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高二第二学期第一次月考数学试题含答案(理)


2013-2014 学年第二学期高二数学第一次月考(理)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 m 、 n 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 l ? m , l ? n ,且 m, n ? ? ,则 l ? ? B.若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? C.若 m ? ? ,

m ? n ,则 n // ? D.若 m // n, n ? ? ,则 m ? ? 2. 下列等式中,使 M,A,B,C 四点共面的个数是( ) 1 1 1 ① OM ? OA ? OB ? OC; ② OM ? OA ? OB ? OC 6 3 2 ④ OM ? OA ? OB ? OC ? 0 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

③ MA ? MB ? MC ? 0;

1→ → → 1→ → 3. 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿角线 BD 折成直二面角, 若点 P 满足BP= BA - BC +BD,则|BP | 2 2 的值为( A. 3 2 B.2 ) 10- 2 C. 4 9 D. 4
2

4.设函数 f(x)=g(x)+x ,曲线 y=g(x)在点(1,g (1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲 线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为( 1 1 A.4 B.- C.2 D.- 4 2 )

5.已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln(x ? a) 相切时,则 a=( A.1 B.2 C.一 1

) D.一 2 )

6.已知 A ?1,0,0 ?, B ?0, ?1,1 ? , OA ? ? OB 与 OB 的夹角为 120°,则 ? 的值为(
6 6 6 B. C. ? D. ? 6 6 6 6 7.如图,已知 ABC ? A1 B1C1 是各条棱长均等于 a 的正三棱柱, D 是侧棱 CC1 的中点.点 C1 到平面 AB1 D 的距离( )

A. ?

A1

B1

C1 D

2 a A. 4

2 a B. 8

3 2 a C. 4

2 a D. 2

A B 图

C

1

8.在三棱锥 P-ABC 中, AB⊥BC,AB=BC= 则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值 A.

1 PA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP⊥底面 ABC, 2
( )

21 6

B.

8 3 3

C.
2

210 60

D.

210 30

9.已知曲线方程 f(x)=sin x+2ax(a∈R),若对任意实数 m,直线 l:x+y+m=0 都不是曲线 y=f(x)的切线,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(-1, 0) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-1,0)∪(0,+∞) D.a∈R 且 a≠0,a≠-1 10.对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f ' ( x) ? 0 ,则必有( ) A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D.

f (0) ? f (2) ? 2 f (1) 11.已知 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ' ( x) 图象如右图所示,那么 y ? f ( x)
的图象最有可能是图中的( ).

2 ' 12.已知 R 上可导函数 f ( x) 的图像如图所示,则不等式 ( x ? 2 x ? 3) f ( x) ? 0 的解集为( )

A.(??,?2) ? (1,??) B.(??,?2) ? (1,2) C.(??,?1) ? (?1,0) ? (2,??) D.(??,?1) ? (?1,1) ? (3,??)
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) → → → → → → 13.在空间四边形 ABCD 中,A B ·C D +B C ·A D +C A ·B D =________.
? 14.如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 60 ,线段 AB ? ? , B ? l , AB 与

l 所成的角为 30? .则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是
2



15.已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数,则实数 a 的取值范围是_______. x?2

16.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,5? ,部分对应值如下表 , f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图像 如图所示,给出关于 f ? x ? 的下列命题:

①函数 y ? f ? x ? 在x ? 2 时 ,取极小值②函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 是减函数, 在 ?1, 2? 是增函数,③当

1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点④如果当 x ? ? ?1, t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,那么 t
的最小值为 0,其中所有正确命题序号为_________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

M 是线段 B1D1 的中点. 17.如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AD ? CD ? 4 , AD 1 ? 5,
(1)求证: BM ∥平面 D1 AC ; (2)求直线 DD1 与平面 D1 AC 所成角的正弦值.
A1 D A B D1 C1 B1 C

M

18.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(1)求 a、b 的值;

3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围. (2)若对于任意的 x ? [0,
2

3

0 19. 如图 , 三棱锥 P ? ABC 中 , PB ? 平面 ABC . PB ? BC ? CA ? 4 , ?BCA ? 90 , E 为

PC 的中点.
(Ⅰ)求证: BE ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求二面角 E ? AB ? C 的余弦值.
C
E

P

B

2a 2 ? x(a ? 0) . 20.已知函数 f ( x) ? a ln x ? x

A

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,求实数 a 的值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x ) 的单调性;

21.如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形,侧面 PAB 是正三角形,AB=2,BC= 2 ,PC= 6 . (I)求证:平面 PAB⊥平面 ABCD; (Ⅱ)已知棱 PA 上有一点 E,若二面角 E—BD—A 的大小为 45.,求 AE:EP 的值.

22.设 a 为实数,函数 f ( x) ? e ? 2 x ? 2a, x ? R.
x

(1)求 f ( x ) 的单调区间与极值; (2)求证:当 a ? ln 2 ? 1 且 x ? 0 时, e ? x ? 2ax ? 1.
x 2

4

2013-2014 学年第二学期高二数学第一次月考(理)参考答案
1 D 13. 0 2 B 14. 3 D 4 A 5 B 6 C 7 A 8 D 9 B 10 C 11 A 12 D

3 4

15. a ?

1 2a ? 1 1 ?( x①③④ , f16. )? ? 0, 2a ? 1 ? 0, a ? 2 2 ( x ? 2) 2

17.【答案】

5

18.解: (1) f ?( x) ? 6 x2 ? 6ax ? 3b , 因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, 解得 a ? ?3 , b ? 4 . ?24 ? 12a ? 3b ? 0.

(2)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 8c ,

f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .
1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 当 x ? (0,
所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 因为对于任意的 x ??0, 3? ,有 f ( x) ? c2 恒成立, 所以

9 ? 8c ? c 2 ,解得

c ? ?1 或 c ? 9 ,

? 1) 因此 c 的取值范围为 (??,
19. 证明 (1):

(9, ? ?) .

? PB ? 面ABC ? PB ? AC ? ? ? AC ? 面PBC ? AC ? BE ? BC ? AC ? ? ? BE ? 面PAC ? PB ? BC , E为中点 ? BE ? PC ?
Z P E C A Y (2)方法一:过 E 作 EF⊥BC,F 为垂足.由已知得 EF⊥面 ABC,过 F 作 FM⊥AB,M 为垂足,连接
6

P E

C

F M A

B

X

B

EM,则 EM⊥AB(三垂线定理).所以∠EMF 为二面角 E-AB-C 的平面角 在 Rt ?EFM 中,EF=2,FM= 2 ,cos∠EMF=

3 3

方法二:以 B 为原点建立空间直角坐标系 B-xyz B(0,0,0),C(4,0,0),A(4,4,0),P(0,0,4),E(2,0,2),则 BA ? , BE ? (4,4, 0) (2,0,2) 平面 ABC 法向量为 n1 ? (0,0,1) ;设平面 ABE 法向量为 n2 ? ( x, y, z) . 则 BA? n2 ? 0 BE ? n2 ? 0

?4 x ? 4 y ? 0 .令 z=1,得 x=-1,y=1,.即 n2 ? (-1,1,1) ? ?2x ? 2 z ? 0
设二面角 E-AB-C 为 ? ,则 cos? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

=

3 3

20. 解: (I) f ? x ? 的定义域为 {x | x ? 0} .

f ?? x? ?

a 2a 2 ? ? 1? x ? 0 ? . x x2

2 根据题意,有 f ? ?1? ? ?2 ,所以 2a ? a ? 3 ? 0 ,

解得 a ? ?1 或 a ? (II) f ? ? x ? ?

3 . 2

a 2a 2 x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? a)( x ? 2a) ? ?1 ? ? ? x ? 0? . x x2 x2 x2

(1)当 a ? 0 时,因为 x ? 0 , 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 x ? a ; 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 0 ? x ? a . 所以函数 f ( x ) 在 ? a, ??? 上单调递增,在 ? 0, a ? 上单调递减. (2)当 a ? 0 时,因为 x ? 0 , 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 x ? ?2a ;
7

由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 0 ? x ? ?2a . 所以函数 f ( x ) 在 ? 0, ?2a ? 上单调递减,在 ? ?2a, ??? 上单调递增. 21.【答案】

22.(1)解:由 f ( x) ? e ? 2 x ? 2a, x ? R 知, f ( x) ? e ? 2, x ? R .
x ' x

令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 .于是,当 x 变化时, f ?? x ? 和 f ?x ? 的变化情况如下表:
'

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,ln 2)

ln 2
0

(ln 2, ??)
+ 单调递增

?
单调递减

2 ? 2 ln 2 ? 2a

故 f ( x) 的单调递减区间是 (??,ln 2) ,单调递增区间是 (ln 2, ??) . f ( x) 在 x ? ln 2 处取得极 小值,极小值为 f (ln 2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a . (2)证明:设 g ( x) ? e ? x ? 2ax ?1, x ? R ,于是 g ?( x) ? e ? 2x ? 2a, x ? R .
x 2 x

由(1)知, 对任意 x ? R ,都有 g ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 R 内单调递增.
'

于是,当 a ? ln 2 ?1 时,对任意 x ? (0, ??) ,都有 g (x) ? g (0) ,而 g (0) ?0 ,
x 2 x 2 从而对任意 x ? (0, ??) ,都有 g ( x) ? 0 ,即e ? x ? 2ax ?1 ? 0, 故 e ? x ? 2ax ? 1.

8


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