程的转化与应用问题,考查数 2 形结合和转化化归的数学思想. 令 y1=(a-1)x-1, y2=x2-ax-1, 则函数 y1=(a-1)x-1, 1 y2=x2-ax-1 都过定点 P(0,-1).考查函数 y1=(a-1)x-1,令 y=0,得 M?a-1,0?,同 ? ? 时只有 a-1>0 即 a>1 时才有可能满足 x∈(0,+∞)时,y1· y2≥0; 1 考查函数 y2=x2-ax-1,显然只有过点 M?a-1,0?时才能满足 x∈(0,+∞)时,y1· y2≥0, ? ? 3 ? 1 ?2- a -1=0, 代入得: 可得(a-1)2+a(a-1)-1=0,2a2-3a=0 解得 a= 或 a=0, 2 ?a-1? a-1 3 舍去 a=0,得答案:a= . 2

2011 年高考题
1.(四川理 7)若 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, 图象大致是

1 f ( x) ? ( ) x ? 1 2 ,则 f ( x) 的反函数的

【答案】A 【解析】当 x ? 0 时,函数 f ( x) 单调递减,值域为 (1, 2) ,此时,其反函数单调递减且图象在
x ? 1 与 x ? 2 之间,故选 A.

1 y ? ( )x ? 1 2 2.(四川文 4)函数 的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是

【答案】A

1 y ? ( )x ? 1 2 【解析】 图象过点 (0, 2) ,且单调递减,故它关于直线 y=x 对称的图象过点 (2, 0) 且单调递减,选 A.
3.(安徽文 5)若点(a,b)在 y ? lg x 图像上, a ? ? ,则下列点也在此图像上的是

? (A)( a ,b) (B) (10a,1 ? b)

?? (C) ( a ,b+1)

(D)(a2,2b)

【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算,考查对数函数的图像与对应点的关 系.

? a 2 , 2b ? ? b ? lg a ? b ? ? lg a ? lg a 【解析】由题意 , ,即 也在函数 y ? lg x 图像上.

a ? log5 4 , b ? ? log 5 3 ? , c ? log4 5 ,则( 4.(天津文 6)设
2

).

A. a ? c ? b C. a ? b ? c 【答案】D 【解析】因为 所以

B. b ? c ? a D. b ? a ? c

c ? log4 5 ? c ? log 4 4 ? 1 , 0 ? a ? log5 4 ? 1 , 0 ? a ? log5 3 ? 1 ,
2

b ? ? log 5 3? ? log 5 3 ? log 5 4 ? log 5 4 ? a



所以 b ? a ? c ,故选D.

ln(2 ? x) ?在其上为增函数的是 5.(重庆理 5)下列区间中,函数 f ( x ) =?
(A)(- ? ,1 ] 【答案】D

? 4? ?1, ? ? 3? ? (B)

? 3 0, ? 2 ? (C)

?
(D)

?1, 2?

6. (重庆文 6)设 (A) (C) 【答案】B

,

, (B) (D)

,则 , , 的大小关系是

7. (重庆文 15)若实数 , , 满足 是 【答案】 .

,

,则 的最大值

2 ? log2 3
(lg
1 ? 1 ? lg 25) ? 100 2 = 4 _______.

8.(四川理 13)计算 【答案】-20
*copoyright:x.k.100.com*

1 ? 1 lg 2 ? lg5 1 (lg ? lg 25) ? 100 2 ? ?2 ? ? ?2 ? lg10 ? ? ?20 1 ? 4 10 100 2 【解析】 .

?lg x, x ? 0 f ( x) ? ? x ?10 , x ? 0 ,则 f ( f (?2)) ? ______. 9.(陕西文 11)设

【答案】 ?2 【分析】由 x ? ?2 算起,先判断 x 的范围,是大于 0,还是不大于 0,;再判断 f (?2) 作为 自变量的值时的范围,最后即可计算出结果. 【 解 析 】 ∵ x ? ?2 ? 0 , ∴

f (?2) ? 10?2 ?

1 ?0 ?2 ?2 100 , 所 以 f (10 ) ? lg10 ? ?2 , 即

f ( f (?2)) ? ?2 .
1

3 10.(陕西文 4) 函数 y ? x 的图像是 (



【答案】B 【分析】已知函数解析式和图像,可以用取点验证的方法判断.

x?
【解析】 取 符合题意.

1 1 1 1 ? y? ? 8 , 8 ,则 2 , 2 ,选项 B,D 符合;取 x ? 1 ,则 y ? 1 ,选项 B

2010 年高考题
一、选择题 1.(2010 全国卷 2 理)(2).函数 y ? (A)

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 1) 的反函数是 2
2 x ?1

y ? e2 x?1 ? 1( x ? 0)
2 x ?1

(B) y ? e (D) y ? e

? 1( x ? 0)

(C) y ? e 答案 D

?1( x ? R)

2 x ?1

? 1( x ? R)

【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得 ,即 ∴在反函数中 ,故选 D. ,又 ;

2.(2010 陕西文)7.下列四类函数中,个有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x

+y)=f(x)f(y)”的是 (A)幂函数 答案 C 【解析】本题考查幂的运算性质 (B)对数函数 (C)指数函数 (D)余弦函数

f ( x) f ( y) ? a x a y ? a x? y ? f ( x ? y)

3.(2010 辽宁文)(10)设 2 ? 5 ? m ,且
a b

1 1 ? ? 2 ,则 m ? a b
(D)100

(A) 10 答案 A 【解析】选 A.

(B)10

(C)20

1 1 ? ? logm 2 ? logm 5 ? logm 10 ? 2,?m2 ? 10, 又? m ? 0,? m ? 10. a b

4.(2010 全国卷 2 文)(4)函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 (A)y= e (C)
x ?1

-1(x>0) -1(x ? R)

(B) y= e (D)y= e

x ?1

+1(x>0) +1 (x ? R)

y= e

x ?1

x ?1

答案 D 【解析】D:本题考查了函数的反函数及指数对数的互化,∵函数 Y=1+LN(X-1)(X>1),∴

ln( x ?1) ? y ?1, x ?1 ? e y ?1, y ? ex?1 ? 1

5 5 5 ,则 a,b,c 的大小关系是 5.(2010 安徽文)(7)设 a ? ( ) ,b ? ( ) ,c ? ( )

3 5

2

2 5

3

2 5

2

(A)a>c>b 答案 A

(B)a>b>c

(C)c>a>b

(D)b>c>a

【解析】y ? x 5 在 x ? 0 时是增函数, 所以 a ? c ,y ? ( ) 在 x ? 0 时是减函数, 所以 c ? b 。
x

2

2 5

【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.

6.(2010 安徽文)(6)设 abc ? 0 ,二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像可能是
2

答案 D 【解析】当 a ? 0 时, b 、 c 同号,(C)(D)两图中 c ? 0 ,故 b ? 0, ? 符合 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 a ? 0 或 a ? 0 两种情况分类考虑.另外 还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 7.(2010 浙江文)2.已知函数 f ( x) ? log1 ( x ? 1), 若 f (? ) ? 1, (A)0 答案 B 【解析】 ? +1=2,故 ? =1,选 B,本题主要考察了对数函数概念及其运算性质,属容易题
x 8.(2010 山东文)(3)函数 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 的值域为

b ? 0 ,选项(D) 2a

?=
(D)3

(B)1

(C)2

?

?

A.

? 0, ???

B.

? ?0, ?? ?

C.

?1, ???

D. ? ?1, ?? ?

答案 A 9.(2010 北京文)(6)给定函数① y ? x 2 ,② y ? log 1( x ? 1) ,③ y ?| x ?1| ,④ y ? 2x?1 ,
2
1

期中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是 (A)①② 答案 B (B)②③ (C)③④ (D)①④

10. (2010 北京文) ⑷若 a,b 是非零向量, 且 a ? b ,a ? b , 则函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 是 (A)一次函数且是奇函数 (B)一次函数但不是奇函数

(C)二次函数且是偶函数 答案 A

(D)二次函数但不是偶函数

11.(2010 四川理)(3)2log510+log50.25= (A)0 (B)1 (C) 2 (D)4

解析:2log510+log50.25 =log5100+log50.25 =log525 =2 答案 C
2 12.(2010 天津文)(6)设 a ? log5 4,b ? (log5 3) ,c ? log45 ,则

(A)a<c<b 答案 D

(B) )b<c<a

(C) )a<b<c

(D) )b<a<c

【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法,属于容易题。 因为 0 ? log5 4 ? 1, 所以b<a<c 【温馨提示】比较对数值的大小时,通常利用 0,1 进行,本题也可以利用对数函数的图像 进行比较。 13.(2010 全国卷 1 文)(7)已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 a ? b 且, f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的 取值范围是 (A) (1, ??) 答案 C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小 题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+b= a ? 题者的用苦良心之处. 【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或 b ? 又 0<a<b,所以 0<a<1<b,令 f (a ) ? a ? (B) [1, ??) (C) (2, ??) (D) [2, ??)

1 ? 2 ,从而错选 D,这也是命 a
1 1 ,所以 a+b= a ? a a

1 2 由“对勾”函数的性质知函数 f ( a ) 在 a ?(0,1) a

上为减函数,所以 f(a)>f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+∞).

?0 ? a ? 1 ?0 ? x ? 1 ? ? 【解析 2】由 0<a<b,且 f(a)=f(b)得: ?1 ? b ,利用线性规划得: ?1 ? y ,化为求 ? ab ? 1 ? xy ? 1 ? ?
z ? x ? y 的取值范围问题,z ? x ? y ? y ? ? x ? z ,y ?
时 z 最小为 2,∴(C) (2, ??) 14.(2010 四川文)(2)函数 y=log2x 的图象大致是

1 1 ? y? ? ? 2 ? ?1 ? 过点 ?1,1? x x

(A) 答案 C

( B)

(C)

(D)

解析:本题考查对数函数的图象和基本性质. 15.(2010 安徽理)6、设 abc ? 0 ,二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图象可能是
2

答案 D 【解析】当 a ? 0 时, b 、 c 同号,(C)(D)两图中 c ? 0 ,故 b ? 0, ? 符合. 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 a ? 0 或 a ? 0 两种情况分类考虑.另外 还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 二、填空题 1. ( 2010 上 海 文 ) 9. 函 数 f ( x) ? l o 3 g x (? 是 。 的反函数的图像与 y 轴的交点坐标 3)

b ? 0 ,选项(D) 2a

答案 (0,?2) 解析:考查反函数相关概念、性质 法一:函数 f ( x) ? log3 ( x ? 3) 的反函数为 y ? 3 x ? 3 ,另 x=0,有 y=-2 法二:函数 f ( x) ? log 图像与 x 轴交点为( -2,0 ),利用对称性可知,函数 x? 3) 3 (

f ( x) ? log3 ( x ? 3) 的反函数的图像与 y 轴的交点为(0,-2)
三、解答题 1.(2010 四川理)(22)(本小题满分 14 分) 设 f(x)?

1? ax ( a ? 0 且 a ? 1 ),g(x)是 f(x)的反函数. 1? ax t ? g( x ) 在区间[2,6]上有实数解,求 t 的取 ( x ? 1 )( 7 ? x )
2

(Ⅰ)设关于 x 的方程求 log a 值范围;

(Ⅱ)当 a=e(e 为自然对数的底数)时,证明:

? g( k ) ?
k ?2

n

2 ? n ? n2 ; 2n( n ? 1 )

n 1 (Ⅲ)当 0<a≤ 时,试比较? f ( k ) ? n ?与 4 的大小,并说明理由. 2 k ?1

?

本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识,考察化归、分类整合 等数学思想方法,以及推理论证、分析与解决问题的能力. 解:(1)由题意,得 a =
x

y ?1 >0 y ?1

故 g(x)= log a 由 log a

x ?1 ,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞) x ?1

t x ?1 ? log a 得 ( x ? 1)(7 ? x) x ?1
2

t=(x-1)2(7-x),x∈[2,6]
则 t'=-3x +18x-15=-3(x-1)(x-5) 列表如下:
2

x t'

2

(2,5) +

5 0

(5,6) -

6

极大值

t

5

↗ 32



25

所以 t 最小值=5,t 最大值=32 所以 t 的取值范围为[5,32]????????????????????5 分 (2)

? g (k ) ? ln 3 ? ln 4 ? ln 5 ? ?? ? ln n ? 1
k ?2

n

1

2

3

n ?1

1 2 3 n ?1 ? ??? ? ) 3 4 5 n ?1 n( n ? 1) =-ln 2
=ln( ? 令 u(z)=-lnz -
2

1 1? z2 =-2lnz+z- ,z>0 z z

则 u'(z)=-

1 2 1 ? 1 ? 2 =(1- )2≥0 z z z

所以 u(z)在(0,+∞)上是增函数 又因为

n(n ? 1) n(n ? 1) >1>0,所以 u( )>u(1)=0 2 2

即 ln

2 ? n(n ? 1)

1?

n(n ? 1) 2 >0 n(n ? 1) 2



2 ? n ? n2 ????????????????????????9 分 g (k ) ? ? 2n(n ? 1) k ?2
n

(3)设 a=

1 1? a 2 ? 1 ? ≤3 ,则 p≥1,1<f(1)= 1? p 1? a p 2 ≤2<4 p

当 n=1 时,|f(1)-1|= 当 n≥2 时

(1 ? p)k ? 1 2 设 k≥2,k∈N 时,则 f(k)= ? 1? k (1 ? p) ? 1 (1 ? p)k ? 1
*

=1+

2 C p ? C p ? ? ? Ckk p k
1 k 2 k 2

所以 1<f(k)≤1+

2 4 4 4 ? 1? ? 1? ? 2 C ? Ck k (k ? 1) k k ?1
1 k

从而 n-1<

? f (k ) ≤n-1+ 2 ? n ? 1 =n+1- n ? 1 <n+1
k ?2

n

4

4

4

所以 n<

? f (k ) <f(1)+n+1≤n+4
k ?1

n

综上所述,总有|

? f (k ) -n|<4
k ?1

n

2.(2010 四川文)(22)(本小题满分 14 分) 设 f(x)?

1? ax ( a ? 0 且 a ? 1 ),g(x)是 f(x)的反函数. 1? ax

(Ⅰ)求 g ( x) ; (Ⅱ)当 x ? [2, 6] 时,恒有 g ( x) ? log a

t 成立,求 t 的取值范围; ( x ? 1)(7 ? x)
2

1 (Ⅲ)当 0<a≤ 时,试比较 f(1)+f(2)+?+f(n)与 n ? 4 的大小,并说明理由. 2

3.(2010 湖北理)17.(本小题满分 12 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年 的能源 消耗费 用 C (单位:万 元)与隔热层厚度 x ( 单位: cm )满足关系: C ( x ) =

k (0 ? x ? 10), 若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元。设 f(x)为隔热层建造 3x ? 5

费用与 20 年的能源消耗费用之和。 (Ⅰ)求 k 的值及 f(x)的表达式。 (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值。

2009 年高考题
x 1.(2009 年 广 东 卷 文 ) 若 函 数 y ? f ( x) 是 函 数 y ? a 的反函数,且 ( a ? 0,且a ? 1 )

f (2) ? 1 ,则 f ( x) ?
A. log2 x 答案 A B.

( C. log1 x
2

)

1 2x

D.2

x ?2

x 解析 函数 y ? a 的反函数是 f ( x) ? loga x ,又 f (2) ? 1 ,即 loga 2 ? 1 , ( a ? 0,且a ? 1 )

所以, a ? 2 ,故 f ( x) ? log2 x ,选 A. 2.(2009 北京文)为了得到函数 y ? lg

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有 10

.w

点 ( ) A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 答案 C 解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.

3.(2009 天津卷文)设 a ? log1 2, b ? log 1 3, c ? ( )
3 2

1 2

0.3

,则

(

)

A a<b<c B a<c<b 答案 B

C b<c<a

D b<a<c

解析 由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到 a ? 0,0 ? c ? 1 ,而 b ? log 2 3 ? 1 , 因此选 B。 【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用,考查了基本的运算能 4.(2009 四川卷文)函数 y ? 2
x ?1

( x ? R) 的反函数是

A.

y ? 1 ? log2 x( x ? 0)

B. y ? log2 ( x ? 1)(x ? 1) D. y ? log2 ( x ? 1)(x ? ?1)

C. y ? ?1 ? log2 x( x ? 0) 答案 解析 C

由 y ? 2 x?1 ? x ? 1 ? log2 y ? x ? ?1 ? log2 y ,又因原函数的值域是 y ? 0 ,

∴其反函数是 y ? ?1 ? log2 x( x ? 0) 5.(2009 全国卷Ⅱ理)设 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ,则 A. a ? b ? c 答案 A 解析 ?l o g 3 B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a

2 ?

lo 2 g ?2
3

l ?b ? 3c 2og

log 2

3 ?

lo 2 g ?2

l o? g 3? ? ag ? b ? a ? b .? c 3 lo 2 的值为
C. ?

6.(2009 湖南卷文) log2 A. ? 2 答案 D 解析 由 log 2

B. 2

1 2

D.

1 2

1 1 1 2 ? log 2 2 2 ? log 2 2 ? ,易知 D 正确. 2 2

7.(2009 湖南卷文)设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K,定义函数

? f ( x), f (x ) ? K , f K ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K .
取函数 f ( x) ? 2 A . ( ??, 0) 答案 C 解析 函数 f ( x) ? 2
?x

?x

。当 K =

1 时,函数 f K ( x) 的单调递增区间为 2
C . (??, ?1)

(

)

B. (0, ??)

D . (1, ??)

1 x 1 ? ( ) ,作图易知 f ( x) ? K ? ? x ? (??, ?1] ? [1, ??) , 2 2

故在 (??, ?1) 上是单调递增的,选 C. 8.(2009 福建卷理)下列函数 f ( x ) 中,满足“对任意 x1 , x2 ? (0, ?? ),当 x1 < x2 时, 都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) 的是

A. f ( x ) = C . f ( x) = e 答案 A

1 x
x

B. f ( x ) = ( x ? 1)2 D. f ( x) ? ln( x ? 1)

解析 依题意可得函数应在 x ? (0, ??) 上单调递减,故由选项可得 A 正确。 9. (2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x ) 满足:x≥4,则 f ( x ) = ( ) ;当 x<4 时 f ( x ) =

1 2

x

f ( x ? 1) ,则 f (2 ? log2 3) =
A.

1 24

B.

1 12

C.

1 8

D.

3 8

答案 A 解析 ∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23)且 3+log23>4 ∴ f (2 ? log2 3) =f(3+log23)

1 1 1 1 1 log 1 3 1 1 1 = ( )3?log2 3 ? ? ( )log2 3 ? ? ( ) 2 ? ? ? 2 8 2 8 2 8 3 24
10.(2009 四川卷文)函数 y ? 2 x?1 ( x ? R) 的反函数是 A. y ? 1 ? log2 x( x ? 0) C. y ? ?1 ? log2 x( x ? 0) 答案 解析 C 由y?2
x ?1

1

B. y ? log2 ( x ? 1)(x ? 1) D. y ? log2 ( x ? 1)(x ? ?1)

? x ? 1 ? log2 y ? x ? ?1 ? log2 y ,又因原函数的值域是 y ? 0 ,

∴其反函数是 y ? ?1 ? log2 x( x ? 0) 11.(2009 陕西卷文)设曲线 y ? x 标为 xn ,则 x1 ? x2 ??? xn 的值为 A.
n?1

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐

1 n
B

B.

1 n ?1

C.

n n ?1

D.1

答案

解析 对 y ? x

n?1

(n ? N * )求导得y' ? (n ? 1) xn ,令 x ? 1 得在点(1,1)处的切线的斜率

k ? n ? 1 ,在点
(1, 1) 处的切线方程为 y ?1 ? k ( xn ?1) ? (n ? 1)( xn ?1) ,不妨设 y ? 0 ,

xn ?

n n ?1

则 x1 ? x2 ?? ? xn ?

1 2 3 n ?1 n 1 ? ? ? ... ? ? ? , 故选 B. 2 3 4 n n ?1 n ?1

12. (2009 全国卷Ⅰ文) 已知函数 f ( x ) 的反函数为 g ( x)=+ 则 f (1) ? g(1) ? 1 2lgx ? x>0? , (A)0 答案 C 解析 由题令 1 ? 2 lg x ? 1 得 x ? 1 ,即 f (1) ? 1 ,又 g(1) ? 1 ,所以 f (1) ? g(1) ? 2 , 故选择 C。 13.(2009 湖南卷理)若 log 2 a<0, ( ) >1,则 A.a>1,b>0 答案 解析 D 由 log2 a ? 0 得 0 ? a ?, 由 ( ) ? 1 得 b ? 0 ,所以选 D 项。
b

(B)1

(C)2

(D)4

1 2

b

( D. 0<a<1, b<0

)

B.a>1,b<0

C. 0<a<1, b>0

1 2

?a ? log 2 x(当x ? 2时) ? 14.(2009 四川卷理)已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4 在点x ? 2处 连续,则常数 a ( 当 x ? 2 时) ? ? x?2
的值是 A.2 B.3 C.4 D.5 ( )

【考点定位】本小题考查函数的连续性,考查分段函数,基础题。 答案 B 解析 由题得 a ? log 2 ? 2 ? 2 ? a ? 3 ,故选择 B。
2

x2 ? 4 ? lim( x ? 2) ? 4 , 解 析 2 : 本 题 考 查 分 段 函 数 的 连 续 性 . 由 lim f ( x) ? lim x ?2 x ?2 x ? 2 x ?2

f (2) ? a ? log22 ? a ? 1,由函数的连续性在一点处的连续性的定义知
f (2) ? lim f ( x) ? 4 ,可得 a ? 3 .故选 B.
x?2

15.(2009 福建卷文)若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超
x

过 0.25, 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 4x ?1 B. f ? x ? ? ( x ?1)
2

C. f ? x ? ? ex ?1 答案 A

D. f ? x ? ? In ? x ?

? ?

1? ? 2?

解析 f ? x ? ? 4x ?1 的零点为 x= 为 x=0, f ? x ? ? In ? x ? 因 为 g(0)= -1,g(

1 , f ? x ? ? ( x ?1)2 的零点为 x=1, f ? x ? ? ex ?1 的零点 4

? ?

3 1? x ? 的零点为 x= 2 .现在我们来估算 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点, 2?

1 1 )=1, 所 以 g(x) 的 零 点 x ? (0, ), 又 函 数 f ? x ? 的 零 点 与 2 2

g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,只有 f ? x ? ? 4x ?1 的零点适合,
故选 A。 二、填空题 16.(2009 江苏卷)已知集合 A ? x log 2 x ? 2 , B ? (??, a ) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范 围是 (c, ??) ,其中 c = 解析 .

?

?

考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。

由 log2 x ? 2 得 0 ?

x ? 4 , A ? (0,4] ;由 A ? B 知 a ? 4 ,所以 c ? 4。
x

17.(2009 山东卷理)若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1) 有两个零点,则实数 a 的取值范围 是 答案 解析 .

{a | a ? 1}
x 设函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)
x

x 有两个零点, 就是函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图象可知当

0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? ax ( a ? 1) 的图象过点
(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的 取值范围是 a ? 1 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 18.(2009 重庆卷文)记 f ( x) ? log3 ( x ? 1) 的反函数为 y ? f
?1

( x) ,则方程 f ?1 ( x) ? 8 的解

x?
答案 2


y ?1

解法 1 由 y ? f ( x) ? log3 ( x ? 1) ,得 x ? 3 解得 x ? 2

,即 f

?1

(x) ?3x ? 1 ,于是由 3x ? 1 ? 8 ,

解法 2 因为 f ? 1( x) ? 8 ,所以 x ? f (8) ? log3 (8 ? 1) ? 2

2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 年山东文科卷)已知函数 f ( x) ? loga (2x ? b ?1)(a ? 0,a ? 1) 的图象如图所示, 则 a, b 满足的关系是 A. 0 ? a C. 0 ? b
?1

( B. 0 ? b ? a D. 0 ? a
?1 ?1

) y x

? b ?1 ? a ? ?1

?1
O
?1

?1

? b ?1

?1

答案 A 解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 由图易得 a ? 1, ?0 ? a
?1

? 1; 取特殊点 x ? 0 ? ?1 ? y ? loga b ? 0,

? ?1 ? log a

1 ? log a b ? log a 1 ? 0, ? 0 ? a ?1 ? b ? 1 . a

2. (07 山东)设 ? ? ?? 1,1, 为 A.1,3 答案 A

? ?

1 ? ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值 2 ?
C.-1,3
b

B.-1,1

( D.-1,1,3
c



?1? ?1? 3.(07 天津)设 a, b, c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log2 c . ?2? ?2? 2 2
a

则 A. a ? b ? c 答案 A 二、填空题

( B. c ? b ? a C. c ? a ? b



D. b ? a ? c

4. (2008 年山东文科卷) 已知 f (3x ) ? 4x log2 3 ? 233 , 则 f( 2 ) ?f ( 4 ) 的值等于 答案 2008 .

? ( 8 )f

? ? ( ? 2 )f

8

解析 本小题主要考查对数函数问题。

? f (3x ) ? 4x log2 3 ? 233 ? 4log2 3x ? 233,
? f ( x) ? 4log2 x ? 233, ? f (2) ? f (4) ? f (8) ? ? ? f (28 ) ? 8 ? 233 ? 4(log2 2 ? 2log2 2 ? 3log2 2 ? ?? 8log2 2) ? 1864 ? 144 ? 2008.

第二部分

四年联考汇编

2013-2014 年联考 一.基础题组
1. 【2014 福建三明】已知幂函数 的值为( A. 3 ) B. ? 3 C. ?9 D. 9

f ? x ? ? x? 的图像过点 (4, 2) ,若 f ? m? ? 3 ,则实数 m

2.【2014 福建南安】下列函数中不能 用二分法求零点的是( .. A. f ( x) ? 3x ? 1 B. f ( x) ? x 3 C. f ( x) ? x 2

) D. f ( x) ? ln x

?2 x , x ? 0 ? f ( x ) ? 3.【2014 年“皖西七校”高三年级联合考试】设函数 ,若对任意给定 ? ? ?log2 x, x ? 0
的 y ? (2, ??) ,都存在唯一的 x ? R ,满足 f ( f ( x)) ? 2a2 y 2 ? ay ,则正实数 a 的最小值是 ( A.
1 4

) B.
1 2

C.2

D.4

4.【2014 安徽涡阳蒙城】函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在 (??,4) 上是增函数,则实数 a 的范围是( A. ) B.

a≥3

a ≥5

C. a ≤ 3

D. a ≤ ? 5

5.【2014 安徽涡阳蒙城】若 f ? ln x ? ? 3x ? 4 ,则 f ? x ? 的表达式为( A. 3 ln x 【答案】D 【解析】 试题分析:令 ln x ? t ,于是有 x ? e ,分别用 t 、 e
t t

) D. 3e ? 4
x

B. 3ln x ? 4

C. 3e

x

替换 f ? ln x ? ? 3x ? 4 中的 ln x 、

x 得: f (t) ? 3et ? 4
最后仍用 x 作自变量,得 f ? x ? ? 3e ? 4 故选 D.
x

考点:1、指数、对数式的互化;2、换元法求函数的解析式. 6. 【2014 福建三明】函数 y ?

1 的定义域为 x

.

7.【2014 福建南安】已知函数 f ( x) ? 3 x ? 2 x 的零点所在的一个区间是( A. (-2,-1) B. (-1, 0) C. (0, 1) D. (1, 2)



1 ? ? 8.【2014 福建三明】 (本小题满分 6 分) 计算: ?? ? ? ln e ? 3 ?1 ? ?

0

? ?5 ?

2

? 8 3 ? lg 2 ? lg 5 .

1

二.能力题组
9. 【2014 福建三明】已知函数 y ? f ? x ? 的对应关系如下表,函数 y ? g ? x ? 的图像是如下 图的曲线 ABC ,其中 A(1,3), B(2,1), C (3, 2) 则的 f ? ? g ? 2 ?? ? 值为( )

y=g(x)
3 2 1

A C B
1 2 3 x

o

A. 3

B.

2

C. 1

D. 0

10. 【2014 福建三明】我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4% , 专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍,则函数的图像大致为( )

11. 【2014福建三明】 已知函数 f ? x ? ? ? 的值( ) B.一定是 n

m ?n ? m ? ?n f m ? n ?? ?1, x ? 0 。 若m? n, 则 2 ??1, x ? 0

?

A.一定是 m

C.是 m、n 中较大的数

D.是 m、n 中较小的数

12. 【2014 福建三明】已知函数 f ( x) ? ? cos x ? m ? ? 1 在 cos x ? ?1 时取得最大值,在
2

cos x ? m 时取得最小值,则实数 m 的取值范围是(
A. m ? ?1 B. m ? 1 C. 0 ? m ? 1

) D. ?1 ? m ? 0

13.【2014福建安溪八中12月月考数学理】已知函数 f ( x) 是定义在R上的奇函数,且它的图 像关于直线x=1对称,若函数 f ( x) ?

x (0 ? x ? 1) ,则 f (?5.5) (
C. ?

)

A.

2 2

B. 1.5

2 2

D. ?1.5

【答案】C 【解析】 试题分析: 因为函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数所以可得 f(-x)=-f(x).又因为它的图像关 于直线 x=1 对称所以可得 f(x)=f(2-x).由上面两式可得 f(2-x)=-f(-x).由此可递推得 f(2-x)=-f(-x)=f(-2-x).所以函数 f(x)周期为 4.所以

f ? ?5.5? ? f ? ?1.5? ? ? f ?1.5? ? ? f ? 2 ? 05? ? ? f ? 0.5? ? ?

2 .故选 C. 2

考点:1.函数的奇偶性以对称性的结合.2.函数的周期性.3.化归转化思想. 14.【2014 宿州一模】下列函数 f ( x ) 中,满足“对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) 时,均有

( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? ( f ( x2 )] ? 0 ”的是
( )

A. f ( x) ?

1 2

B. f ( x) ? x2 ? 4x ? 4

C. f ( x) ? 2x

D. f ( x) ? log 1 x
2

?e x ? 1, x ? 1 15.【2014 安徽涡阳蒙城】已知函数 f ( x) ? ? ,那么 f (2) 的值是( ? x, x ? 1
A. 0 B. 1 C. e ? 1
2



D. 2

16.【2014 安徽涡阳蒙城】已知 0 ? a ? 1 , b ? ?1 ,则函数 y ? a ? b 的图象必定不经过
x



) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

17.【2014 安徽涡阳蒙城】设 a ? e ( )

0.3

, b ? 0.92 , c ? log? 0.87 ,则 a, b, c 的大小关系是
C. c ? a ? b D. b ? c ? a

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

?x ?1 (0 ? x ? 1) ? 18. 【2014 福建安溪八中 12 月月考数学理】已知函数 f ( x) ? ? x 1 ,设 ( x ? 1) 2 ? ? ? 2
a ? b ? 0 ,若 f (a) ? f (b) ,则 b ? f (a) 的取值范围是 ___ .

考点:1.分段函数的知识.2.函数的单调性. 19.【2014 安徽涡阳蒙城】函数 f ( x) 的定义域为 ( a, b) ,且对其内任意实数 x1 , x2 均有:

( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,则 f ( x) 在 ( a, b) 上是

(填函数的单调性有关类型)

x 20.【2014安徽涡阳蒙城】对于每一个实数 x , f ( x ) 取 4 ? x , x ? 2 , 3 三个值中最小

的值,则 f ( x ) 的最大值为_______

考点:1、基本初等函数的图象;2、数形结合.

21. 【2014 福建三明】(本小题满分 12 分)学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集 中情况的调查研究中,发现其在 40 分钟的一节课中,注意力指数 y 与听课时间 x (单位: 分钟)之间的关系满足如图所示的图像,当 x ? ? 0,12? 时,图像是二次函数图像的一部分, 其中顶点 A(10,80) , 过点 B(12,78) ; 当 x ??1 2 ,4 0

? 时,图像是线段 BC ,其中 C(40,50) ,

根据专家研究,当注意力指数大于 62 时,学习效果最佳.

(1)试求 y ? f ? x ? 的函数关系式; (2)教师在什么时段内安排内核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.
2 ? 1 ?? ? x ? 10 ? ? 80, x ? ? 0,12? 【答案】(1) f ? x ? ? ? 2 ;(2)老师在 x ? ? 4, 28? 时段内 ?? x ? 90, x ? ?12, 40? ?

安排核心内容,能使得学生学习效果最佳.

22. 【2014 宿州一模】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) , 当 ?1 ? x ? 0
?x 2 时 f ( x) ? e ;当 0 ? x ? 1 时 f ( x) ? 4 x ? 4 x ? 1 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 在(-1,1)上的单调区间; (Ⅱ)若 g ( x) ? f ( x) ? kx(k ? 0) ,求函数 g ( x) 在 [0,3] 上的零点个数.

三.拔高题组
23.【2014 福建南安】已知 x0 是函数 f ( x) ? 2 ?
x

1 的一个零点.若 1? x

x1 ? ?1, x0 ? , x2 ? ? x0 , ??? ,则 (
A. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0 C. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0

) B. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0 D. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0

24.【2014 福建三明】函数 y ? x ? 上是减函数,在 ? a , ??

?

?

a ? x ? 0 ? 有如下性质:若常数 a ? 0 ,则函数在 0, a ? ? x m 上是增函数。已知函数 f ? x ? ? x ? ( m ? R 为常数),当 x

?

x ?? 0, ??? 时,若对任意 x ? N ,都有 f ? x ? ? f ? 4? ,则实数 m 的取值范围
是 .

25.【“华安、连城、永安、漳平一中,龙海二中,泉港一中”六校联考 2013-2014 学年上
3 2 学期第三次月考】对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d ( a ? 0 ),给出定义:设 f ?( x )

是函数 y ? f ( x) 的导数, f ??( x) 是函数 f ?( x ) 的导数,若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0 ,则 称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都 有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心. 给定函数

f ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3 x ? ,请你根据上面探究结果,计算 3 2 12

f(

1 2 2012 2013 ) + f( ) ?+ f ( )+ f( )= 2014 2014 2014 2014

__________ .

26.【2014 安徽省六校教育研究会高三 2 月联考数学理】对于函数 f ( x ) ,若存在区间

M ? ? a, b? ,使得 ? y | y ? f ( x), x ? M ? ? M ,则称区间 M 为函数 f ( x) 的一个“好区
间”.给出下列 4 个函数:
x 3 ① f ( x) ? sin x ;② f ( x ) ? 2 ? 1 ;③ f ( x) ? x ? 3x ;④ f ( x) ? lg x ? 1 .

其中存在“好区间”的函数是

. (填入所有满足条件函数的序号)

x ②对于函数 f ? x ? ? 2 ? 1 ,该函数在 ?0, ??? 上是增函数由幂函数的性质我们易得, x 所以 M ? ?0,1? 为函数 f ? x ? ? 2 ? 1 的一个 “好区间” . M ? ?0,1? 时,f ? x ? ??0,1? ? M ,

27. 【2014 福建三明】(本小题满分 14 分)设函数 f ( x ) 的定义域是 R ,对于任意的 x , y , 有 f ? x ? y ? ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . (1)求 f ? 0 ? 的值; (2)判断函数的奇偶性; (3)用函数单调性的定义证明函数 f ? x ? 为增函数;
2 (4)若 f cos ? ? 2sin ? ? f ? ?2 m ? 2 ? ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

?

?

【答案】(1) 0 ;(2)奇函数;(3)详见解析;(4) ? ??, ?2? . 【解析】 试题分析:(1)采用附值法,令 x ? y ? 0 代入 f ? x ? y ? ? f ( x) ? f ( y) 即可求出 f (0) ; (2)先说明函数的定义域关于原点对称,然后令 y ? ? x 得到 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 0 , 然后可化成 f (? x) ? ? f ( x) ,可判断函数为奇函数;(3)设 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 ,所以

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 ,从而利用单调性的定义证出函数 f ( x)
2 在 R 上为增函数;(4)先将不等式转化成 f cos ? ? 2sin ? ? f ? 2m ? 2 ? ,再由函数的

?

?

单调递增性,又转化为 cos ? ? 2sin ? ? 2m ? 2 ,再分离参数得不等式
2

m?

1 1 cos 2 ? ? sin ? ? 1 ,该不等式恒成立等价于 m ? ( cos 2 ? ? sin ? ? 1) min ,求出 2 2 1 y ? cos 2 ? ? sin ? ? 1 的最小值即可求出 m 的取值范围. 2

28.【2014 安徽涡阳蒙城】(满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ?

2 ,g(x)= f(2x) x ?1

(I)用定义证明函数 g ( x) 在 ( ??, 0) 上为减函数。 (II)求 g ( x) 在 (??, ?1] 上的最小值. 【答案】

(I)见解析 (II)-3 【解析】

29.【2014 安徽涡阳蒙城】(满分 13 分) 若非零函数 f ( x) 对任意实数 a , b 均有 f ? a ? b? ? f ? a ? ? f ?b? , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 . (1)求证: f ( x) ? 0 ; (2)求证: f ( x) 为减函数; (3)当 f ( 4) ?

1 1 时,解不等式 f ( x ? 3) ? f (5) ? 16 4

【答案】(1)见解析(2)见解析(3) ? x | x ? 0? 【解析】

2012-2013 年联考
?1,x为有理数 f ( x) ? ? ?0,x为无理数 1【云南省玉溪一中 2013 届高三第四考次月理】函数
结论错误的是 ( )

, 则下列

A. f ( x) 是偶函数 C. f ( x) 是周期函数 【答案】D

B.方程 f ( f ( x)) ? x 的解为 x ? 1 D.方程 f ( f ( x)) ? f ( x) 的解为 x ? 1

【解析】则当 x 为有有理数时,?x , x ? T 也为有理数,则 f (? x)=f ( x) , f ( x ? T )=f ( x) ; 则当 x 为有无理数时, ?x , x ? T 也为无理数,则 f ( x ? T )=f ( x) ,所以函数 f ( x ) 为偶函 数且为周期函数,所以 A,C 正确.当 x 为有有理数时, f ( f ( x)) ? f (1) ? x ,即 1 ? x ,所以方 程 f ( f ( x)) ? x 的解为 x ? 1 ,C 正确.方程 f ( f ( x)) ? f ( x) 可等价变形为 f ( x)=1,此时与方 程 f ( x)=1的解为 x 为有理数,故 D 错误,故选 D 2【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】已知对数函数 f ( x) ? log a x 是增函数, 则函数 f (| x | ?1) 的图象大致是( )

【答案】B 【 解 析 】 因 为 函 数 为 增函 数 , 所 以 a ? 1 , 又 函 数 f (| x |? 1)为 偶 函 数 。 当 x ? 0 时 ,

f (| x |? 1)? f (x ? 1)? log x(? ,当 1) x ? 0 时, f (| x | ?1) ? f (? x ? 1) ? log a (? x ? 1) ,选 B. a
3【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)理科】下列函数中既不是奇函数 也不是偶函数的是 A. y ? 2| x| C. y ? 2x ? 2? x 【答案】D 【解析】根据奇偶性定义知,A、C 为偶函数,B 为奇函数,D 定义域为 {x | x ? ?1} 不关于原 点对称,故选 D. 4【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】若 f ( x ) 是偶函数,且当
x ? [0,? ?)时, f ( x ) ? x ? 1, 则f ( x ? 1) ? 0 的解集是(



) B. y ? 1g ( x ? D. y ? 1g

x 2 ? 1)

1 x ?1



A.(-1,0) 【答案】D

B.(-∞,0) ? (1,2)

C.(1,2) D.(0,2)

【解析】 根据函数的性质做出函数 f ( x ) 的图象如图.把函数 f ( x ) 向右平移 1 个单位,得 到函数 f ( x ? 1) ,如图,则不等式 f ( x ? 1) ? 0 的解集为 (0, 2) ,选 D.

5【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】已知在函数 y ?| x |( x ? [?1,1] )的图象上 有一点 P (t ,| t |) ,该函数的图象与 x 轴、直线 x=-1 及 x=t 围成图形(如图阴影部分)的 面积为 S,则 S 与 t 的函数关系图可表示为( )

【答案】B 【解析】由题意知,当 ?1 ? t ? 0 时,面积原来越大,但增长的速度越来越慢.当 t ? 0 时,S 的增长会越来越快,故函数 S 图象在 y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大,选 B. 6 【 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 三 次 月 考 理 】 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足
x ? f (? x) ? ? f ( x) , f ( x? 2 )? f (x? 2 ) , x ? (?1, 0) 时 , f ( x ) ? 2 且

1 ,则 f (log2 20) ? 5



) A. 1 B.

4 5

C. ?1

D. ?

4 5

【答案】C 【解析】由 f (? x) ? ? f ( x), f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 可知函数为奇函数,且 f ( x ? 4) ? f ( x) ,

5 log 20 ? 4 ? log 4 ? log 20 ? 5 0 ? log 20 ? 4 ? 1 2 2 2 2 所以函数的周期为 4, , ,即 4 ,所 5 5 4 以 f (log 2 20) ? f (log 2 20 ? 4) ? f (log 2 4 ) ? ? f (? log 2 4 ) ? ? f (log 2 5 ) , 因 为
?1 4 ?l2 o g ? , 0 所 5

4 log 2 4 1 4 1 f (log 2 ) ? 2 5 ? ? ? ? 1 5 5 5 5







4 f (log 2 20) ? f (log 2 20 ? 4) ? ? f (log 2 ) ? ?1 ,选 C. 5
7【云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试理】函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 的零点 所在的区间是 A. (0, ) 【答案】A 【解析】 函数 在定义域上单调递增, f ( x) ? ex ? x ? 2 ,

1 2

B. ( ,1)

1 2

C.(1,2)

D.(2,3)

f (0) ? 1 ? 2 ? 0 , f (1) ? e ? 1 ? 0 ,

1 1 3 9 f( )? e? ? e? ? 0 ,由跟的存在定理可知函数的零点在区间 (0, ) 上选 A. 2 2 2 4
8 【 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 新 课 程 第 一 次 摸 底 测 试 理 】 已 知 偶 函 数

f ( x)对?x ? R, 都有f ( x ? 2) ? ? f ( x), 且当x ?[?1,0]时
f ( x) ? 2x , 则f (2013) =
A.1 【答案】C 【 解 析 】 由 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 得 f ( x ? 4) ? f ( x) , 所 以 函 数 的 周 期 是 4 , 所 以 B.—1 C.

1 2

D. ?

1 2

f (2013) ? f (4 ? 503 ? 1) ? f (1) ? f ( ?1) ? 2 ?1 ?

1 ,选 C. 2
2

9 【 天 津 市 耀 华 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 月 考 理 科 】 已 知 函 数 f (x)=x ? cos x , 则

f (0.6),f (0),f (-0.5) 的大小关系是
A、 f (0)<f (0.6)<f (-0.5) C、 f (0.6)<f (-0.5)<f (0) 【答案】B B、 f (0)<f (-0.5)<f (0.6) D、 f (-0.5)<f (0)<f (0.6)

【解析】因为函数 当 0? x?

f (x)=x2 ? cos x 为偶函数,所以

f (?0.5) ? f (0.5) , f ' (x)=2x ? sin x ,

?

时 , f '( x )=2 ? x 2

s i? n x, 0 所 以 函 数 在 0? x? 2 递 增 , 所 以 有

?

f (0)<f (0.5)<f (0.6) ,即 f (0)<f ( ? 0.5)<f (0.6) ,选 B.
10【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】在下列区间中,函数 f (x)=e x +4 x ? 3 的 零点所在的区间为 A、( 【答案】C 【解析】

1 ,0) 4

B、(0,

1 ) 4

C、(

1 1 , ) 4 2

D、(

1 3 , ) 2 4

f(

1 1 1 1 1 1 4 ) =e4 ? 2 = e4 ? 1 6 ? , 0 f ( )=e 2 ? 1= e ? 1 ? 0 , 所 以 函 数 的 零 点 在 4 2

1 1 ( , ) ,选 C. 4 2
11 【 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 ( 理 ) 】 已 知 函 数
2 f ? x? ? ? m ? m ? 1? ? x5m ? 3是幂函数且是 ? 0, ??? 上的增函数,则 m 的值为

A. 2 【答案】B

B. -1

C. -1 或 2

D. 0

【解析】 因为函数为幂函数, 所以 m ? m ? 1 ? 1 , 即 m ? m ? 2 ? 0, 解得 m ? 2 或 m ? ?1 .
2 2

因为幂函数在 (0, ??) ,所以 ?5m ? 3 ? 0 ,即 m ? ?

3 ,所以 m ? ?1 .选 B. 5

12【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)】 已知定义在区间[0,2] 上的函数 y =f (x) 的图象如图所示,则 y =f (2-x) 的图象为

【答案】A 【解析】当 x ? 0 时, y ? f (2 ? 0) ? f (2) ? 1,排除 B,C,D,选 A. 13【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)】给定函数① y =x ② y=2x
2

?

1 2



?3 x +3

,③ y = log 1 |1-x| ,④ y = sin
2

?x
2

,其中在 (0,1) 上单调递减的个数为

A. 0 【答案】C

B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

【解析】 ①为幂函数,?

1 3 3 ? 0 ,所以在 (0,1) 上递减.② x 2 ? 3 x ? 3 ? ( x ? ) 2 ? ,在 (0,1 ) 2 2 4
2

上递减,所以函数 y=2x 增.④ y ? sin

?3 x +3

在 (0,1) ,递减 .③ y ? log 1 1 ? x ? log 1 x ? 1 ,在 (0,1) 递
2 2

?
2

x 的周期, T ? 4 ,在 (0,1) 上单调递增,所以满足条件的有 2 个,选 C.

14【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)】设 a =log3 2 , b =ln 2 ,

c =5 ,则
A. a <b <c 【答案】C
1 ? 1 1 1 【解析】 log 3 2 ? , ln 2 ? ,5 2 ? 。因为 5 ? 2 ? log2 3 ? log2 e ? 0 , log 2 3 log 2 e 5

?

1 2

B. b <c <a

C. c <a <b

D. c <b <a

所以 0 ?

1 1 1 ,即 c ? a ? b 。选 C. ? ? 5 log 2 3 log 2 e

15 【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学 (理) 】 函数 f ( x) 的定义域为 R, 若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则 A. f ( x) 是偶函数 C. f ( x) ? f ( x ? 2) 【答案】D 【 解 析 】 函 数 f ( x ? 1) , f ( x ? 1) 都 为 奇 函 数 , 所 以 f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) , B. f ( x) 是奇函数 D. f ( x ? 3) 是奇函数

f ( x ? 1) ? ? f (? x ? 1) , (?1, 0) 对称, 所以 函数 f ( x ) 关于点 (1, 0) , 所以函数的周期 T ? 4 ,

所以 f ( x ? 1 ? 4) ? ? f (? x ? 1 ? 4) ,即 f ( x ? 3) ? ? f (? x ? 3) ,所以函数 f ( x ? 3) 为奇函 数,选 D. 16 【 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 ( 理 ) 】 设函数

? 1 (x ? 1 ) ? , 若关于 x 的方程[f (x)]2 +bf (x)+c=0 有三个不同的实数根 x1 ,x2 ,x3 , 则 ( f x)= ?|x - 1 | ?1 (x=1) ?
2 2 等于 x12 +x x 2 +3

A. 13 【答案】B

B. 5

C.

3c 2 +2 c2

D.

2b 2 +2 b2

【解析】做出函数 f ( x ) 的图象如图,要使方程[f (x)] 2+ bf ( x)+c=0 有三个不同的实数根,结 合图象可知, f ( x) ? 1 ,所以三个不同的实数解为 0,1, 2 ,所以 x12 ? x22 ? x32 ? 5 ,选 B.

17 【 天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 理 】 函 数

?? ? ? y?l n c x o? s? ? x ? ? 的图象是 2? ? 2

【答案】A 【解析】函数为偶函数,图象关于 y 轴对称,所以排除 B,D. 又 0 ? cos x ? 1 ,所以

y ? ln cos x ? 0,排除 C,选 A.

18 【 天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 理 】 设 a ? log5 4 ,

b ? (log5 3)2 , c ? log4 5 ,则
A. a<c<b B. b<c<a C. a<b<c D. b ? a ? c 【答案】D 【解 析】因为 log4 5 ? 1 , 0 ? log5 4 ? 1 , 0 ? log5 3 ? 1 , 因为 0 ? log5 3 ? 1 ,所 以

(log5 3)2 ? log5 3 ? log5 4 ,所以 b ? a ? c ,选 D.
19 【 天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 理 】 偶 函 数 f ( x ) 满 足

10 ?1? 2 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) , 且在 x∈[0, 1]时, f (x) =x , 则关于 x 的方程 f (x) = ? ? 在 [0, ] 3 ? 10 ?
上根的个数是 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 5 个

x

【答案】C 【解析】由 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 得 f ( x ? 2) ? f ( x) 所以函数的周期又函数为偶函数,

所以 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? f (1? x ) ,所以函数关于 x ? 1 对称, 在同一坐标系下做出函数 f ( x ) 和 y ? ( 方程根的个数为 3 个,选 C.



10 1 x ) 的图象,如图,由图象可知在区间 [0, ] 上, 3 10

20. 【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】 定义在 R 上的偶函数 f(x),当 x∈[0,+∞) 时,f(x)是增函数,则 f(-2),f(π ),f(-3)的大小关系是 A.f(π )>f(-3)>f(-2) C.f(π )<f(-3)<f(-2) 【答案】A 【解析】因为函数是偶函数,所以 f (?2) ? f (2), f (?3) ? f (3) ,又函数在 [0, ??) 上是增 函数,所以由 f (2) ? f (3) ? f (? ) ,即 f (?2) ? f (?3) ? f (? ) ,选 A. 21 【 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 一 月 考 理 】 x, y , z 均 为 正 实 数 , 且 B.f(π )>f(-2)>f(-3) D.f(π )<f(-2)<f(-3)

2x ? ? log2 x , 2? y ? ? log2 y , 2? z ? log2 z ,则
A. x ? y ? z 【答案】A 【解析】因为 x, y , z 均为正实数,所以 2x ? ? log2 x ? 1,即 log 2 x ? ?1 ,所以 0 ? x ? B. z ? x ? y C. z ? y ? x D. y ? x ? z

1 。 2

1 1 2? y ? ? log 2 y ? ( ) y ,因为 0 ? ( ) y ? 1 ,即 0 ? ? log2 y ? 1 ,所以 ?1 ? log2 y ? 0 , 2 2 1 1 z 1 即 ? y ? 1 。2? z ? log 2 z ? ( ) z , 因为 0 ? ( ) ? 1 , 所以 0 ? log2 z ? 1 , 即1 ? z ? 2 , 2 2 2 所以 x ? y ? z ,选 A.
22【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】定义在 R 上的可导函数 f(x),且 f(x) 图像连续,当 x≠0 时, f '( x) ? x?1 f ( x) ? 0 ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? x?1 的零点的个数为 A.1 【答案】C 【解析】由 f '( x) ? x f ( x) ? 0 ,得
?1

B.2

C.0

D.0 或 2

xf '( x ) ? f ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, xf '( x) ? f ( x) ? 0 , x

) 即 ( xf ( x)) ' ? 0 , 函 数 xf ( x) 此 时 单 调 递 增 。 当 x ? 0 时 , x f ' ( x)? f ( x?
?1 ( x f ( x) ) ? ' 0 , 函 数 xf ( x) 此 时 单 调 递 减 。 又 g ( x) ? f ( x)? x ?

0 ,即

g ( x) ?

xf ( x )? 1 的 零 点 个 数 等 价 为 函 数 y ? xf ( x) ? 1 的 零 点 个 数 。 当 x ? 0 时 , x

x f ( x)? 1 ,函数 x

y ? x f( x )? 1? 1 ,当 x ? 0 时, y ? xf ( x) ? 1 ? 1,所以函数 y ? xf ( x) ? 1 无零点,所以
函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的零点个数为 0 个。选 C. 23【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考(理)】函数 f ?x ? ? loga ?6 ? ax? 在 ?0,2? 上为减函数,则 a 的取值范围是 A. ?0,1? 【答案】B 【解析】因为函数 f ?x ? ? loga ?6 ? ax? 在 ?0,2? 上为减函数,则有 a ? 1 且 6 ? 2a ? 0 ,解得 B. ?1,3? C. ?1,3? D. ?3,???
?1

1 ? a ? 3 ,选 B.
24 【 天 津 市 耀 华 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 月 考 理 科 】 定 义 域 为 R 的 函 数 f (x) 满 足

f (x+2)=2 f (x) ,当 x ?[0,2)时,

? x 2 -x,x ? [0,1) t 1 若 x ? [-4,-2] 时, f (x) ? - 恒成立,则实数 t 的取值范围是 f (x)= ? |x-1.5| 4 2t ?-(0.5) ,x ? [1,2)
A、[-2,0) ? (0,l) B、[-2,0) ? [l,+∞) C、[-2,l] 【答案】D 【解析】当 x ? [-4,-2] ,则 x ? 4 ? [0,2] ,所以 f ( x) ? D、( -? ,-2] ? (0,l]

1 1 f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) 2 4

?1 ?1 [( x ? 4) 2 ? ( x ? 4)], x ? [ ?4, ?3) ? ( x 2 ? 7 x ? 12), x ? [?4, ?3) ? ?4 ?4 =? =? ,当 x ? [?4, ?3] ?? 1 (0.5) x ? 2.5 , x ? [?3, ?2) ?? 1 (0.5) x ? 4?1.5 , x ? [?3, ?2) ? ? ? 4 ? 4
7 1 2 1 7 1 ( x ? 7 x ? 12) ? [( x ? ) 2 ? ] 的对称轴为 x = ? ,当 x ? [ ?4, ?3] 时, 2 4 4 2 4 7 1 1 x ? 2.5 最小值为 f (? )= ? ,当 x ? [?3, ?2), f ( x)= ? (0.5) ,当 x ? ?2.5 时,最小,最 4 2 16 1 1 1 t 1 小值为 ? ,所以当 x ?[-4,-2]时,函数 f ( x ) 的最小值为 ? ,即 ? ? ? ,所以 4 4 4 4 2t ?t ? 0 ?t ? 0 t2 ? t ? 2 ,即 或? 2 ,解 ? 0 ,所以不等式等价于 ? 2 t 1 1 t ? ? ?0 ?t ? t ? 2 ? 0 ?t ? t ? 2 ? 0 4 2t 4
时, f ( x)= 得 0 ? t ? 1 或 t ? ?2 ,即 t 的取值范围是 (??, ?2] ? (0,1] ,选 D. 25【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考(理)】函数 y ? 是

x ? 2 sin x 的图象大致 2

【答案】C 【解析】函数为奇函数,所以排除 A.当 x ? 4 时, y ? 0 ,排除 D. 函数 y ? 奇函数,且 y? ?

x ? 2 sin x 为 2

1 1 ? 2 cos x ,令 y? ? 0 得 cos x ? ,由于函数 y ? cos x 为周期函数,而当 2 4 x x x ? 2? 时, y ? ? 2sin x ? 0 ,当 x ? ?2? 时, y ? ? 2sin x ? 0 ,则答案应选 C. 2 2
2

26 【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考 (理) 】 右图是函数 f ?x ? ? x ? ax ? b 的

部分图像,则函数 g ?x ? ? ln x ? f ??x? 的零点所在的区间是 A. ?

?1 1? , ? ?4 2?

B. ?1,2?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ?2,3?

【答案】C 【解析】由函数图象可知 0 ? b ? 1, f (1) ? 0 ,从而 ?2 ? a ? ?1 , f '( x) ? x ? 2a ,所以

g ( x) ? ln x ? 2 x ? a , 函 数 g ( x) ? ln x ? 2 x ? a 在 定 义 域 内 单 调 递 增 ,
1 1 g ( ) ? ln ? 1 ? a ? 0 , g (1) ? ln1 ? 2 ? a ? 0 ,所以函数 g ?x? ? ln x ? f ??x? 的零点所在 2 2 1 的区间是 ( ,1) ,选 C. 2

? 1 ?2 27 【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考 (理) 】 若 a ? log2 0.9, b ? 3 , c ? ? ? ? 3?
?

1 3

1

则 A.a<b<c 【答案】B 【解析】 a ? log 2 0.9 ? 0, c ? ( ) 2 ? 3 B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a

1 3

1

?

1 2

,因为 3

?

1 3

?3

?

1 2

? 0 ,所以 a ? c ? b ,选 B.

28【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考(理)】下列函数中,既是偶函数,又是 在区间 ?0,??? 上单调递减的函数是 A. y ? x
? 2 3

B. y ? x

?

1 2

C. y ? 2

x

D. y ? cos x

【答案】A 【解析】 y ? x
? 1 2

?

1 x 非奇非偶函数,排除 B,当 x ? 0 时,函数 y ? 2 ? 2x 单调递增,排 x

除 C, y ? cos x 在定义域上不单调,排除 D,选 A. 29【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理)】函数 y ? 致是

lg x 的图象大 x

【答案】D 【解析】函数为奇函数,图象关于原点对称,排除 A,B。当 x ? 1 时, y ? 0 ,排除 C,选 D. 30【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理)】已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x >0 时, f ? x ? ? 1 ? 2? x ,则不等式 f ? x ? < ? A. ? ??, ?1? 【答案】A B. ? ??, ?1? C. ?1, ?? ? D. ?1, ?? ?

1 的解集是 2

1 2 ,又因为函数为奇函数,所以 f (?1) ? ? f (1) ? ? 1 ,所以 【解析】因为 2 1 1 x ?x 不等式 f ( x ) ? ? 等价于 f ( x) ? f (?1) ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ? 2 ? 1 ? ( ) 单调递增, 2 2 f ?1? ? 1 ? 2?1 ?
且 0 ? f ( x) ? 1 ,所以在 ( ??, 0) 上函数也单调递增,由 f ( x) ? f (?1) 得 x ? ?1 ,即不等式 的解集为 ? ??, ?1? ,选 A. 31【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考(理)】若方程 x ? 2mx ? 4 ? 0 的两根
2

满足一根大于 2,一根小于 1,则 m 的取值范围是_____. 【答案】 ( , ??) 【解析】令函数 f ( x) ? x ? 2mx ? 4 ,由题意可知 ?
2

5 2

? f (1) ? 0 ?1 ? 2m ? 4 ? 0 ,即 ? ,所以 ? f (2) ? 0 ?4 ? 4m ? 4 ? 0

5 ? 5 ?m ? 2 ,即 m ? . ? 2 ? ?m ? 2
32【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考(理)】设定义在 R 上的函数 f ?x ? 同时 满足以下条件;

① f ?x ? ? f ?? x ? ? 0 ;② f ?x ? ? f ?x ? 2? ;③当 0 ? x ? 1 时, f ?x ? ? 2 x ? 1. 则 f ? ? ? f ?1? ? f ? ? ? f ?2? ? f ? ? ? _______. 【答案】 2 ? 1 【 解 析 】 由 f ?x ? ? f ?? x ? ? 0 得 f ? ? x ? ? ? f ? x ? , 所 以 函 数 f ( x ) 为 奇 函 数 . 由

?1? ?2?

?3? ?2?

?5? ?2?

5 1 f ? x ? ? f ? x ? 2? , 可 知 函 数 f ( x ) 的 周 期 为 2 , 所 以 f ( ) ? f ( ) , 2 2 3 1 1 f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) , f (2) ? f (0) ? 0 , 由 ② 知 f (?1) ? f (1) ? ? f (1) , 所 以 2 2 2

f (1) ? 0







?1? ?3? ?5? ?1 f ? ? ? f ?1? ? f ? ? ? f ?2? ? f ? ? ? f ? ? ?2 ?2? ?2? ?2?
x | x | ?a | x | ? x ? a 是奇函数,则 a= cos x

? (? ?

f

1 ?. 2

)

? ? ?

f

33 【 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 新 课 程 第 一 次 摸 底 测 试 理 】 设 函 数

f ( x) ?



【答案】 a ? 0 【解析】函数 f ( x ) 为奇函数,所以有 f (0) ? 0 ,解得 a ? 0 。 34 【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】 函数 f(x)=a + a x ? 2 的值域为_________. 【答案】 ( 2, ??) 【解析】令 t ? a x ? 2 则 t ?
x

2 且 t 2 ? a x ? 2 ,所以 a x ? t 2 ? 2 ,所以原函数等价为

1 1 9 y ? g (t ) ? t 2 ? 2 ? t ? (t ? ) 2 ? ,函 数的对称轴 为 t ? ? ,函数开 口向上。因 为 2 2 4

t? 2

, 所 以 函 数 在

( 2, ??) 上 函 数 单 调 递 增 , 所 以

g (t ) ? g ( 2) ? ( 2)2 ? 2 ? 2 ? 2 ,即 y ? 2 ,所以函数的值域为 ( 2, ??) 。
35 【 天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 理 】 已 知 函 数 f ( x ) =?

?(a ? 2) x ? 1, x ? 1, 若f (x) 在 (- ? , +?) 上单调递增, 则实数 a 的取值范围为________。 ?loga x, x ? 1.
【答案】 (2,3]

?a ? 1 ?a ? 1 ? ? 【解析】要使函数 f ( x ) 在 R 上单调递增,则有 ? a ? 2 ? 0 ,即 ? a ? 2 ,所以 ?a ? 2 ? 1 ? 0 ? f (1) ? 0 ? ? ?a ? 1 ? ? a ? 2 ,解得 2 ? a ? 3 ,即 a 的取值范围是 (2,3] 。 ?a ? 3 ?
36 【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学 (理) 】 若 f (x)=

1 , log 1 (2x+1)
2

则 f (x) 的定义域为 【答案】 ( ?

.

1 , 0) 2

1 ? 2x ?1 ? 0 ? 1 ?x ? ? ? 【解析】要使函数有意义,则有 ?log (2 x ? 1) ? 0 ,即 ? 2 ,所以解得 ? ? x ? 0 , 1 2 ? ? ? 2 ?2 x ?1 ?1
即不等式的定义域为 ( ?

1 , 0) . 2

37 【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】已知函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0
x ?e , x ? 0

,则

f ( f (0) ? 3) ?
【答案】 ? 1



0 【解析】 f (0) ? e ? 1 ,所以 f (0) ? 3 ? 1 ? 3 ? ?2 , f ( f (0) ? 3) ? f (?2) ? ?2 ? 1 ? ?1 .

38【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】若 (a ? 1) 值范围是 【答案】 。

?

1 2

? (3 ? 2a) ,则实数 a 的取

?

1 2

2 3 ?a? 3 2

?a ? 1 ? 0 1 1 ? ? 【解析】原不等式等价为 ,即 a ? 1 ? 3 ? 2a ,所以 ?3 ? 2 a ? 0 , a ?1 3 ? 2a ?a ? 1 ? 3 ? 2a ?

? ?a ? ?1 ? 3 2 3 ? 即 ?a ? ,解得 ? a ? . 3 2 2 ? 2 ? a? ? 3 ?
39【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)】已知 f ( x +1)=x - 1, 则 f (x)= ( x? ).

【答案】 f ( x) ? x2 ? 2x , x ? [1, ??) 【解析】令 t ?

x ? 1 , 则 t ? 1 , x ? (t ? 1)2 , 所 以 f (t ) ? (t ?1)2 ?1 ? t 2 ? 2t , 所 以

f ( x) ? x2 ? 2 x, x ? [1, ??) .
40 【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学 (理) 】 函数 f (x)=log 1 (x2 -2x-3)
2

的单调递减区间为 【答案】 (3, ??)

.

【解析】令 t ? x ? 2 x ? 3 ,则 y ? log1 t 在定义域上为减函数 . 由 t ? x ? 2 x ? 3 ? 0 得,
2 2

2

x ? 3 或 x ? ?1 ,当 x ? 3 时,函数 t ? x 2 ? 2 x ? 3 递增,根据复合函数的单调性可知,此时
函数 y ? f ( x) 单调递减,所以函数的递减区间为 (3, ??) . 41 【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学 (理) 】 已知函数 y = x 2 +ax -1+2 a 的值域为[0,+?) ,则 a 的取值范围是 【答案】 a ? 4 ? 2 3 或 a ? 4 ? 2 3
2 【 解 析 】 令 t ? g( x) ? x ? ax?1 ?2 a , 要 使 函 数 y ? t 的 值 域 为 [ 0,?? ), 则 说 明

.

,即 a ? 1) ? 0 [0,?? ) ? { y y ? g (x )} , 即 二 次 函 数 的 判 别 式 ? ? 0 , 即 a2 ? 4 ( 2

a2 ? 8a ? 4? 0,解得 a ? 4 ? 2 3 或 a ? 4 ? 2 3 ,所以 a 的取值范围是 a ? 4 ? 2 3 或

a ? 4?2 3 .
42 【天津 市新华 中学 2013 届 高三上 学期 第一次月 考数学 (理) 】 已知 ?x ? R ,

f (1+x)= f (1-x) ,当 x ? 1 时, f (x)=ln( x+1) ,则当 x <1 时, f (x)=
【答案】 ln (3-x)

.

【解析】由 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,可知函数关于 x ? 1 对称,当 x ? 1 时, 2 ? x ? 1 ,所以

f ( x) ? f (2 ? x) ? ln[(2 ? x) ? 1] ? ln(3 ? x) .
43 【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学 (理) 】 定义: 如果函数 y ? f ( x) 在定义域内给定区间 [a,b] 上存在 x0 (a ? x0 ? b) , 满足 f ( x 0 ) ?

f (b) ? f (a ) , 则称函数 b?a

y ? f ( x) 是 [a,b] 上的“平均值函数”, x0 是它的一个均值点,如 y ? x 4 是 [?1, 1] 上的平
均值函数,0 就是它的均值点.现有函数 f ( x) ? ? x 2 ? mx ? 1 是 [?1, 1] 上的平均值函数,则 实数 m 的取值范围是 【答案】 (0, 2) 【解析】 因为函数 f ( x) ? ? x 2 ? mx ? 1 是 [?1, 1] 上的平均值函数, 所以 .

f (1) ? f (?1) ? m, 1 ? (?1)

即关于 x 的方程 ? x ? mx ? 1 ? m ,在 (?1,1) 内有实数根,即 mx ? mx ? m ? 1 ? 0 ,若
2 2

m ? 0 , 方 程 无 解 , 所 以 m ? 0 , 解 得 方 程 的 根 为 x1 ? 1 或 x2 ? m ?1 . 所 以 必 有

?1 ? m ? 1 ? 1 ,即 0 ? m ? 2 ,所以实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 2 ,即 (0, 2) .
44 【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】 已知 a>0, 且 a ? 1, 若函数 f (x)=alg (x 有最大值,则不筹式 loga (x2 -5x+7)>0 的解集为 【答案】 (2,3) 【解析】所以 x2 ? 2x ? 3 ? ( x ?1)2 ? 2 ? 2 有最小值 2, lg( x2 ? 2 x ? 3) ? lg 2 ,要使函数 ;
2

-2 x +3)

f ( x) 有 最 大 值 , 则 指 数 函 数 单 调 递 减 , 则 有 0 ? a ? 1 , 由 2 log + 7 ) >得 0 a ( x- 5 x
0 ? x ? 5x+7 ? 1
2

?0 ? x ? 5 x +7 ,解得 2 ? x ? 3 ,即不等式的解集为。 ,即 ?
2

? 2 ? ? x ? 5 x +7 ? 1

2011-2012 年联考

【2012 浙江宁波市期末文】 函数 【答案】 [2, ??)

y ? log 2 ( x ? 1)

的定义域为

.

?log 2 ( x ? 1) ? 0 ? x ?1 ? 0 【解析】由题可得 ? ,解得 x ? 2 。
2 ) 【2012 安徽省合肥市质检文】 若函数 f ( x ) 为奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? x ? x , 则 f (?
2

的值为 【答案】 ?6



【解析】 f (?2) ? ? f (2) ? ?6 。 【2012 吉林市期末质检文】下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是( )

y ? log 1 x
A.
2

B.

y?

1 x

C. y ? sin x

2 D. y ? x ? x

【答案】C 【解析】因 A、B 递减,C 在(0,1)递增,D 在(0,1)上先递减后递增,选 C。 【 2012 吉林市期末质检文】设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x ? R 都有

f ( x ) ? f ( x ? 4) ,当 x ? ( ?2, 0) 时, f ( x ) ? 2 x ,则 f ( 2012) ? f ( 2011) 的值为(



A.

?

1 2

1 B. 2

C. 2

D. ? 2

【答案】A 【解析】由题可知函数的周期为 4,故 f ( 2012) ? f ( 2011)
2

f (0) ? f ( ?1) ? 0 ? 2 ?1 ? ?

1 2。

【2012 江西南昌市调研文】函数 A.[1,+∞) B.(0,1] 【答案】C
2

f ( x) ? log 2

的值域为 ( C.(-∞,1] D.(-∞,1)

x2 ?1

)

2 2 ?2 x2 ?1 log 2 ? log 2 2 ,即 f ( x) ? (??,1] ,选 C。 【解析】因 x ? 1 ,所以

【2012 广东佛山市质检文】 下列函数中既是奇函数, 又在区间 A.

? ?1,1? 上是增函数的为 (
D. y ? ? x
3



y? x

B. y ? sin x

C. y ? e ? e
x

?x

【答案】B

【解析】由题中选项可知, 递减,故选 B。

3 y ? x y ? e x ? e? x , 为偶函数,排除 A、C;而 y ? ? x 在 R 上

【2012 广东佛山市质检文】对任意实数 a, b ,函数

F ( a, b) ?

1 ? a ? b? | a ? b |? 2 ,如果函数

f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 3, g ( x) ? x ? 1 , 那 么 函 数 G ( x) ? F ? f ( x), g ( x) ? 的 最 大 值 等
于 【答案】 3 .

F ( a, b) ?
【解析】由题可知

?b, a ? b 1 ? a ? b ? | a ? b | ? ? ? a, a ? b ? 2 ,则在同以坐标系中画出

f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 3, g ( x) ? x ? 1 ,数形结合可知 x ? 2 时, G( x)max ? 3 。
f ?x ? ?
【2012 河南郑州市质检文】函数 A. ?0,??? 【答案】D B. ?1,??? C. ?0,1?

2x ? 1 log2 x 定义域为(
D. ?0,1? ? ?1,???



?x ? 0 ? x ? 1 ,解不等式得 x ?? 0,1? ? ?1, ??? 。 【解析】由题 ? ? x? y ? f ?x ? ? f ? y ? ? f ? ? 1 ? xy ? ? ? ? ? 1 , 1 ? ? ;当 【 2012 河 南 郑 州 市 质 检 文 】 定 义 在 上的函数
?1? P ? f ? ?? x ? ? ?1, 0?时f ? x? ? 0. ?5? 若
关系为( ) B. R ? P ? Q C. P ? R ? Q D. Q ? P ? R A. R ? Q ? P 【答案】B 【解析】令 x ? y ? 0 ,则可得 f (0) ? 0 ,令 x ? 0 ,则 ? f ( y) ? f (? y) ,即 f ( x ) 为奇函

?1? ?1? f ? ? , Q ? f ? ? , R ? f ? 0? ? 11 ? ?2? ;则 P, Q, R 的大小

? x? y ? x? y f ? x? ? f ? y? ? f ? ?0 ??0 1 ? xy 1 ? x ? y ? 0 1 ? xy ? ? 数 , 令 , 则 , 所 以 , 即

x ? ? 0 , ?1 时 f? ?x

递减,

? 1 1 ? ? 5 ? 11 ? 2 ?1? ?1? ?1? ? 1? P ? f ? ?? f ? ? ? f ? ?? f ?? ? ? f ? ? f( ) ? 2 1 7 ?5? ? 11 ? ?5? ? 11 ? ? 1? 1 ? 1 ? ? ? 5 11 ? 又 ,因 7 2 ,所以
2 1 f( )? f( ) 7 2 ,即 0 ? P ? Q ,故选 B。
【2012 北京海淀区期末文】已知函数 (A) f ( x ) 是偶函数,递增区间是

f ( x) ? x x ? 2x

,则下列结论正确的是(



(0, + ? )

(B) f ( x ) 是偶函数,递减区间是 (- ? ,1)

(- 1,1) (C) f ( x ) 是奇函数,递减区间是
【答案】C 【解析】因

(- ? ,0) (D) f ( x ) 是奇函数,递增区间是
,所以

f (? x) ? ? x ? x ? 2(? x) ? ?( x | x | ?2x) ? ? f ( x)

f ( x) ? x x ? 2x

是奇函数,

排除 A、 B; 又x?0时

f ( x) ? x x ? 2x ? x2 ? 2x ? ( x ? 1)2 ? 1

, 1 ) , 在 (0

上递减,(1, ??) 递增, ( )

由奇函数性质可得,C 对。 【2012 广东韶关市调研文】下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ? A. y ? tan x B. y ? 3
x

C. y ? x

1 3

D.

y ? lg x

【答案】C 【解析】由题可知 A 不是单调函数,B 不是奇函数,D 是偶函数,只有 C 满足。

【 2012 年 西 安 市 高 三 年 级 第 一 次 质 检 文 】 已 知 函 数 =._______ 【答案】-8 【解析】本题主要考查分段函数求值问题. 属于基础知识、基本运算的考查.



f (?1) ? (?1 ?1)3 ? ?8
?1 x ? 0 ? f ( x) ? ?0 x ? 0 , g ( x) ? x 2 f ( x ? 1)( x ? R ) ??1 x ? 0 ?

【2012 黄冈市高三上学期期末考试文】 函数 则函数 g ( x) 的零点个数有 个。



【答案】 2 【解析】本题主要考查. 属于基础知识、基本运算的考查.



? x 2   x ? 1 ? g ( x) ? ?0  x ? 1 ?? x 2   x ? 1 ?

分别作出 f ( x ) 、 g ( x) 的图像,知交点数即零点数为 2

【2012 武昌区高三年级元月调研文】函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,给出以下说法: ①函数 y ? f ( x) 的定义域是[一 l,5]; ②函数 y ? f ( x) 的值域是(一∞,0]∪[2,4]; ③函数 y ? f ( x) 在定义域内是增函数;

? ④函数 y ? f ( x) 在定义域内的导数 f ( x) ? 0.
其中正确的是 ( ) A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 【答案】A 【解析】本题主要考查函数的图像与性质. 属于基础知识的考查.

y ? f ( x) 的定义域中含有 x ? 3 ,①②正确;函数 y ? f ( x) 在定义域内不是增函数,因而
③④错误。 【2012 武昌区高三年级元月调研文】若

x ? log4 3, 则(2x ? 2? x )2 ? (



9 A. 4

5 B. 4

10 4 C. 3 D . 3

【答案】D 【解析】本题主要考查对数的基本运算以及指数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查.



x ? log4 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 ,
x x

2? x ?

3 2 3 2 4 (2 x ? 2? x )2 ? ( ) ? 3 ,所以 3 3

【2012 ? 厦门期末质检理 10】已知函数 f(x)= 正确的是 A.f(x)在(-1,0)上恰有一个零点 C.f(x)在(-1,0)上恰有两个零点 【答案】A 【 解 析 】 因 为

1? x ?

x 2 x3 x 4 x 2011 ? ? ??? 2 3 4 2011 则下列结论

B. f(x)在(0,1)上恰有一个零点 D. f(x)在(0,1)上恰有两个零点

f ' ( x) ? 1 ? x ? x2 ? x3 ? ... ? x2010 ? 0, x ? (?1,0) 函 数

f(x) =

1? x ?

x 2 x3 x 4 x 2011 ? ? ??? 2 3 4 2011 在 (?1, 0) 单调增, f (0) ? 1 ? 0, f (?1) ? 0 ,选 A;
x2

【2012 ? 厦门期末质检理 13】定义区间[x1,x2]( x1<x2)的长度为 x1-x2。已知函数 y= 的定义域为[a,b],值域为[0,8],则区间[a,b]长度的最大值等于 【答案】 4 2 【解析】当 a ? ?2 2,0 ? b ? 2 2 ,区间[a,b]长度的最大值为 4 2 ; 。

f ( x) ?
【2012 粤西北九校联考理 1】若 A. (?1, 0) 【答案】C B. (?1, ??)

1 log 2 ( x ? 1) ,则 f ( x) 的定义域为(
D. (??, ?1)

)

C. (?1, 0) ? (0, ??)

f ( x) ?
【 解 析 】 因

1 log 2 ( x ? 1) , x ? 1 ? 0, x ? ?1, 且 x ? 1 ? 1, x ? 0 , 所 以
)

?) x ? (? 1 , 0

? ( 0 ?,

【2012 粤西北九校联考理 2】奇函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的解析式是

f ( x) ? x(1 ? x) ,则在

(??,0) 上 f ( x) 的函数解析式是(
A. C.

) B. D.

f ( x) ? ? x(1 ? x) f ( x) ? ? x(1 ? x)

f ( x) ? x(1 ? x) f ( x) ? x( x ? 1) f ( x) ? x(1 ? x)

【答案】B 【 解 析 】 因 为 奇 函 数 f ( x ) 在 (0, ??) 上 的 解 析 式 是 ,取

x ? 0,? x ? 0, f ( x) ? ? f (? x) ? x(1 ? x),
【2012 宁德质检理 10】若函数 f ( x ) 在给定区间 M 上,存在正数 t,使得对于任意 x ? M ,

有 x ? t ? M ,且 f ( x ? t ) ? f ( x) ,则称 f ( x ) 为 M 上的 t 级类增函数,则以下命题正确的 是 ( )

f ( x) ?
A.函数 B.函数

4 ? x是(1, ??) x 上的 1 级类增函数

f ( x) ?| log2 ( x ?1) | 是(1, ??) 上的 1 级类增函数

?? ? ? f ( x) ? sin ? ax为 ? , ?? ? 2 ? ? 上的 3 级类增函数,则实数 a 的最小值为 2 C.若函数
D.若函数 【答案】D 【解 析】若

f ( x) ? x2 ? 3x为?1, ???

上的 t 级类增函数,则实数 t 的取值范围为

?1, ???

f ( x) ? x2 ? 3x为?1, ???

上 的 t 级类增函 数,则 f ( x ? t ) ? f ( x) 恒 成立,

? ??36?3t 2 ?0 ? t 2 3x2 ? 3tx ? t 2 ? 3 ? 0 恒 成 立 , ? ? 9t 2 ? 12t 2 ? 36 ? 0 或 ? ? 2 ?1 且 t ? 3t ? 0 , 解 得
t ? 1, 所以 D 正确。
【 2012 广东韶关第一次调研理 8】设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在非零实数 m 满足

?x ? M (M ? D) ,均有 x ? m ? D ,且 f (x ?m ) ? f (x ) ,则称 f ( x) 为 M 上的 m 高调函

f ( x) ? x ? a ? a 数.如果定义域为 R 的函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, ,且 f ( x) 为
2 2

R 上的 4 高调函数,那么实数 a 的取值范围是(
A. [ ?1,1] 【答案】A B. ( ?1,1) C. [ ?2,2]

) D . ( ? 2, 2 )

f ( x) ?
【解析】

?

x ? a 2 ? a 2 ( x ? 0) a 2 ? x ? a 2 ( x ? 0)
2 , 因 为 f ( x ? 4)? f ( x )恒 成 立 , 由 图 像 得 a ? 1 , 所 以

?1 ? a ? 1 ;
【 2012 深圳中学期末理 5 】值域为 {2,5,10} ,其对应关系为 ( ) B. D.
2

y ? x2 ? 1 的函数的个数

A. 1 C. 39 【答案】B

27 8

【解析】 解: 分别由 x

? 1 ? 2, x2 ? 1 ? 5, x2 ? 1 ? 10 解得 x ? ?1, x ? ?2, x ? ?3 由函数

的定义,定义域中元素的选取分四种情况: ○ 1 取三个元素:有 C2 ? C2 ? C2 ? 8 C21 种
1 1 1

○ 2 取四个元素:先从 ?1, ?2, ?3 三组中选取一组 故共有
1 1 1 C3 ? C2 ? C2 ? 12种; 5 C6 =6 种;

1 1 1 C3 再从剩下的两组中选两个元素 C 2 ? C 2 ,

○ 3 取五个元素:

○ 4 取六个元素:1 种。 由分类计数原理,共有 8+12+6+1=27 种。 【 2012 深 圳 中 学 期 末 理 6 】 设 函 数 f ( x) ? x ? 1, x ? [n, n ? 1), n ? N , 则 满 足 方 程

f (x) ? log2 x 根的个数是( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无数个 【答案】C 【解析】方法一:详细画出 f(x)和 g(x)在同一坐标系中函数图象,由图 5 中不难看出 有三个交点,故选 C

方法二:①当 n ? 0 时, f (x) ? ?1, x ? [0,1) ,则

log 2 x ? ?1 ? x ?

1 ? [0,1) 2

②当 n ? 1 时, f ( x ) ? 0, x ? [1,2) ,则 log2 x ? 0 ? x ? 1? [1,2) ③当 n ? 2 时, f ( x) ? 1, x ? [2,3) ,则 log2 x ? 1 ? x ? 2 ?[2,3) ④当 n ? 3 时, f ( x ) ? 2, x ? [3,4) ,则 log2 x ? 2 ? x ? 4 ?[3,4) ⑤当 n ? 4 时, f ( x ) ? 3, x ? [4,5) ,则 log2 x ? 3 ? x ? 8 ?[4,5) 由此下区 x 的解成指数增长,而区间成正比增长,故以后没有根了!所以应选 C。

ab , } 【 2012 ? 海 南 嘉 积 中 学 期 末 理 12 】 规 定 min{ 表 示 a, b 两 个 数 中 的 最 小 的 数 ,

ì ? a a? b 1 min{a, b} = ? í x= ? f ( x ) = min{ x , x + t } b b < a 2 对称,则 ? ? , 若函数 的图像关于直线

t 的值是(
A、-1 【答案】B

) B、1 C、-2 D、2

【解析】

f ( x) = min{ x , x + t }

x= 的图像关于直线

1 2 对称, f ( x) ? min ? x , x ? 1 ? ,

t ?1

2010 年联考
题组二
一、填空题

y ? lg
1. (安徽两地三校国庆联考)为了得到函数 像上所有点 ( )

x?3 10 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 答案 C
3 2.(昆明一中四次月考理)下列四个函数① y ? x ? 1 ;② y ? sin 3x ;③ y ? x ?

2 ;④ x

e x ? e? x y? 中,奇函数的个数是( 2
(A)1 答案:C (B)2

) (C)3 (D)4

3.(昆明一中二次月考理)已知 ( )

,则“

”是 “

”的

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 答案:A

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

?a ? log 2 x(当x ? 2时) ? 4.(玉溪一中期中理)已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4 在点x ? 2处 连续,则常数 ( 当 x ? 2 时) ? ? x?2

a 的值是(
A.2 答案:B

) B.3 C.4 D.5

5.(玉溪一中期中理)函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1

(a ? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点 A ,
1 2 ? 的最小值为( m n D.16
)

若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 m,n 均大于 0,则

A.2
答案:C

B.4

C.8

6.(祥云一中月考理) 函数 f ( x) ? a x?1 的反函数的图象经过点 ( 4,2) ,则 f ( A. ? 答案:B )

?1

(2) 的值是

1 2

B.

3 2

C .2

D.4

?2 x 2 ? 8ax ? 3?x ? 1? 7. (祥云一中三次月考理) 函数 f ?x ? ? ? 在 x ? R 内单调递减, 则a的 ?loga x?x ? 1?
范围是 A. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

B. [ ,1)

1 2

C. ? , ? 2 8

?1 5? ? ?

D. ? ,1?

?5 ? ?8 ?

答案:C

二、填空题 1. (安徽两地三校国庆联考)函数

y ? loga ?x ? 3? ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点

1 2 ? A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则 m n 的最小值为
答案 8

.

2. (肥城市第二次联考)某同学在借助计算器求“方程 lgx=2-x 的近似解(精确到 0.1) ”

时,设 f(x)=lgx+x-2,算得 f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用“二分法”又取了 4 个 x 的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是 x≈1.8.那么他再取的 x 的 4 个值分别依次是 .

答案 1.5,1.75,1.875,1.8125;

?1? 3. ( 祥 云 一 中 二 次 月 考 理 ) 函 数 y ? ? ? ?2? ___________. ___
答案: ?

x 2 ?6 x ?17

在 x ? ?? 3,1? 上 的 值 域 为

? 1 1 ? , 12 44 ?2 2 ? ?
?1

4. ( 祥 云 一 中 二 次 月 考 理 ) 已 知 函 数 f ( x) ? l o g 8 x ,它的反函数为 f

( x) , 则

2 f ?1 ( ) ? _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ ._ 3
答案:4

三、解答题
1.(本小题满分 14 分)
2 x 已知 a ?R,函数 f ? x ? ? ? x ? ax e ( x ? R, e 为自然对数的底数).

?

?

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调递增,求 a 的取值范围; (Ⅲ)函数 f ? x ? 是否为 R 上的单调函数,若是,求出 a 的取值范围;若不是,请说明理由.
2 x 解: (Ⅰ) 当 a ? 2 时, f ? x ? ? ? x ? 2 x e ,

?

?

? f ?( x) ? ? ?2 x ? 2 ? e x ? ? ? x 2 ? 2 x ? e x ? ? ? x 2 ? 2 ? e x . …1 分
2 x 令 f ?( x) ? 0 ,即 ? x ? 2 e ? 0 , ?ex ? 0,?? x2 ? 2 ? 0 . 解得 ? 2 ? x ?

?

?

2.

? 函数 f ( x) 的单调递增区间是 ? 2, 2 .

?

?

…… 4 分

(Ⅱ)? 函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调递增, ? f ?( x) ≥0 对 x ? ? ?1,1? 都成立,
2 x ? f ?( x) ? ? ?2 x ? a ? e x ? ? ? x 2 ? ax ? e x ? ? ?? x ? ? a ? 2 ? x ? a ? ?e , 2 x ?? ?? x ? ? a ? 2? x ? a ? ? e ≥ 0 对 x ? ? ?1,1? 都成立.

…… 5 分

?ex ? 0,??x2 ? ? a ? 2? x ? a ≥0 对 x ? ? ?1,1? 都成立,
2

…… 6 分

x 2 ? 2 x ? x ? 1? ? 1 1 即 a≥ 对 x ? ? ?1,1? 都成立. ? ? ? x ? 1? ? x ?1 x ?1 x ?1
令 y ? ? x ? 1? ? 增.

1 1 1 , 则 y? ? 1 ? 在 ? ?1,1? 上单调递 ? 0 . ? y ? ? x ? 1? ? 2 x ?1 x ?1 ? x ? 1?

? y ? ?1 ? 1? ?

1 3 ? . 1?1 2

3 ?a≥ . 2

…… 9 分

(Ⅲ) 若函数 f ? x ? 在 R 上单调递减,则 f ?( x) ≤ 0 对 x ?R 都成立,
2 x 即? ?? x ? ? a ? 2? x ? a ? ? e ≤ 0 对 x ?R 都成立,

? e x ? 0,
2

? x2 ? ? a ? 2? x ? a ≥0 对 x ?R 都成立.

?? ? ? a ? 2 ? ? 4a ≤ 0 ,即 a 2 ? 4 ≤ 0 ,这是不可能的.
故函数 f ? x ? 不可能在 R 上单调递减. 若函数 f ? x ? 在 R 上单调递增,则 f ?( x) ≥ 0 对 x ?R 都成立,
2 x 即? ?? x ? ? a ? 2? x ? a ? ? e ≥ 0 对 x ?R 都成立,

…… 11 分

? e x ? 0,
2

? x2 ? ? a ? 2? x ? a ≤0 对 x ?R 都成立.

2 而 ? ? ? a ? 2 ? ? 4a ? a ? 4 ? 0 ,

故函数 f ? x ? 不可能在 R 上单调递增. 综上可知函数 f ? x ? 不可能是 R 上的单调函数.

…… 13 分 …… 14 分

题组一(1 月份更新)

一、选择题 1.(2009 玉溪市民族中学第四次月考)已知函数 f ( x) ? 2 ? log0.5 x( x ? 1) ,则 f ( x) 的反 函数是 ----------( )

A. f C. f 答案 A

?1

( x) ? 2 2? x ( x ? 2) ( x) ? 2 x?2 ( x ? 2)

B. f D. f

?1

( x) ? 2 2? x ( x ? 2) ( x) ? 2 x?2 ( x ? 2)

?1

?1

2.(2009 聊城一模)已知函数 f ( x) ? 4 ? x 2 , g ( x)是定义在 (??,0) ? (0,??) 上的奇函数, 当 x>0 时, g ( x) ? log2 x, 则函数y ? f ( x) ? g ( x) 的大致图象为 ( )

答案 B 3.(2009 番禺一模)已知函数 f ( x) ? ? A. ?1 答案 C 4.(2009 临沂一模)已知函数 f(x)= ( ) ? log 3 x ,若 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,
x

?log 2 x, x ? 0, ?2 ,
x

x ? 0.

若 f (a) ?

1 ,则 a ? ( 2



B. 2

C. ?1 或 2

D.1 或 ? 2

1 5

则 f(x1)的值为 A.恒为正值 答案 A 5.(2009玉溪一中期末)若函数f(x)=x (x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是 A.单调递减的偶函数 C.单凋递增的偶函数 答案 B 6. (2009 临沂一模) 设 f(x)是连续的偶函数, 且当 x >0 时是单调函数, 则满足 f(2x)=f( 的所有 x 之和为 B.单调递减的奇函数 D.单涮递增的奇函数
3

B.等于 0

C.恒为负值

D.不大于 0

x ?1 ) x?4

A、 ? 答案 C

9 2

B、 ?

7 2

C、-8

D、8

7.(2009 云南师大附中)若函数 y ? e

2x?2

与函数y ? f ? x ?的图象关于直线y ? x对称,则f ? x ? ?

A.

ln

?

x ?1

?

B.

ln x ? 1

C.

ln

?

x ?1

?

D.

ln x ? 1

答案 B

? ?) 上 为 增 函 数 , 且 f (1) ? 0, 则 不 等 式 8. ( 2009 青 岛 一 模 ) 设奇 函 数 f ( x ) 在 (0,
f ( x) ? f (? x ) ? 0 的解集为 x

, 0) ? (1, ? ?) B. (??, ? 1) ? (0, 1) C. (??, ? 1) ? (1, ? ?) A. (?1
答案 D 9.(2009 日照一模)(6)函数 f ( x) ? ln A.(1,2) 答案 A B.(2,3)

, 0) ? (0, 1) D. (?1

3? 2 ? 的零点一定位于区间 2 x
D.(4,5)

C.(3,4)

10.(2009 日照一模)(函数 y ? f ( x) 的图象如右图所示,则函数 y ? log 1 f ( x)
2

的图象大致是

答案 C 11.(2009 泰安一模)已知函数 y=f(x)与 y ? e 互为反函数,函数 y=g(x)的图像与 y=f(x)图
x

像关于 x 轴对称,若 g(a)=1,则实数 a 值为 (A)-e 答案 C 12.(2009 江门一模)函数 y ? (B) ?

1 e

(C)

1 e

(D) e

1 3x ? 2

? lg( 2 x ? 1) 的定义域是

A. ? , ? ? ? 答案 C

?2 ?3

? ?

B. ?

?1 ? , ? ?? ?2 ?

C. ?

?2 ? , ? ?? ?3 ?

D. ?

?1 2? , ? ?2 3?

13.(2009 枣庄一模)已知 f ( x) ? ? ( )

? x ? 1, x ? [?1,0) , 则关于右图中函数图象的表述正确的是 2 ? x ? 1, x ? [0,1]

A.是 f ( x ? 1) 的图象 B.是 f (? x) 的图象 C.是 f (| x |)或 | f ( x) | 的图象 D.以上说法都不对 答案 D

?? 2 x ? 1 ? 14. ( 2009 枣庄一模)设函数 f ( x) ? ?? 3 ?2 x ? 1 ?
( A.3 答案 C ) B.4 C .7

5 (?1 ? x ? 2), 则f ( f ( f ( ) ? 5)) ? 2 ( x ? 2)

( x ? 1)

D.9

y
15.(2009 深圳一模)若函数 f ( x) ? loga ( x ? b) 的图象如右图,其中 a , b 为 常数.则函数 g ( x) ? a ? b 的大致图象是
x

1 ?1 o 1 ?1

x

y

y

y

y

1 ?1 o 1 ?1

x

?1

1

o ?1

1

?1

1

x

?1

o

1

x

?1 ?1

o

1 1

x

A. 答案 D

B.

C.

D.

二、填空题 1.(2009 青岛一模)定义:区间 ? x1 , x2 ? ? x1 ? x2 ? 的长度为 x2 ? x1 .已知函数 y ? 2 的定义
| x|

域为 ? a, b? ,值域为 ?1, 2? ,则区间 ? a, b? 的长度的最大值与最小值的差为_________. 答案 1 2.(2009 冠龙高级中学 3 月月考)已知函数 f ( x) ? x2 ? x ,若 f log3 ? m ? 1? ? f (2) , 则实数 m 的取值范围是 答案 (? ,8) 3.(2009 闵行三中模拟)若函数 y ? f ( x) 的值域是 [ , 3] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? 值域是 答案 [2, 。

?

?

8 9

1 2

1 的 f ( x)

10 ] 3
?1

4.(2009 上海普陀区)已知函数 f ( x) ? 1 ? loga x  (a ? 0且a ? 1) , f 数,若 y ? f 答案 2 5.(2009 上海十校联考)已知函数 f ? x ? ?
?1

( x) 是 f ( x) 的反函

( x) 的图像过点 (3, 4) ,则 a ?

.

mx 2 ? ? m ? 3? x ? 1 的值域是 [0, ??) ,则实数

m 的取值范围是________________.
答案

?0,1? ? ?9, ???

?1 6.(2009 上海卢湾区 4 月模考)(2009 上海卢湾区 4 月模考)设 f ( x ) 的反函数为 f ( x) , ?1 若函数 f ( x ) 的图像过点 (1, 2) ,且 f (2x ? 1) ? 1 , 则 x ?



答案

1 2
x

7.(2009 宣威六中第一次月考)已知函数 f ( x) ? e ? ln( x ? 1) ?1( x ? 0) ,则函数 f(x)的最 小值是 答案 0 三、解答题 1、(2009 聊城一模)已知函数 f ( x) ? x ?
3

3 2 ax ? b(a, b为实数 , 且a ? 1) 在区间[-1, 2

1]上最大值为 1,最小值为-2。 (1)求 f ( x) 的解析式;

(2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m x在区间[-2,2]上为减函数,求实数 m 的取值范围。 解:(1) f ' ( x) ? 3x 2 ? 3ax,

令f ' ( x) ? 0, 得x ? 0, x ? a, 1 2 ? a ? 1, ? f ( x)在?? 1,0? 上为增函数, 在?0,1? 上为减函数. ? f (0) ? b ? 1, 3 3 ? f (?1) ? ? a, f (1) ? 2 ? a,? f (?1) ? f (1), 2 2 3 4 ? f ( ?1) ? ? a ? ?2, a ? . 2 3 ? f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 1.
(2) g ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? mx ? 1,

g ' ( x) ? 3x 2 ? 4 x ? m.
由 g ( x)在?? 2,2?上为减函数, 知 g ' ( x) ? 0在x ? ?? 2,2?上恒成立 .

? g ' (?2) ? 0 ?20 ? m ? 0 , 即? ?? ? g ' (2) ? 0 ?4 ? m ? 0
? 实数m的取值范围是 m ? 20.

? m ? 20.

2、(2009 昆明市期末)已知函数 f ( x) ? e ? ln( x ? m) ? 1 ,若 x=0,函数 f(x)取得极值
x

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)已知 0 ? b ? a, 证明: e 解:(Ⅰ) f ' ( x) ? e ?
x a ?b

? 1>ln

a ?1 . b ?1

1 , x?m 1 ? 0. 0?m

由 故 故 当

0 x=0 是极值点,故 f ' (0) ? 0 ,得 e ?

m=1.

f ( x) ? e x ? ln( x ? 1) ? 1( x> ? 1)
-1<x<0 时, f ' ( x) ? e ?
x

1 <0, 函数在(-1,0)内是减函数; x ?1



x>0 时, f ' ( x) ? e x ?

1 >0, 函数 f(x)在(0,+∞)内是增函数。 x ?1

所以 x=0 时, f(0)=0, 则函数 f(x)取得最小值为 0.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x)≥0,故 e -1≥ln(x+1)。 ∵ a>b ? 0 ? a ? b> ? 1且a ? b ? 0故e a?b ? 1 · · · · · · · · · · · · · 8 >ln(a ? b ? 1) ①· 分 又
x

(a ? b ? 1) ?

a ? 1 (a ? b ? 1)( b ? 1) ? (a ? 1) ? b ?1 b ?1
=

ab ? b 2 b(a ? b) ? ? 0, b ?1 b ?1

故 分 故

(a ? b ? 1) ?

a ?1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 b ?1 a ?1 . ② b ?1 a ?1 ? 1>ln · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 b ?1
2 2

ln( a ? b ? 1) ? ln e a ?b

由①②得 分

3、(2009 临沂一模)设函数 f(x)=x -mlnx,h(x)=x -x+a. (I) (II) 当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; 当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围; (III) 是否存在实数 m,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性? 若存在,求出 m 的值,若不存在,说明理由。 解:(1)由 a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 即 m ? 记? ?

x ln x

x ,则 f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于 m ? ? ( x)min . ln x ln x ? 1 求得 ? '( x) ? ln 2 x
当 x ? (1, e) 时; ? '( x) ? 0 ;当 x ? (e, ??) 时, ? '( x) ? 0 故 ? ( x) 在 x=e 处取得极小值,也是最小值, 即 ? ( x)min ? ? (e) ? e ,故 m ? e .

(2)函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3] 上恰有两个不同的零点等价于方程 x-2lnx=a,在[1,3] 上恰有两个相异实根。 令 g(x)=x-2lnx,则 g '( x ) ? 1 ?

2 x

当 x ? [1, 2) 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, g '( x) ? 0 g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在 (2,3] 上是单调递增函数。 故 g ( x)min ? g (2) ? 2 ? 2ln 2 又 g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需 g(2)<a≤g(3), 故 a 的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) (3)存在 m=

1 ,使得函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性 2

f '( x) min ? 2 x ?

m 2x2 ? m ? ,函数 f(x)的定义域为(0,+∞)。 x x

若 m ? 0 ,则 f ( x) ' ? 0 ,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意; 若 m ? 0 ,由 f ( x) ' ? 0 可得 2x -m>0,解得 x>
2

m m 或 x<(舍去) 2 2

故 m ? 0 时,函数的单调递增区间为(

m ,+∞) 2

单调递减区间为(0,

1 m )而 h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0, ),单调递增区间是 2 2

(

1 ,+∞) 2
1 1 m 1 = ,解之得 m= 即当 m= 时,函数 f(x)和函数 h(x)在其公共定义域上具有 2 2 2 2

故只需

相同的单调性。 4、 (2009 东莞一模) 已知 f ( x) ? x2 ? ax ? a (a ? 2, x ? R) ,g ( x) ? e? x ,?( x) ? f ( x) ? g ( x) . (1)当 a ? 1 时,求 ? ( x ) 的单调区间; (2)求 g ( x) 在点 (0,1) 处的切线与直线 x ? 1 及曲线 g ( x) 所围成的封闭图形的面积; (3)是否存在实数 a ,使 ? ( x ) 的极大值为 3?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理 由.

解:(1)当 a ? 1时, ?( x) ? ( x2 ? x ? 1)e? x ,

? '( x) ? e? x (? x2 ? x) .?(1 分)
??(3 分)

当? '( x) ? 0时,0 ? x ? 1; 当? '( x) ? 0时, x ? 1或x ? 0.

∴ ? ( x ) 的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为: ( ??,0) , (1, ??) . ??(4 分) (2)切线的斜率为 k ? g '(0) ? ?e? x |x ?0 ? ?1 , ∴ 切线方程为 y ? ? x ? 1 .??(6 分) 所求封闭图形面积为
1 1 1 1 1 S ? ? [e? x ? ( ? x ? 1)]dx ? ? (e? x ?x ? 1)dx ? (?e? x ? x2 ? x) |1 ? ? . 0 0 0 2 2 e

??(8 分) (3) ? '( x) ? (2 x ? a)e? x ? e? x ( x2 ? ax ? a) ? e? x [? x2 ? (2 ? a) x] , 令 ? '( x) ? 0, 得x ? 0或x ? 2 ? a . 列表如下: x (-∞,0) - ↘ 0 0 极小 (0, 2-a) + ↗ 2-a 0 极大 (2-a,+ ∞) - ↘ ??(12 分) ??(9 分) ??(10 分)

? '( x ) ? ( x)

由表可知, ?( x)极大 ? ?(2 ? a) ? (4 ? a)ea?2 . 设 ? (a) ? (4 ? a)ea ?2 , ? '(a) ? (3 ? a)ea ?2 ? 0 , ∴ ? (a)在(??,2) 上是增函数,??(13 分) ∴ ? (a) ? ? (2) ? 2 ? 3 ,即 (4 ? a)ea ?2 ? 3 , ∴不存在实数 a,使 ? ( x ) 极大值为 3. 5、 (2009 茂名一模) 已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ? (Ⅰ)讨论 a ? 1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

??(14)

ln x a ? R. , 其中 e 是自然常数, x

1 ; 2

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理 由.

1 x ?1 ? ??1 分 x x ∴当 0 ? x ? 1 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减
(Ⅰ)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ? 当 1 ? x ? e 时, f / ( x ) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增 ?? 3 分 ∴ f ( x ) 的极小值为

f (1) ? 1 ??4 分
( Ⅱ ) ? f ( x ) 的 极 小 值 为 1 , 即 f ( x ) 在 (0, e] 上 的 最 小 值 为 1 , ∴

f ( x) ? 0 ,

f ( x)min ? 1??5 分
令 h( x ) ? g ( x ) ?

1 ln x 1 1 ? ln x ? ? , h ?( x) ? , ??6 分 2 x 2 x

当 0 ? x ? e 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增 ??7 分 ∴ h( x) max ? h(e) ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ?| f ( x) | min e 2 2 2

∴ 在 ( 1 ) 的 条 件 下 ,

1 f ( x) ? g ( x) ? ??9 分 2
(Ⅲ)假设存在实数

a , 使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] ) 有 最 小 值 3 ,

f / ( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? ?9 分 x x
4 (舍去), e

① 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 ,a ? 所以, 此时 f ( x) 无最小值 . ?? 10 分 ②当 0 ?

1 1 ? e 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 a a

1 ( , e] 上单调递增 a 1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. ??11 分 a
③ 当

1 4 ? e 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 ,a ? (舍去), a e

2 所以,此时 f ( x) 无最小值.综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3.
2 6、(2009 昆明一中第三次模拟)已知 f ? x ? ? ln x ? 1 ? ? ax ? 2 ?

?

?

(1) 若函数 f ? x ? 是 R 上的增函数,求 a 的取值范围; (2) 若 a ? 1 ,求 f ? x ? 的单调增区间

解:(Ⅰ) f ? ? x ? ?

2x ?a, x ?1
2

? f ( x) 是 R 上的增函数,故 f ? ? x ? ?
即a ?
2

2x ? a ? 0 在 R 上恒成立, x ?1
2

2x 在 R 上恒成立 x ?1 2x g ? x? ? 2 的最小值为 ?1 ,故知 a 的取值范围是 ? ??, ?1? x ?1

(2) f ? ? x ? ?

2x ax 2 ? 2 x ? a 2 ?a ? ? 由 f ? ? x ? ? 0 ,得 ax ? 2 x ? a ? 0 , 2 2 x ?1 x ?1

①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ? x ? 0 ,即函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增;

a ? 0 时,由判别式 ? ? 4 ? 4a2 ? ?4 ? a ?1?? a ?1? 可知
②当 0 ? a ? 1 时,有 ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ?x? a a

即函数 f ? x ? 在 (

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ) 上单调递增; a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? , a a

③当 ?1 ? a ? 0 时,有 ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ? x ?

即函数 f ? x ? 在 (??,

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ),( , ??) 上单调递增 a a

7、 解: (1) ?an?1 ? an ? 2an?1 ,两边加 an 得: an?1 ? an ? 2(an ? an?1 ) (n ? 2) ,

? {an?1 ? an }

是 以

2

为 公 比 ,

a1 ? a2 ? 4 为 首 项 的 等 比 数 列 .

? an?1 ? an ? 4? 2n?1 ? 2? 2n ??①
由 an?1 ? an ? 2an?1 两边减 2an 得 : an?1 ? 2an ? ?(an ? 2an?1 ) (n ? 2) ? {an?1 ? 2an } 是 以 ?1 为公比, a2 ? 2a1 ? ?2 为首项的等比数列. ①-②得: 3an ? 2[2n ? (?1)n ]

? an?1 ? 2an ? ?2? (?1)n?1 ? 2? (?1)n ??②
2 n [2 ? (?1) n ] ????5 分 3

所以,所求通项为 an ?

?
(2) 当 n 为偶数时,

1 1 3 1 1 3 2n ?1 ? 2n ? ? [ n ?1 ? n ] ? ? n ?1 n an ?1 an 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2 ?2 ? 2n ? 2n ?1 ? 1

3 2n ?1 ? 2n 3 2n ?1 ? 2n 3 1 1 ? ? n ?1 n ? ? n ?1 n ? ( n ?1 ? n )(n ? 2) n ?1 2 2 ?2 ? 2 ? 1 2 2 ?2 2 2 2

1 1? n 1 1 1 3 1 1 1 3 1 ? ? ? ... ? ? (1 ? ? 2 ? ... ? n ) ? ? 2 ? 3 ? 3? n ? 3 a1 a2 an 2 2 2 2 2 1? 1 2 2
当 n 为奇数时,? an ?

2 n 1 [2 ? (?1) n ] ? 0 ,? an?1 ? 0, ? 0 ,又 n ? 1 为偶数 3 an?1

? 由(1)知,

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ... ? ? ? 3 ????????10 分 a1 a2 an a1 a2 an an?1

(3)证明:? f (n ? 1) ? f (n) ? f 2 (n) ? 0

? f (n ? 1) ? f (n),? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ?1) ? ??? ? f (1) ? 2 ? 0


1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? f (n ? 1) f (n) ? f (n) f (n)[ f (n) ? 1] f (n) f (n) ? 1 1 1 1 ? ? ??12 分 f (n) ? 1 f (n) f (n ? 1)
n

?

??
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ?[ ? ]?[ ? ] ? ??? ? [ ? ] f (k ) ? 1 f (1) f (2) f (2) f (3) f (n) f (n ? 1) ????14 分 1 1 1 1 ? ? ? ? . f (1) f (n ? 1) f (1) 2

8、(2009 深圳一模)已知函数 f ( x) ? a ln( 1 ? 2 x) ? x 2 ( a ? 0 , x ? (0, 1] ). (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若不等式 1 ? n ? ? n ln(1 ?
2 2

2 ) 对一切正整数 n 恒成立,求实数 ? 的取值范围. n
??????? 2 分

解:(Ⅰ) f ?( x ) ?

a ? 2x 1 ? ax

? 2ax2 ? 2 x ? a ? , 1 ? ax

? 1 ? 2a 2 ? 1 由 ? 2ax ? 2 x ? a ? 0 ,得 x ? . 2a
2

? a ? 0 ,?

? 1 ? 2a 2 ? 1 ? 1 ? 2a 2 ? 1 ? 0, ? 0. 2a 2a
a 2a 2 ? 1 ? 1 ? 1.

又?

? 1 ? 2a 2 ? 1 ? 2a

? 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0,
2a 2 ? 1 ? 1 , 1) . ???? 6 分 2a
(Ⅱ) 【法一】不等式 令

2a 2 ? 1 ? 1 ) , 递 减 区 间 为 2a

(

1 2 2 1 ? ? ? ln(1 ? ) ,即为 ? ? ln(1 ? ) ? 2 .?????(※) 2 n n n n

1 ? x ,当 n ? N ? 时, x ? (0, 1] . n
???????9 分

则不等式(※)即为 ? ? ln( 1 ? 2x) ? x 2 . 令 g ( x) ? ln( 1 ? 2 x) ? x 2 , x ? (0,1] ,

? 在 f ( x) 的表达式中,当 a ? 2 时, f ( x) ? g ( x) ,
又? a ? 2 时,

? 1 ? 2a 2 ? 1 1 ? , 2a 2

1 1 ? g ( x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , 1) 单调递减. 2 2 1 1 1 g ( x) 在 x ? 时,取得最大,最大值为 g ( ) ? ln 2 ? . ???????12 分 2 2 4 2 1 1 因此,对一切正整数 n ,当 n ? 2 时, ln(1 ? ) ? 2 取得最大值 ln 2 ? . n n 4 1 ?????????? 14 分 ? 实数 ? 的取值范围是 ? ? ln 2 ? . 4 1 2 2 1 【法二】不等式 2 ? ? ? ln(1 ? ) ,即为 ? ? ln(1 ? ) ? 2 .??????(※) n n n n 2 1 设 g ( x ) ? ln(1 ? ) ? 2 ( x ? 1) , x x

2 2 2 ? 2x 2 ? 2x ? 4 g ?( x) ? x 2 ? 3 ? , 1? x x x 3 ( x ? 2) ?
令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? 2 . ?????????? 10 分

? 当 x ? (1, 2) 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? (2, ? ?) 时, g ?( x) ? 0 .

1 . 4 1 因此,实数 ? 的取值范围是 ? ? ln 2 ? . ?????????? 14 分 4 1 2 9、(2009 湛江一模)已知函数 f ( x ) ? ( a ? ) x ? ln x .( a ? R ) 2

? 当 x ? 2 时, g ( x) 取得最大值 ln 2 ?

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在区间[1,e]上的最大值和最小值; (Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值范围. 解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ?

1 2 1 x2 ?1 x ? ln x , f ?( x) ? x ? ? ;??????2 分 2 x x

对于 x ?[1,e],有 f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在区间[1,e]上为增函数,????3 分 ∴ f max ( x) ? f (e) ? 1 ?

1 e2 , f min ( x ) ? f ( 1 ) ? .???????????5 分 2 2

(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? (a ? ) x ? 2ax ? ln x ,则 g ( x) 的定义域为(0,+∞).
2

1 2

?????????????????6 分 在区间(1,+∞)上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方等价于 g ( x) ? 0 在区 间(1,+∞)上恒成立. ∵ g ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? ① 若a ?

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ? ? x x x

1 1 ,令 g ?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1 , x 2 ? ,??????8 分 2 2a ? 1 1 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在( x2 ,+∞)上有 g ?( x) ? 0 , 2
此时 g ( x) 在区间( x2 ,+∞)上是增函数,并且在该区间上有

g ( x) ∈( g ( x2 ) ,+∞),不合题意;???????????????9 分
当 x2 ? x1 ? 1 ,即 a ? 1 时,同理可知, g ( x) 在区间(1,+∞)上,有

g ( x) ∈( g (1) ,+∞),也不合题意;???????????????10 分
② 若a ?

1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 g ?( x) ? 0 , 2

从而 g ( x) 在区间(1,+∞)上是减函数;??????????????12 分

要使 g ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ? a ? 由此求得 a 的范围是[ ?

1 1 ?0?a?? , 2 2

1 1 , ]. 2 2 1 1 综合①②可知,当 a ∈[ ? , ]时,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方. 2 2
??????????????????14 分


6年高考4年模拟分类汇编(更新至2010年)第2章 第2节 基本初等函数I

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