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高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结


1. 均值不等式法 例1 设 Sn

? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证
f ( x) ? 1 1 ? a ? 2 bx
1 2
n ?1

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? Sn ? . 2 2

例2

已知函数

r />,若 f (1) ?

1 4 ,且 f ( x ) 在[0,1]上的最小值为 ,求证: 2 5

f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ?
1 例 3 求证 Cn

1 ? . 2
n?1 2

2 3 n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n?2
2 2 ? an ? 1, x12 ? x2 ?

(n ? 1, n ? N ) .

例 4 已知 a2 ? a2 ?
1 2

2 ? xn ? 1 ,求证: a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? an xn ≤1.

2.利用有用结论 例 5 求证 (1 ? 1)(1 ?

1 1 1 )(1 ? )? (1 ? ) ? 2n ? 1. 3 5 2n ? 1

例 6 已知函数 求证: 例7

1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x f ( x) ? lg ,0 ? a ? 1, 给定n ? N ? , n ? 2. n

f (2 x) ? 2 f ( x)(x ? 0) 对任意 n ? N ? 且 n ? 2 恒成立。
? 1, an ?1 ? (1 ? 1 1 )an ? n . n ?n 2
2

已知 a1

( I ) 用数学归纳法证明 an ? 2(n ? 2) ;

( II ) 对 ln(1 ? x) ? x 对 x ? 0 都成立,证明 an ? e2 (无理数 e ? 2.71828
例 8 已知不等式



1 1 ? ? 2 3

?

1 1 ? [log2 n ], n ? N ? , n ? 2 。 [log2 n] 表示不超过 log2 n 的最大整数。设正数数列 n 2

{an } 满足: a1 ? b(b ? 0), an ?
再如:设函数

nan?1 2b , n ? 2.求证 a n ? , n ? 3. n ? an?1 2 ? b[log2 n]

f ( x) ? ex ? x 。
n k n e ? f ( x) 最小值; (Ⅱ)求证:对于任意 n ? N ,有 ? ( ) ? . e ?1 k ?1 n

(Ⅰ)求函数

例9

设 an

1 ? (1 ? ) n ,求证:数列 {an } 单调递增且 a n ? 4. n
3. 部分放缩

例 10 例 11

设 an 设数列

? 1?

1 ? 1a ? a 2 3

?

1 , a ? 2 ,求证: a n na

? 2.
有:

?an ?满足 an?1 ? an2 ? nan ? 1?n ? N ? ? ,当 a1 ? 3 时证明对所有 n ? 1,
1 ? a1 1 ? a2 1 ? an
1

(i)an ? n ? 2 ; (ii) 1 ? 1 ? ? ? 1

?

1 . 2

4 . 添减项放缩 例 12 设n
n ? 1, n ? N ,求证 ( ) ?

2 3

8 . (n ? 1)(n ? 2)
1 (n ? 1,2,?). an
5 证明 an

例 13 设数列 {a n } 满足 a1

? 2, an ?1 ? an ?

? 2n ? 1 对一切正整数 n 成立;

利用单调性放缩:

构造函数

例 14 已知函数

f ( x) ? ax ?

1 3 2 x 的最大值不大于 6 2

,又当

1 1 1 x ? [ , ] 时 f ( x) ? . 4 2 8

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)设 0

? a1 ?

1 1 . , an ?1 ? f (an ), n ? N ? ,证明 an ? n ?1 2
2? a? ?, n ? N . xn ? ?

例 15 数列

?xn ? 由下列条件确定: x1 ? a ? 0 , xn?1 ? 1 ? ? ? xn ?
? 2 总有 xn

(I) 证明:对 n

? a ;(II)

证明:对 n

? 2 总有 xn

? xn?1

6 . 换元放缩 例 16 求证 1 ?
n

n ? 1?

2 (n ? N ? , n ? 2). n ?1
n

例 17

n 2 (a ? 1) 2 设 a ? 1 , n ? 2, n ? N ,求证 a ? 4

.

7 转化为加强命题放缩 例 18 设 0

? a ? 1 ,定义 a1 ? 1 ? a, a n?1 ?

1 ? a ,求证:对一切正整数 n 有 an ? 1. an

例 19 数列

?xn ? 满足 x1 ?

x2 1 , x n ?1 ? xn ? n . 证明 x2001 ? 1001 . 2 n2
3 2
,且 an=

例 20 已知数列{an}满足:a1=

3na n-1 (n ? 2,n ? N?) 2a n-1+n- 1

(1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对一切正整数 n 有 a1?a2???an?2?n!

8. 分项讨论 例 21 已知数列 {a n } 的前

n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1.
(Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式;

(Ⅰ)写出数列 {a n } 的前 3 项 a1 , a2 , a3 ; (Ⅲ)证明:对任意的整数

m ? 4 ,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a 4 a5 am 8
2

9. 借助数学归纳法 例 22(Ⅰ)设函数 (Ⅱ)设正数

f ( x) ? x log2 x ? (1 ? x) log2 (1 ? x) (0 ? x ? 1) ,求 f ( x) 的最小值;

p1 , p2 , p3 ,?, p2n 满足 p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2n ? 1,求证:

p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? p3 log2 p3 ? ? ? p2n log2 p2n ? ?n
10. 构造辅助函数法 例 23 已知

f ( x) = 3 ? 4 x ? 2 x ln 2 ,数列 ?an ? 满足 ? 1 ? a1 ? 0, 21? a
2

n ?1

? f ?a n ? n ? N *

?

?

(1)求

? 1 ? f ( x ) 在 ?? , 0 上的最大值和最小值; ? 2 ? ?
?

(2)证明: ?

1 ? an ? 0 ; 2

(3)判断 an 与 an?1 (n ? N 例 24 已知数列 {an } 的首项 a1

) 的大小,并说明理由.
3 3an , 2, , an ?1 ? ,n ?1 5 2an ? 1


?

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)证明:对任意的 x

? 0 , an ≥ 1 ?
1? x

1 ?2 ? 2, ; ? x ? , n ? 1, 2 ? n (1 ? x) ? 3 ?

(Ⅲ)证明: a1 ? a2 例 25
2

?

n2 ? an ? . n ?1
*

已知函数 f(x)=x -1(x>0),设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与 x 轴的交点为(xn+1,0)(n∈N ). (Ⅰ) 用 xn 表示 xn+1; (Ⅱ)求使不等式 xn?1

? xn 对一切正整数 n 都成立的充要条件,并说明理由;

1 1 1 2n ? 1 (Ⅲ)若 x =2,求证: ? ??? ? . 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn 3
1

例1

解析

此数列的通项为 ak

? k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n.? k ? k (k ? 1) ? k ? k ? 1 ? k ? 1 ,
2 2

n n 1 n(n ? 1) n(n ? 1) n (n ? 1) 2 ? ? k ? S n ? ? (k ? ) ,即 ? Sn ? ? ? . 2 2 2 2 2 k ?1 k ?1

注: ①应注意把握放缩的 “度” : 上述不等式右边放缩用的是均值不等式

ab ?

a?b , 若放成 k (k ? 1) ? k ? 1 则 2

得 Sn

? ? (k ? 1) ?
k ?1

n

(n ? 1)(n ? 3) (n ? 1) 2 ? 2 2

,就放过“度”了!

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里

n 1 1 ??? a1 an
例2 [简析]

? n a1 ? a n ?

a1 ? ? ? a n ? n

2 a12 ? ? ? a n n

,其中, n

? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。

3

4x 1 1 f ( x) ? ? 1? ? 1? ( x ? 0) ? f (1) ? x x 1? 4 1? 4 2 ? 2x

? f (n) ? (1 ?

1 1 )? ) ?(1 ? 2 ? 22 2? 2

? (1 ?

1 ) 2 ? 2n

1 1 ? n ? (1 ? ? 4 2
例3

?

1 1 1 ) ? n ? n ?1 ? . n ?1 2 2 2
1 2 3 ? Cn ? Cn ?

简析 不等式左边 Cn
n 2 n?1

n 2 n ?1 n ? Cn = 2 ?1 ? 1? 2 ? 2 ? ?? 2

? n ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2

=n?2

n ?1 2

,故原结论成立.

例 4 【解析】使用均值不等式即可:因为 xy ?

x2 ? y 2 ( x, y ? R) ,所以有 2
?
2 2 an ? xn 2

a1 x1 ? a2 x2 ?

? an xn ?
2 ? an

2 2 a12 ? x12 a2 ? x2 ? ? 2 2

?

2 a12 ? a2 ? 2

?

2 x12 ? x2 ? 2

2 ? xn

?

1 1 ? ? 1. 2 2

其实,上述证明完全可以改述成求 a1 x1 ? a2 x2 若

? ? ? an xn 的最大值。本题还可以推广为:
2

a ?a
1

2

2 2

?

? a n ? p , x1 ? x 2 ?

2

2

2

? x n ? q( p, q ? 0) , 试求 a1 x1 ? a2 x2

? ? ? an xn 的最大值。
?
2 2 an ? xn 2

x2 ? y 2 a x ?a x ? 请分析下述求法:因为 xy ? ( x, y ? R) ,所以有 1 1 2 2 2

? an xn ?

2 2 a12 ? x12 a2 ? x2 ? ? 2 2

?

2 a12 ? a2 ? 2

2 ? an

?

2 x12 ? x2 ? 2

2 ? xn

?

p?q . 2
,且此时有 ak

故 a1 x1 ? a2 x2

p?q ? ? ? an xn 的最大值为 2

? xk (k ? 1, 2,

, n) 。
a ? ?x 即必须有 ? , n) ,
k ?1 2 k k ?1 n n 2 k

上述解题过程貌似完美, 其实细细推敲, 是大有问题的: 取 “=” 的条件是 ak 即只有 p=q 时才成立!那么,

? xk (k ? 1, 2,



p ? q 呢?其实例 6 的方法照样可用,只需做稍稍变形转化:
? 1,

a

2 1

( p )2

?

a

2 2

( p )2

?

?

a

2 n

x
pq

2 1

( p )2

( q )2

?

x

2 2

( q )2

?

?

x

2 n

( q )2

? 1,

则有

a1 x1 ? a2 x2 ?
2

? an xn ?
2

a1 x1 ? a2 x2 ? pq
2 n

? an xn

?

pq [( a1 2 ? a 2 2 ? 2 ( p) ( p)

?

a

( p )2

)?(

x

2 1

( q )2

?

x

2 2

( q )2

?

?

x

2 n

( q )2

)] ?

pq

ak
于是, (a1 x1 ? a2 x2

?

? an xn )max ? pq ,当且仅当

p

?

xk q

(k ? 1, 2,

, n).

结合其结构特征,还可构造向量求解:设 m ? (a1, a2 , 由 | m ? n |?| m || n | 立刻得解:

, an ), n ? ( x1, x2 ,

, xn ) ,则
2 2 ? an x12 ? x2 ? 2 ? xn ?

| a1 x1 ? a2 x2 ?

2 ? an xn |? a12 ? a2 ?

pq .

x1 x2 ? ? 且取“=”的充要条件是: a1 a2

xn an

。 4

2.利用有用结论 例 5 简析 本题可以利用的有用结论主要有: 法 1 利用假分数的一个性质

b b?m ? (b ? a ? 0, m ? 0) 可得 a a?m

3 5 7 2 n ? 1 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n 2 4 6 2n 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ( ? ? ? ) ? 2n ? 1 2n 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2 4 6 2n 1 3 5 2n ? 1
即 (1 ? 1)(1 ?

1 1 1 )(1 ? )? (1 ? ) ? 2n ? 1. 3 5 2n ? 1

法 2 利用贝努利不等式 (1 ?

x) n ? 1 ? nx(n ? N ? , n ? 2, x ? ?1, x ? 0) 的一个特例
? 2, x ? 1 n n 2k ? 1 1 2k ? 1 1 , ? 2n ? 1. 1? ? ? ?(1 ? )? ? 2k ? 1 k ?1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 k ?1 2k ? 1

(1 ?

1 2 1 (此处)得 n ) ? 1? 2? 2k ? 1 2k ? 1

例 6 [简析] 高考标准用数学归纳法证明, ;这里给出运用柯西( Cauchy)不等式 [ 法:

? ( a b )] ? ? a ? b
2 i ?1 i i i ?1 2 i i ?1

n

n

n

2 i

的简捷证

f (2 x) ? 2 f ( x) ? lg

1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a ? n 2 x 1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x ? 2 lg n n

? [1 ? 2 x ? 3x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x ]2 ? n ? [1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a ? n 2 x ]
而由 Cauchy不等式得 (1 ? 1 ? 1 ? 2
x

? 1 ? 3 x ? ? ? 1 ? (n ? 1) x ? a ? n x ) 2

? (12 ? ? ? 12 ) ? [1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a 2 ? n 2 x ] ( x ? 0 时取等号)
,得证! ? n ? [1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a ? n 2 x ] (? 0 ? a ? 1 ) 例 7 [解析]

( II ) 结合第 ( I ) 问结论及所给题设条件 ln(1 ? x) ? x ( x ? 0 )的结构特征,可得放缩思路:

a n ?1 ? (1 ?
于是 ln a n ?1

1 1 1 1 1 1 ? n ? n ) ? ln an ? ln a n ? 2 ? n )a n ? ln an ?1 ? ln(1 ? 2 n ?n 2 n ?n 2 n ?n 2
2



? ln a n ?
n ?1 i ?1

1 1 ? n n ?n 2
2



?
i ?1

n ?1

(ln ai ?1 ? ln ai ) ? ?

1 1 1 ( 2 ? i ) ? ln a n ? ln a1 ? 1 ? ? n i ?i 2

1 1 ? ( ) n ?1 1 1 2 ? 2 ? ? n ? 2. 即 1 n 2 1? 2

ln an ? ln a1 ? 2 ? an ? e 2 .
【注】 :题目所给条件 ln(1 ? 用结论 2
n

x) ? x ( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可
1 1 1 )a n ? ? an?1 ? 1 ? (1 ? )(an ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)

? n(n ? 1)(n ? 2) 来放缩: a n ?1 ? (1 ?

? ln(an?1 ? 1) ? ln(an ? 1) ? ln(1 ?
n ?1

1 1 )? . n(n ? 1) n(n ? 1)
1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 , i(i ? 1) n
5

? ? [ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ?
i ?2 i ?2

n ?1

即 ln(an

?1) ? 1 ? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 .
? 2 时 an ?

例 8 【简析】 当 n

nan?1 1 n ? an?1 1 1 ? ? ? ? ,即 n ? an?1 an an?1 an?1 n

n n 1 1 1 1 1 1 2b ? ? ? ? ( 1 ? 1 ) ? ? 1 . 于是当 n ? 3 时有 ? ? [log2 n] ? a n ? . a n a n ?1 n a n a1 2 2 ? b[log2 n] a k ak ?1 k ?2 k ?2 k

注:本题涉及的和式

1 1 1 ? ??? 2 3 n

为调和级数,是发散的,不能求和;但是可以利用所给题设结论

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n] 来进行有效地放缩; 2 3 n 2
再如: 【解析】 (Ⅰ)1; (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得 e
x

? x ? 1 ,对 x>-1 有 (1 ? x)n ? enx ,利用此结论进行巧妙赋值:取
1 1 ? ( )n 11 1 0 e ? 1 ? e ?( ) ?( ) ? 1 1 e ?1 e e 1? 1? e e

k x ? ? 1, k ? 1, 2, n

, n ,则有 ( 1 )n ? ( 2 )n ? n n
?

n 1 1 ? ( ) n ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ? n e e

即对于任意 n ? N ,有

?(n)
k ?1

n

k

n

?

e . e ?1

例 9 [解析] 引入一个结论: 若b 略) 整理上式得 a
n?1

? a ? 0 则 b n?1 ? a n?1 ? (n ? 1)b n (b ? a) , (可通过构造一个等比数列求和放缩来证明,
1 1 , b ? 1 ? 代入( ? )式得 n ?1 n

,以 a ? 1 ? ? b n [(n ? 1)a ? nb]. ( ? )

(1 ?

1 n ?1 1 1 ) ? (1 ? ) n . 。即 {an } 单调递增。以 a ? 1, b ? 1 ? 代入( ? )式得 n n ?1 2n
1 1 n 1 1 ) ? ? (1 ? ) 2 n ? 4. 。此式对一切正整数 n 都成立,即对一切偶数有 (1 ? ) n ? 4 ,又因为数列 {an } n 2n 2 2n
1 n ) ? 4。 n
利用二项展开式进行部分放缩:

1 ? (1 ?

单调递增,所以对一切正整数 n 有 (1 ?

注:上述不等式可加强为 2

1 ? (1 ? ) n ? 3. 简证如下: n

1 1 1 1 2 n 1 a n ? (1 ? ) n ? 1 ? C n ? ? Cn ? 2 ? ? ? Cn . n n n nn
k Cn

只取前两项有 a n

1 ? 1 ? Cn ?

1 ? 2. 对通项作如下放缩: n

1 1 n n ?1 n ? k ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 / 2) n ?1 故有 a n ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ? ? ? ? 2 ? ? ? 3. n k! 1 ? 2? 2 2 k ?1 n k k! n n 2 22 2 1 ? 1/ 2 2 n ?1

3. 部分放缩 例 10 [解析]

an ? 1 ?

1 ? 1a ? ? ? 1a ? 1 ? 12 ? 12 ? ? ? 12 . a 2 3 n 2 3 n
1 1 1 1 ? ? ? 2 k (k ? 1) k ? 1 k k


又k

2

? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2 (只将其中一个 k 变成 k ? 1 ,进行部分放缩) ,?

6

于是 a n 例 11

? 1?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 ? ? 2. 2 n 2 2 3 n ?1 n 2 3 n
(i) 用数学归纳法:当 n ? 1 时显然成立,假设当 n ? k 时成立即 ak ? k ? 2 ,

【解析】

则当 n

? k ? 1 时 ak ?1 ? ak (ak ? k ) ? 1 ? ak (k ? 2 ? k ) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。

(ii ) 利用上述部分放缩的结论 ak ?1 ? 2ak ? 1 来放缩通项,可得

ak ?1 ? 1 ? 2(ak ? 1) ? ak ?1 ?

? 2k ?1 (a1 ?1) ? 2k ?1 ? 4 ? 2k ?1

1 1 ? ( )n n n 1 1 1 1 1 2 ? 1. ? ? k ?1 ? ? ? ? i ?1 ? ? ak ? 1 2 2 4 1? 1 2 i ?1 1 ? ai i ?1 2
【注】上述证明 (i ) 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩: ak ?1 证明 (ii ) 就直接使用了部分放缩的结论 a k ?1 例 12 [简析] 观察 (

? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3 ;

? 2ak ? 1 。

2 n 3 1 ) 的结构,注意到 ( ) n ? (1 ? ) n ,展开得 3 2 2

1 1 1 2 1 3 1 (1 ? ) n ? 1 ? Cn ? ? Cn ? 2 ? Cn ? 3? 2 2 2 2
即 (1 ?

? 1?

n n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? 6 ? ? 2 8 8

1 n (n ? 1)( n ? 2) ) ? ,得证. 2 8
2 ? ak ?2?

例 13[简析] 本题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有 法 1 用数学归纳法(只考虑第二步) a k ?1
2

1 ? 2k ? 1 ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ; 2 ak

法2

2 a 2 n ?1 ? a n ?2?

1 2 2 2 ? an ? 2 ? ak ,2,?, n ? 1. ?1 ? ak ? 2, k ? 1 2 an

则 an

2

2 ? a12 ? 2(n ? 1) ? an ? 2n ? 2 ? 2n ? 1 ? an ? 2n ? 1

例 14 [解析] (Ⅰ) a =1 ; (Ⅱ)由 an ?1

3 1 1 1 2 ? f (an ), 得 an?1 ? an ? 3 an ? ? (an ? ) 2 ? ? 2 2 3 6 6



an ? 0.

用 数 学 归 纳 法 ( 只 看 第 二 步 ):

ak ?1 ? f (ak )



a k ? (0,

1 ) k ?1

是 增 函 数 , 则 得

ak ?1 ? f (ak ) ? f (

1 1 3 1 2 1 )? ? ( ) ? . k ?1 k ?1 2 k ?1 k?2

例 15 [ 解析 ] 构造函数

f ( x) ?

1? a? 1? a? 在 xk ? ? ? x ? ?, 易知 f ( x) 在 [ a ,??) 是增函数。当 n ? k ? 1 时 xk ?1 ? ? ? 2? xk ? 2? x? ?

1? a? a ? ,构造函数 [ a ,??) 递增,故 xk ?1 ? f ( a ) ? a. 。对(II)有 xn ? xn?1 ? 1 ? f ( x) ? ? x ? ?, ? xn ? ? ? ? 2? x? 2? xn ?

7

它在 [

a ,??) 上是增函数,故有 xn ? xn?1 ?

1? a ? xn ? ? 2? xn

? ? ? ? f ( a ) ? 0 ,得证。 ?

【注】①数列 ②

?xn ? 单调递减有下界因而有极限: an ?

a (n ? ??).

f ( x) ?

1? a? 1? a ? 的母函数,研究其单调性对此数列本质属性具有重要的指导作用。 ? x ? ? 是递推数列 x n ?1 ? ? xn ? ? ? 2? x? 2? xn ? ?

例 16

[简析] 令 an

? n n ? 1 ? hn ,这里 hn ? 0(n ? 1), 则有
2 n(n ? 1) 2 2 . hn ? 0 ? hn ? (n ? 1) ,从而有 1 ? a n ? 1 ? hn ? 1 ? n ?1 2 n ?1

n ? (1 ? hn ) n ?

注:通过换元化为幂的形式,为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。 例 17 [简析] 令 a

? b ? 1 ,则 b ? 0 , a ? 1 ? b ,应用二项式定理进行部分放缩有
n(n ? 1) 2 b , 2
n 2 (a ? 1) 2 ? 4
.

0 n 1 n ?1 2 n?2 n 2 n?2 a n ? (b ? 1) n ? C n b ? Cn b ? Cn b ? ? ? Cn ? Cn b ?

注意到 n

? 2, n ? N ,则

n(n ? 1) 2 n 2 b 2 b ? 2 4

(证明从略) ,因此 a

n

7 转化为加强命题放缩 例 18 [解析] 用数学归纳法推 n

? k ? 1 时的结论 an?1 ? 1 ,仅用归纳假设 ak ? 1 及递推式

a k ?1 ?

1 ? a 是难以证出的,因为 ak 出现在分母上!可以逆向考虑: a k ?1 ? 1 ? a ? 1 ? a k ? 1 . ak ak 1? a

故将原问题转化为证明其加强命题:对一切正整数 n 有 1 ?

an ?

1 . (证略) 1? a

例 19 [简析] 将问题一般化:先证明其加强命题 x n

?

n . 用数学归纳法,只考虑第二步: 2

xk ?1

2 xk k 1 k k 1 k ?1 n ? ? xk ? 2 ? ? 2 ? ( ) 2 ? ? ? . 。因此对一切 x ? N 有 x n ? . 2 2 k 2 2 4 2 k

例 20 [解析]: (1)将条件变为:1-

n an

n-1 ,因此{1- =1 ( 1- ) 3 a n-1

n an

}为一个等比数列,其首项为 1-

1 a1



1 1 ,公比 , 3 3

从而 1-

n an



1 3n

,据此得 an=

n ? 3n (n?1)??1? 3n-1
1 2 n

(2)证:据 1?得,a1?a2??an=

n! ,为证 a ?a ???a ?2?n! , 1 1 1 ( 1- ) ? ( 1- 2 )?( 1- n ) 3 3 3

只要证 n?N?时有 ( 1- ) ? ( 1- 对每个 n?N?,有 ( 1-

1 3

1 1 1 ? ??2? 显然,左端每个因式都是正数,先证明一个加强不等式: )?( 1- n ) 2 2 3 3
)??3?

1 1 1 1 1 1 ?1-( + +?+ ) ? ( 1- 2 )?( 1- n ) 2 3 3 3 3 3 3n
1 3

(用数学归纳法,证略)利用 3?得 ( 1- ) ? ( 1-

1 1 1 ?1-( 1 1 + 2 +?+ n ) )?( 1- n ) 2 3 3 3 3 3
8

=1- 3

1 1 n 1 1 n 1 1 1 n 1 〔 1-( ) 〕 1-( ) 〕= + ( ) ? 。故 2?式成立,从而结论成立。 3 =1- 〔 2 2 3 2 2 3 1 1- 3

8. 分项讨论 例 21 [简析] (Ⅰ)略, (Ⅱ) 当n

an ?

2 n?2 n 2 ? (?1) n ?1 . ; (Ⅲ)由于通项中含有 ( ?1) ,很难直接放缩,考虑分项讨论: 3

?

?

? 3 且 n 为奇数时

3 2 n ?2 ? 2 n ?1 3 1 1 1 1 3 1 1 3 2 n?2 ? 2 n?1 , ? ? ? ? ( n ?2 ? n ?1 ) (减项放缩) ? ? ( n?2 ? n?1 ) ? ? 2n?3 2 n ?3 n ?1 n?2 2 2 2 2 an an?1 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2 ? 2 ? 2 ?1 2
于是, ①当 m

? 4 且 m 为偶数时,

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ??? ( ? ) ? ??? ? a4 a5 a 6 a m?1 a m a 4 a5 am

?
②当 m

1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 ? ( 3 ? 4 ? ? ? m ? 2 ) ? ? ? ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? . 2 2 2 2 2 4 2 8 8 2 2 2
? 4 且 m 为奇数时,

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? ? a 4 a5 a m a 4 a5 a m a m?1

(添项放缩)

由①知

1 1 1 1 7 ? ??? ? ? . 。由①②得证。 a 4 a5 a m a m?1 8

9. 借助数学归纳法 例 22 [解析] 科学背景:直接与凸函数有关! (Ⅰ)略,只证(Ⅱ) :

考虑试题的编拟初衷,是为了考查数学归纳法,于是借鉴詹森不等式的证明思路有: 法 1(用数学归纳法) ( i ) 当 n=1 时 , 由 ( Ⅰ ) 知 命 题 成 立 。( ii ) 假 定 当

n?k

时 命 题 成 立 , 即 若 正 数

p1 , p2 ,?, p2k 满足p1 ? p2 ? ? ? p2k ? 1 ,


p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? ? ? p2k log2 p2k ? ?k.
当n

? k ? 1 时,若正数 p1 , p2 ,?, p2k ?1 满足p1 ? p2 ? ? ? p2k ?1 ? 1, (*)
pk p1 p , q 2 ? 2 , ?, q 2 k ? 2 . x x x

为利用归纳假设,将(*)式左边均分成前后两段: 令x

? p1 ? p 2 ? ? ? p 2k , q1 ?
2k

则 q1 , q2 ,?, q

为正数,且

q1 ? q2 ? ? ? q2k ? 1.

由归纳假定知 q1 log2

p1 ? p2 log2 p2 ? ? ? q2k log2 q2k ? ?k.

p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? ? ? p2k log2 p2k ? x(q1 log2 q1 ? q2 log2 q2 ? ? ? q2k log2 q2k

? log2 x) ? x(?k ) ? x log2 x,
同理,由

(1)

p2k ?1 ? p2k ?2 ? ? ? p2k ?1 ? 1 ? x 得

p2k ?1 log2 p2k ?1 ? ? ? p2k ?1 log2 p2k ?1 ? (1 ? x)(?k ) ? (1 ? x) log2 (1 ? x). (2)
9

综合(1) (2)两式

p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? ? ? p2k ?1 log2 p2k ?1

? [ x ? (1 ? x)](?k ) ? x log2 x ? (1 ? x) log2 (1 ? x) ? ?(k ? 1).
即当 n

? k ? 1 时命题也成立.

根据(i) 、 (ii)可知对一切正整数 n 命题成立.

法 2 构造函数 g ( x)

? x log2 x ? (c ? x) log2 (c ? x)(常数c ? 0, x ? (0, c)),那么

x x x x g ( x) ? c[ log 2 ? (1 ? ) log 2 (1 ? ) ? log 2 c], c c c c
利用(Ⅰ)知,当

x 1 c ? (即x ? )时,函数 g ( x)取得最小值 . c 2 2
x1 ? x 2 x ? x2 ? ( x1 ? x2 )[log2 ( x1 ? x2 ) ? 1] ② log2 1 2 2

对任意 x1

? 0, x2 ? 0, 都有 x1 log2 x1 ? x2 log2 x2 ? 2 ?

(②式是比①式更强的结果). 下面用数学归纳法证明结论. (i)当 n=1 时,由(I)知命题成立. (ii)设当 n=k 时命题成立,即若正数

p1 , p2 ,?, p2k 满足p1 ? p2 ? ? ? p2k ? 1, 有

p1 log2 p1 ? p 2 log2 p 2 ? ? ? p 2k log2 p 2k ? ?k. 当n ? k ? 1时, p1 , p 2 ,?, p 2k ?1 满足p1 ? p 2 ? ? ? p 2k ?1 ? 1. 令H ? p1 log2 p1 ? p 2 log2 p 2 ? ? ? p 2k ?1 ?1 log2 p 2k ?1 ?1 ? p 2k ?1 log2 p 2k ?1
对(*)式的连续两项进行两两结合变成 2 项后使用归纳假设,并充分利用②式有
k

H ? ( p1 ? p 2 )[log 2 ( p1 ? p 2 ) ? 1] ? ? ? ( p 2 k ?1 ?1 ? p 2k ?1 )[log 2 ( p 2 k ?1 ?1 ? p 2 k ?1 ) ? 1], 因为( p1 ? p 2 ) ? ? ? ( p 2k ?1 ?1 ? p 2 k ?1 ) ? 1,
由归纳法假设 ( p1 ? p2 ) log2 ( p1 ? p2 ) ? ? ? ( p k ?1 ? p k ?1 ) log2 ( p k ?1 ? p k ?1 ) ? ?k , 2 ?1 2 2 ?1 2 得H

? ?k ? ( p1 ? p2 ? ? ? p2k ?1 ?1 ? p2k ?1 ) ? ?(k ? 1).
? k ? 1 时命题也成立.
所以对一切正整数 n 命题成立.

即当 n

【评注】 (1)式②也可以直接使用函数 g ( x)

? x log2 x 下凸用(Ⅰ)中结论得到;

(2)为利用归纳假设,也可对(*)式进行对应结合: qi (3)本题用凸函数知识分析如下: 对任意 xi

? pi ? p2n?1 ?i 而变成 2 k 项;
f ( x) 为 [a, b] 上的下凸函数,则

先介绍詹森(jensen)不等式:若

? [a, b], ?i ? 0(i ? 1,?, n), ?1 ? ? ? ?n ? 1,有

f (?1 x1 ? ? ? ?n xn ) ? ?1 f ( x1 ) ? ? ? ?n f ( xn ).
特别地,若 ? i

?

1 x ? ? ? xn 1 ,则有 f ( 1 ) ? [ f ( x1 ) ? ? f ( x n )]. n n n
p1 ? p 2 ? ? ? p 2n 2n

若为上凸函数则改“ ? ”为“ ? ” 。 由 g ( x) 得 为下凸函数

g ( p1 ) ? g ( p 2 ) ? ? ? g ( p 2n ) 2
n

? g(

)

,又

p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2n ? 1



所以

p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? p3 log2 p3 ? ? ? p2n log2 p2n ? 2 n g (
10

1 ) ? ?n. 2n

(4)本题可作推广如下:若正数

p1 , p2 ,?, pn 满足 p1 ? p2 ? ? ? pn ? 1 ,则

p1 ln p1 ? p2 ln p2 ? ? ? pn ln pn ? ? ln n. 。简证:构造函数 f ( x) ? x ln x ? x ? 1,
易得
n

f ( x) ? f (1) ? 0 ? x ln x ? x ? 1. ? (npi ) ln(npi ) ? npi ? 1 ? pi ln( np i ) ? pi ? .
n

1 n



?[ pi ln(npi )] ? ? pi ? 1 ? 0 ? ln n ? ? pi ln pi ? 0.
i ?1 i ?1

10. 构造辅助函数法 例 23 【解析】(1) 求导可得

1 ? f ( x) 在 ? - , 0? ? ? 2 ?

上是增函数,? f max

? x ? =2;f min ? x ?

?

5 -ln2. 2

(2) (数学归纳法证明)①当 n

? 1 时,由已知成立;②假设当 n ? k 时命题成立,即 ?
1? ak ?1

1 ? ak ? 0 成立, 2


那么当

n ? k ?1 时 , 由 ( 1 ) 得 2

3 5 5 ? f (a k ) ? ( ? l n 2 ,, 2? ) 2 ? ? ? ln 2 ? 21? ak ?1 ? 2 2 2 2

1 1 ? ? 1 ? ak ?1 ? 1 , ?? ? ak ?1 ? 0 ,这就是说 n ? k ? 1 时命题成立。由①、②知,命题对于 n ? N 都成立 2 2
(3) 由 2
1?an?1

? 21?an ? f ? an ? ? 21?an ,

构造辅助函数 g

?x? ? f ?x? ? 2 x?1 ,得
1 2 1 ? x ? 0 时, ? 2 x ? 1, ? 4 x ? 1. 2 2 2

g ' ( x) ? f ?( x) ? 2 x?1 ln 2 ? 1 ? 2 x ? 4 x ln 4 ,当 ?
故1 ? 2
x

?

?

? 4x ? 1 ?

2 1 ? ? 0 ,所以 g ' ( x ) <0 2 2

得 g(x)在

? 1 ? - , 0 是减函数, ? ? 2 ? ?
>0,得 a n ?1 > an 。

∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0,∴ 【解析】 (Ⅰ) an

f ?an ? ? 21?an

>0,即 2

1? an ?1

? 21? an

例 24

?

3n . (Ⅱ)提供如下两种思路: 3n ? 2
1 为元进行配方,确定其最大值。 1? x

思路 1 观察式子右边特征,按

法 1 由(Ⅰ)知 an

?

3n 1 1 ?2 ? ? 0, ? ? x? n 2 ? n 3 ?2 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

?

1 1 ?2 1 1 ? ? ? 1 ?1 ? x ? ? ? 2 ? n 2 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? 1 ? x (1 ? x)
2

?1 ? 1 1 2 ? ? (1 ? x) ? ? ? a (1 ? x)2 ? 1 ? x n ? an ?

1? 1 ? ?? ? ? an ? ? an ≤ an ,? 原不等式成立. an ? 1 ? x ?
思路 2 将右边看成是关于 x 的函数,通过求导研究其最值来解决: 法2 设

f ( x) ?

1 1 ?2 ? ? ? x ? ,则 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?
11

?2 ? ?2 ? ?(1 ? x) 2 ? ? n ? x ? 2(1 ? x) 2 ? n ? x ? 1 3 ?3 ? ? f ?( x) ? ? ? ? ? 2 2 2 (1 ? x) (1 ? x) (1 ? x)
x ? 0 ,? 当 x ?

2 3n

时,

f ?( x) ? 0 ;当 x ?

2 3n

时,

f ?( x) ? 0 ,

?当 x ?

2 3n

时,

1 ? 2? ? an .? 原不等式成立. f ( x) 取得最大值 f ? n ? ? ? 3 ? 1? 2 3n
? 0 ,有

(Ⅲ)思路 1 考虑本题是递进式设问,利用(Ⅱ)的结论来探究解题思路: 由(Ⅱ)知,对任意的 x

a1 ? a2 ?

? an ≥

1 1 ?2 1 1 ?2 ? 1 1 ?2 ? ? ? ? x? ? ? ? x? ? ? ? ? x? 2 ? n 2 ? 2 ? 2 1 ? x (1 ? x) ? 3 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? ?

n 1 ?2 2 ? ? ? ? ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3 32

2 ? ? n ? nx ? .? 取 x ? 1 ? 2 ? 2 ? ? 3 ? n ? 3 32

2 ? n 3

2? 1? ?1 ? ? 1? ? 3 ? 3n ? 1 ? ? ?1 ? n ? , ?? ? n ?1 ? 1 ? n ? 3 ? ? ? ? 3?

则 a1 ? a2

?

? an ≥

n n2 n2 .? 原不等式成立. ? ? 1 n ?1 1? 1? n ? 1 ? 1 ? ?1 ? n ? 3n n? 3 ?

【注】本解法的着眼点是对上述不等式中的 x 进行巧妙赋值,当然,赋值方法不止一种,如:还可令 x

?

1 ,得 n
2

n 1 ?2 2 ? ? ? ? 1 ? x (1 ? x) 2 ? 3 32

?

n 1 1 n 2 n 1 ? 1 1? ? ? ? n ? . ? nx ? ? ? 1? n ? n ? ? ? ? n n ?1 3 n ? n ? 1 (1 ? 1 ) 2 3 ? 1 ? 1 (1 ? 1 ) 2 ? 3 n n n

2

思路 2 所证不等式是与正整数 n 有关的命题,能否直接用数学归纳法给予证明?尝试:

31 32 ? 1 ? 2 ? 3 ?2 3 ?2
(2)假设命题对 n

31 3 1 12 3n n2 n ? 1 ? ? ? ( 1 )当 时 ,成立; ? n ? . 31 ? 2 5 2 1 ? 1 3 ? 2 n ?1
31 32 ? ? 31 ? 2 32 ? 2
?

? k 成立,即

?

3k k2 ? . 3k ? 2 k ? 1


则当 n

? k ? 1 时,有

31 32 ? ? 31 ? 2 32 ? 2
;即证

3k 3k ?1 k2 3k ?1 ? ? ? 3k ? 2 3k ?1 ? 2 k ? 1 3k ?1 ? 2

只要证明

k2 3k ?1 (k ? 1) 2 ? k ?1 ? k ?1 3 ? 2 k ?2

3k ?1 (k ? 1)2 k 2 (k ? 1)3 ? k 2 (k ? 2) k 2 ? 3k ? 1 , ? ? ? ? 2 3k ?1 ? 2 k ? 2 k ?1 (k ? 2)(k ? 1) k ? 3k ? 2

即证

3k ?1 ? 2 ? 2 k 2 ? 3k ? 2 ? 1 2 1 ? 2 ? k ?1 ? 2 ? 3k ?1 ? 2 ? 2(k 2 ? 3k ? 2) k ?1 3 ?2 k ? 3k ? 2 3 ? 2 k ? 3k ? 2

用二项式定理(展开式部分项)证明,再验证前几项即可。如下证明是否正确,请分析:易于证明 an 对任意 n ? N 成立;于是
?

?

3n n ? n 3 ? 2 n ?1

?

an ? ?

3n n n2 ? ? ? n ?1 n ?1. 3n ? 2
12

【注】上述证明是错误的!因为:

f (k ) ?

k 是递增的,不能逐步“缩小”到所需要的结论。可修改如下: k ?1

考虑

n2 n2 (n ? 1)2 n2 ? n ? 1 ? ? 2 是某数列 {bn } 的前 n 项和,则 bn ? , n ?1 n ?1 n n ?n

3k k 2 ? k ?1 ? 2 ? 3k ? 2k 2 ? 2k ? 2. 只要证明 ak ? bk ? k 3 ?2 k ?k
思路 3 深入观察所证不等式的结构特征, 利用均值不等式可得如下妙证:

3an 3n ? 0 ,用 n 项的均值不等式: 由 an ?1 ? 取倒数易得: an ? n 3 ?2 2an ? 1
a1 ? a2 ? n ? an ? n 1 1 ? ? a1 a2 1 ? an ? n 2 2 1? 1 ?1? 2 ? 3 3 2 ? ?1? n 3
n 1 [1 ? ( ) n ] 2 3 n? 1 3 1? 1 3 ? n 1 n ?1? n 3 ? n , n ?1

? a1 ? a2 ?
例 25 【解析】(Ⅰ)

? an ?

n2 . n ?1
1

xn?1 ?

2 xn ?1 . (Ⅱ)使不等式 xn?1 ? xn 对一切正整数 n 都成立的充要条件是 x ≥1. 2 xn

(Ⅲ) 基本思路:寻求合适的放缩途径。 探索 1 着眼于通项特征,结合求证式特点,尝试进行递推放缩:

1 ? xn?1 ?

2 xn?1 2( xn?1 ? 1) ? 2 ( xn ? 1) 2 1 2 ? ? ? (n ? 2) ? 2 2 1 ? xn (1 ? xn?1 ) 1 ? xn?1 2 xn (1 ? xn?1 )

1 2 1 2 22 2 n?1 2 n?1 即 ? (n ? 2) 。于是由此递推放缩式逐步放缩得 ? ? ??? ? . 1 ? xn 1 ? xn?1 1 ? xn 1 ? xn?1 1 ? xn?2 1 ? x1 3
探索 2 从求证式特征尝试分析:结论式可作如下变形:

1 1 1 1 2n ? 1 2 n ?1 ? ??? ? (1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? . 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn 3 3
学归纳法证明,略) 。 探索 3 探索过渡“桥” ,寻求证明加强不等式:由(2)知 xn≥1,由此得

逆向思考,猜想应有:

1 2 n?1 ? . (用数 1 ? xn 3

1 1 ? (n ? 2) 。有 1 ? xn 2

1 n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 n ?1 ? ? 2 n?1 ? 3n ? 1. ? ??? ? ? . 尝试证明 ? 3 2 3 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn 3 2
证法 1(数学归纳法,略) ; 法 2 (用二项展开式部分项) :当 n≥2 时 2 =(1+1) ≥ C n
n n

0

1 2 ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

3n ? 1 n 2 ? n ? 2 ? 3n ? 1 (n ? 1) 2 2 ? ? ? ? 0. 此题还可发现一些放缩方法,如: 2 2 2
n

13

2n ?1 1 1 1 n ? (每一项都小于 1) ,而再证 n ? 即 2 ? 3n ? 1,则需要归纳出条 ? ??? ? n(n ? N ) 。 3 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn
件 n≥4.(前 4 项验证即可)

技巧积累:(1) 1 ? 4 ? 2 2
n 4n

(3) T

r ?1

1 2 1 1 ? ? ? 1 2 ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1) Cn C ?1 n 1 n ! 1 1 1 1 1 r ? Cn ? r ? ? ? ? ? ? (r ? 2) r!(n ? r )! n r r! r (r ? 1) r ? 1 r n
4 1 ? ? 1 ? 2? ? ? 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

(2)

(4) (1 ? 1 ) n ? 1 ? 1 ? 1 ?

n

2 ?1

1 1 5 ??? ? 3? 2 n(n ? 1) 2
(6)
1 ? n?2 ? n n?2

(5)

1 1 1 ? ? 2 (2 n ? 1) 2 n ? 1 2 n
n

1 1 (7) 2( n ? 1 ? n ) ? 1 ? 2( n ? n ? 1) (8) ? 2 ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? n n ?1 2 n ? 1 2 n ? 3 2 ( 2 n ? 1 ) ? 2 ( 2 n ? 3) ? 2 n n ? ? 1 1 1? 1 1 1 ?1 1 ? ? (9) ?? ? ? , ? ? ? ? k (n ? 1 ? k ) ? n ? 1 ? k k ? n ? 1 n(n ? 1 ? k ) k ? 1 ? n n ? 1 ? k ? n 1 1 (10) (11)
(n ? 1) ! ? ? n ! (n ? 1) !
1 n ? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ? 2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 1 1 n? ? n? 2 2

2n 2n 2n 2n ?1 1 1 ? n ? n ? n ? ? (n ? 2) 2 n n (2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 2) (2 ? 1)(2n ?1 ? 1) 2n ?1 ? 1 2n ? 1 ? ? 1 1 1 1 1 (12) 1 ?? ? ? ?? ? ? 3 2 n(n ? 1)(n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) ? n n?n ? n ?1 ? n ?1 1 ? n ?1 ? n ?1 1 1 ? 1 ?? ? ? ? ?? n ?1 ? 2 n n ?1 n ?1 ? n ?1 n n (13) 2n ?1 ? 2 ? 2n ? (3 ? 1) ? 2n ? 3 ? 3(2n ? 1) ? 2n ? 2n ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 n 3 2 ?1 3 1 k?2 1 1 (14) (15) ? n ? n ? 1(n ? 2) ? ? k!?(k ? 1)! ? (k ? 2)! (k ? 1) ! (k ? 2) ! n(n ? 1)

(11)

n

(15)

i2 ? 1 ? j2 ? 1 i2 ? j2 ? i? j (i ? j )( i 2 ? 1 ?

j 2 ? 1)

?

i? j i2 ? 1 ? j2 ?1

?1

14


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