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深圳中学2018届高三年级第一次阶段性测试(文数)


深圳中学 2018 届高三年级第一次阶段性测试 数学(文科)
本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上. 用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂 黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不准使用 铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点,再作答.漏涂、错涂、 多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合要求. 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , 集合 A ? ?1,3,5? , B ? ?1,2? , 则 A ? (CU B) ? (A) ? 2.函数 f ? x ? ? (B) ?5? (C) ?3? (D) ?3,5?

1 的定义域为 log 1 ? 2 x ? 1?
2

1 (A) ( ? , 0) 2

(B) ( ?

1 , ??) 2

(C) ( ?

1 , 0) ? ? 0, ?? ? 2

(D)( ?

1 , 2) 2

3.设 x, y ? R, 则“ x2 ? y 2 ? 2 ”是“ x ? 1 且 y ? 1 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件
0.3 1.3

(B)必要而 不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
0.3

4.已知 a ? 0.3 , b ? 0.3 , c ? 1.3 (A) c ? a ? b (B) c ? b ? a

,则它们的大小关系是 (C) b ? c ? a (D) a ? b ? c

5.已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 (1, 4) ,则

cos 2? ? sin2? 的值为
(A)

3 5

(B) ?

3 5

(C)

7 17

(D) ?

7 17

1

1 6.将余弦曲线 y ? cos x 上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再把所得各 3

π 个单位长度,得到的图象对应的函数解析式为 6 π (A) y ? cos(3 x ? ) (B) y ? ? sin 3x 6 1 π (C) y ? sin 3x (D) y ? cos( x ? ) 3 18
点向左平移 7.函数 f ( x) ? sin x ? 3cos x (A) [?

( ?π ? x ? 0) 的单调递增区间是
(C) [ ?

π , 0] 6

(B) [?

π , 0] 3

5π π ,? ] 6 6

(D) [ ? π, ?

5π ] 6

?1, x ? 0, ? π? ? 8.定义符号函数 sgn( x) ? ?0, x ? 0, 则对任意 x ? ? x ?π ? x ? π, 且x ? ? ? ,恒有 2? ? ? ?1, x ? 0. ?
(A) tan x ? sgn( x) ? tan x (C) tan x ? sgn( x) ? tan x 9. 函数 f ( x) ? (B) tan x ? sgn( x) ? tan x (D) tan x ? sgn( x) ? tan x

ln( x 2 ? 4 x ? 4) 的图象可能是 ( x ? 2)3

(A)

(B)

(C)

(D)

10. 若函数 f ( x) 的定义域为 R , 且函数 f ( x) ? sin x 是偶函数, 函数 f ( x) ? cos x 是奇函数, 则 f( )? (A) ?

π 3

1? 3 2
x

(B)

1? 3 2

(C)

?1 ? 3 2

(D)

1? 3 2

11.设函数 f ? x ? ? ? xe ,其中 e 为自然对数的底数,则 (A) ?x ? R, ?a ? ( , ??), f ( x) ? a (C) ?a ? ( , ?? ), ?x ? R, f ( x) ? a

1 e

(B) ?x ? R, ?a ? ( ??, ), f ( x) ? a (D) ?a ? (??, ), ?x ? R, f ( x) ? a

1 e

1 e

1 e

2

12.已知函数 f ( x) ? m x ? 2mx ? x ? 1 ? m 在区间 ?0,1? 上有且只有一个零点,则正实数
2 2

m 的取值范围是
(A) ? 0,1? ? ? 2 3, ??

?

?
?

(B) ? 0,1? ? ?3, ??? (D) 0, 2 ? ? ?3, ?? ?

(C) 0, 2 ? ? ? 2 3, ??

?

?

?

?

?

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 3 ,则 f (?27) ? ______.
2 ? ? x ? 2 x ? a, x ? 1, 14.函数 f ( x) ? ? x 的最小值为 2 ,则实数 a 的取值范围是_____. ? ?2 , x ? 1,

1

15.在 ?ABC 中, sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? sin B sin C ,则 cos C 的取值范围为

.

16.函数 f ( x) ? x ? 2sin x ,对任意 x1 , x2 ?[0, π] ,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? M ,则 M 的最 小值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 10 分)

已知三个集合: A ? x ? R log 2 ( x ? 5 x ? 8) ? 1 , B ? x ? R 2x
2

?

?

?

2

? 2 x ?8

?1 ,

?

C ? x ? R x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0 .
(I)求 A ? B ; (II)已知 A ? C ? ?, B ? C ? ? ,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分)

?

?

f ( x) ? a sin ?? x ? ? ? ? b ? x ? R ? 的部分图象如图所示,其中 a , b 分别是 ?ABC y π π 的内角 A, B 的对边, ? ? 0, ? ? [? , ] . 2 1
已知函数

2 2

(I)求 ? , ? , a, b 的值;

π 8

O

3π 8

x

(II)若 cos C ? f (

C )+1 ,求 ?ABC 的面积 S . 2
3

2 1

19. (本小题满分 12 分) 中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”,具体方案如下: 方案代号 1 2 3 4 5 6 7 基本月租(元) 30 98 168 268 388 568 788 免费时间(分钟) 48 170 330 600 1000 1700 2588 超过免费时间的话费(元/分钟) 0.60 0.60 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30

(I)写出“套餐”中方案 1 的月话费

(月通话量是指一个月 y (元)与月通话量 t (分钟)

内每次通话用时之和)的函数关系式; (II)学生甲选用方案 1 ,学生乙选用方案 2 ,某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相 同,求该月学生甲的电话资费; (III)某用户的月通话量平均为 320 分钟,则在表中所列出的七种方案中,选择哪种方 案更合算,说明理由. 20. (本小题满分 12 分) 已知 ? , ? 均为锐角,且 cos ? ?

(I)比较 ? , ? 的大小; (II)设 ? , ? 均为锐角,且 sin(? ? ? )sin( ? ? ? ) ? 1, 求 ? ? ? 的值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? b 的图象在点 x ? 1 处的切线方程为 y ? 为常数. (I)求 a , b 的值; (II)设命题 题

2 5 1 , tan ? ? . 5 3

1 ,其中实数 a , b 3

p 为“对任意 x1 ? (2, ??) ,都存在 x2 ? (1, ??) ,使得 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 ”,问命

p 是否为真命题?证明你的结论.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1? x , 其中实数 a 为常数且 a ? 0 . 1? x

(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II)若函数 f ( x) 既有极大值,又有极小值,求实数 a 的取值范围及所有极值之和; (III)在(II)的条件下,记 x1 , x2 分别为函数 f ( x) 的极大值点和极小值点, 求证: f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . )? 2 2
4

数学(文科)参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合要求. 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 A 5 D 6 B 7 A 8 C 9 C 10 A 11 D 12 B

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 3 ; 14. [3, ??) ; 15. ( ,1) ;

1 2

16.

2π ? 3. 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知三个集合: A ? x ? R log 2 ( x ? 5 x ? 8) ? 1 , B ? x ? R 2x
2

?

?

?

2

? 2 x ?8

?1 ,

?

C ? x ? R x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0 .
(I)求 A ? B ; (II)已知 A ? C ? ?, B ? C ? ? ,求实数 a 的取值范围. 解:(1) ? A ? x ? R x ? 5 x ? 8 ? 2 ? ?2,3? ,
2

?

?

?

?

………………………2 分 ………………………4 分 ………………………5 分

B ? x ? R x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ? ?2, ?4? ,

?

?

? A ? B ? ?2,3, ?4?.
(2) ? A ? C ? ?, B ? C ? ? ,

? 2 ? C, ?4 ? C,3 ? C.

………………………6 分

? C ? x ? R x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0 ,

?

?

?22 ? 2a ? a 2 ? 19 ? 0, ? ? ?(?4)2 ? 4a ? a 2 ? 19 ? 0, ?32 ? 3a ? a 2 ? 19 ? 0. ?

………………………8 分

5

??3 ? a ? 5, ? 即 ??2 ? 7 ? a ? ?2 ? 7, 解得 ?3 ? a ? ?2. ………………………10 分 ?a ? ?2或a ? 5. ?
所以实数 a 的取值范围是 [?3, ?2). 18. (本小题满分 12 分)
已知函数

f ( x) ? a sin ?? x ? ? ? ? b ? x ? R ? 的部分图象如图所示,其中 a , b 分别是 ?ABC
? ? 0,? ? [? , ] .
2 1 π 8

的角 A, B 所对的边,

π π 2 2

y
O
3π 8

(I)求 ? , ? , a, b 的值;

x

(II)若 cos C ? f (

C )+1 ,求 ?ABC 的面积 S . 2
2 1

解: (1) a ? 0, ? ? 0 及图象特征知:

① f ( x) 的最小正周期



?

? 2[

3π π ? ( ? )] ? π, 得 ? ? 2. ………………………2 分 8 8

②当 sin ?? x ? ? ? ? ?1 时, f ( x)min ? ?a ? b ? ? 2 ?1; 当 sin ?? x ? ? ? ? 1 时, f ( x)max ? a ? b ? 2 ?1 . 解得 a ? 2, b ? 1. ………………………4 分 ③ f (? ) ?

π 8

π π π π 2 sin(2(? ) ? ? ) ? 1 ? ? 2 ? 1 ,得 ? ? ? ? 2kπ ? , ? ? 2kπ ? , k ? Z. 8 4 2 4

由 ? ? [?

π π π , ] 得? ? ? . 2 2 4 π , a ? 2, b ? 1. ………………………6 分 4

所以 ? ? 2, ? ? ?

(II)由 f ( x) ?

C π? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 及 cos C ? f ( )+1 得, 2 4? ?

1 π? ? cos C ? 2 sin ? C ? ? ? sin C ? cos C ,即 cos C ? sin C. …………………8 分 2 4? ?

6

又 sin 2 C ? cos2 C ? 1 ,得 sin 2 C ?

4 2 5 ,sin C ? ? . ……………………………10 分 5 5

由 0 ? C ? π 得, sin C ?

2 5 1 10 , S ? ab sin C ? . …………………………12 分 5 2 5

19. (本小题满分 12 分) 中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”,具体方案如下: 方案代号 1 2 3 4 5 6 7 基本月租(元) 免费时间 (分钟) 超过免费时间的话费(元/分钟) 30 98 168 268 388 568 788 48 170 330 600 1000 1700 2588 0.60 0.60 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30

(I)写出“套餐”中方案 1 的月话费 y (元)与月通话量 t (分钟) (月通话量是指一个月 内每次通话用时之和)的函数关系式; (II)学生甲选用方案 1 ,学生乙选用方案 2 ,某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相 同,求该月学生甲的电话资费; (III)某用户的月通话量平均为 320 分钟,则在表中所列出的七种方案中,选择哪种方 案更合算,说明理由.
0 ? t ? 48, ?30, 解: (1) y ? ? , ?30 ? 0.6 ? (t ? 48) , t ? 48. 0 ? t ? 48, ?30, 即: y ? ? ?0.6t ? 1.2 , t ? 48.

…………………………3 分

…………………………4 分

(2)设该月甲乙两人的电话资费均为 a 元,通话量均为 b 分钟. 当 0 ? b ? 48 时, 甲乙两人的电话资费分别为 30 元, 98 元,不相等;……5 分 当 b ? 170 时, 甲乙两人的电话资费分别为 y1 ? 30 ? 0.6(b ? 48) (元),

y2 ? 98 ? 0.6(b ?170) 元, y2 ? y1 ? ?5.2 ? 0 , y2 ? y1 ; ………………6 分
当 48 ? b ? 170 时, 甲乙两人的电话资费分别为 a ? 30 ? 0.6(b ? 48) (元),

a ? 98 (元), 解得 b ?

484 . 3
………………8 分

所以该月学生甲的电话资费 98 元. (3)月通话量平均为 320 分钟,方案 1 的月话费为:

7

30+0.6× (320-48)=193.2(元) ;

………………9 分

………………10 分 方案 2 的月话费为:98+0.6× (320-170)=188(元) ; 方案 3 的月话费为 168 元. 其它方案的月话费至少为 268 元. ………………11 分 ………………12 分 经比较, 选择方案 3 更合算. 20.(本小题满分 12 分) 已知 ? , ? 均为锐角,且 cos ? ? (I)比较 ? , ? 的大小; (II)设 ? , ? 均为锐角,且 sin(? ? ? )sin( ? ? ? ) ? 1, 求 ? ? ? 的值. 解: (1)? cos ? ?

2 5 1 , tan ? ? . 5 3

2 5 π , ? ? (0, ) , 5 2 5 1 , tan ? ? . 5 2
………………………3 分

? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

? tan ? ?
?? ? ? .

1 1 π π ? ? tan ? , ? ? (0, ), 函数 y ? tan x 在 (0, ) 单调递增, 2 3 2 2
………………………6 分

(2) ? tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? ? 1, 且 ? ? ? ? (0, π) , 1 ? tan ? tan ?
………………………8 分

π ?? ? ? ? . 4

π ? ? , ? , ? , ? ? (0, ) , 2
?? ? ? , ? ? ? ? (0, π), 0 ? sin(? ? ? ),sin(? ? ? ) ? 1. ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? 1,

π ? sin(? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) ? 1, ? ? ? ? ? ? ? ? . ………………………10 分 2
?? ? ? ? π , 4

8

?? ? ? ? π ? (? ? ? ) ?
21.(本小题满分 12 分)

3π . 4

………………………12 分

已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? b 的图象在点 x ? 1 处的切线方程为 y ? 为常数. (I)求 a , b 的值; (II)设命题 题

1 ,其中实数 a , b 3

p 为“对任意 x1 ? (2, ??) ,都存在 x2 ? (1, ??) ,使得 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 ”,问命

p 是否为真命题?证明你的结论.
解: (I)? f ( x) ? ax3 ? x 2 ? b, ? f ?( x) ? 3ax2 ? 2 x. ………………1 分

? f (1) ? a ? b ? 1, f ?(1) ? 3a ? 2,

? 函数 f ( x) 的图象在点 x ? 1 处的切线方程为 y ? (a ? b ? 1) ? (3a ? 2)( x ? 1) ,
即 y ? (3a ? 2) x ? b ? 2a ? 1 ………………4 分

? 该切线方程为 y ?

1 1 , ? 3a ? 2 ? 0, b ? 2a ? 1 ? , ………………5 分 3 3
………………6 分 ………………7 分

即a ? ? (II)命题

2 , b ? 0. 3

p 为真命题.

证明如下: f ( x) ? ?

2 3 x ? x 2 , f ?( x) ? ?2x2 ? 2x ? ?2x( x ?1). 3

当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (1, ??) 单调递减, 集合 A ? f ( x) x ? 1, x ? R ? (??, f (1)) ? (??, ).

?

?

1 3

………………9 分

当 x ? 2 时, f ( x) 的取值范围是 ( ??, f (2)) ? ( ??, ? ).

4 3

集合 B ? ?

? 1 ? 3 x ? 2, x ? R ? ? (? ,0). 4 ? f ( x) ?

………………11 分

从而 B ? A.

9

所以对任意 x1 ? (2, ??) ,都存在 x2 ? (1, ??) ,使得 即 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 ? f ( x2 ), f ( x1 )
………………12 分

1? x , 其中实数 a 为常数且 a ? 0 . 1? x

(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II)若函数 f ( x) 既有极大值,又有极小值,求实数 a 的取值范围及所有极值之和; (III)在(II)的条件下,记 x1 , x2 分别为函数 f ( x) 的极大值点和极小值点,

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2 2 ? 1 的定义域为(0,+?), 解:(1) 函数 f ( x) ? a ln x ? 1? x
求证: f (

f ?( x) ?

a 2 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a , ? ? x (1 ? x)2 x( x ? 1)2

………………1 分

设 g ( x) ? ax2 ? 2(a ?1) x ? a, ? ? 4(a ?1)2 ? 4a2 ? 4(1 ? 2a). 1. 当a ?

1 时, ? ? 0 , g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在(0,+?)内单调递增; 2
………………2 分

② 当0 ? a ?

1 时, ? ? 0 ,方程 g ( x) ? 0 有两个不等实根: 2

x1 ?

1 ? a ? 1 ? 2a 1 ? a ? 1 ? 2a ,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 . , x2 ? a a

f ?( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? 0 ? x ? x1, 或 x ? x2 . f ?( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? x1 ? x ? x2 .
综上所述,当 a ? 当0? a ? ………………3 分

1 时, f ( x) 的单调递增区间为(0,+?),无单调递减区间; 2

1 1 ? a ? 1 ? 2a 1 ? a ? 1 ? 2a 时, f ( x) 的单调递增区间为(0, ), ( ,+?), 2 a a

单调递减区间(

1 ? a ? 1 ? 2a 1 ? a ? 1 ? 2 a , ).………………4 分 a a

10

(II)由(I)的解答过程可知,当 a ? 当0 ? a ?

1 时,函数 f ( x) 没有极值. ………………5 分 2

1 时,函数 f ( x) 有极大值 f ( x1 ) 与极小值 f ( x2 ) , 2 1 ? x1 ? x2 ? 2( ? 1), x1 x2 ? 1. a

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ln x1 ?

1 ? x1 1 ? x2 2(1 ? x1 x2 ) ) ? (a ln x1 ? ) ? a ln( x1 x2 ) ? ? 0. 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )
………………7 分

1 故实数 a 的取值范围为 (0, ) ,所有极值之和为 0. ……………8 分 2 x ? x2 1 1 1 ) ? f ( ? 1) ? a ln( ? 1) ? 2a ? 1 , (III)由(II)知 0 ? a ? ,且 f ( 1 2 2 a a f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 .…………9 分 2 1 1 原不等式等价于证明当 0 ? a ? 时, a ln( ? 1) ? 2a ? 1 ? 0 , 2 a 1 1 即 ln( ? 1) ? ? 2 . ………………10 分 a a
设函数 h( x) ? ln x ? x ? 1 ,则 h(1) ? 0, 当 x ? 1 时, h?( x ) ? 函数 h( x) 在区间 [1, ??) 单调递减, 由0 ? a ? .

1 ?1 ? 0 . x

1 1 1 知 ? 1 ? 1 , h( ? 1) ? h(1) ? 0 2 a a 1 1 即 ln( ? 1) ? ? 2 . 从而原不等式得证. a a

………………11 分 ………………12 分

11


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