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高中数学:4.4.2参数方程与普通方程的互化课件新课标人教A版选修4-4


参数方程与普通方程的互化

1、导入新课
同学们,请回答下面的方程各表示什么样的曲线:

例:2x+y+1=0

直线
抛物线
阅读课 本24页 后,再 回答

(1) y ? 3 x ? 2 x ? 1
2 2 2

x y 椭圆 ( 2

) ? ?1 9 4 ? x ? cos? ? 3 (3)? (?为参数) ? y ? sin ?

? x ? cos? ? 3 (?为参数) ? ? y ? sin ?

? ? ?

?( x ? 3) ? cos ? ? 2 2 y ? sin ? ?
2 2

( x ? 3) ? y ? cos ? ? sin ?
2 2 2 2

( x ? 3) ? y ? 1
2 2

表示圆心 (3,0),半径为 1 的圆 .

1、通过什么样的途径,能从参数方程 得到普通方程?

消去参数

2、在参数方程与普通方程互化中,要 注意哪些方面?

必须使x,y的取值范围保持一致.

2、参数方程化为普通方程
例3、把下列参数方程化为 普通方程,并说明各 表示什么曲线? ? x ? t ?1 ( 1 ) (t为参数) ? ? y ? 1? 2 t

? x ? sin ? ? cos? (2) (?为参数) ? ? y ? 1 ? sin 2?

解:( 1 )由x ? t ? 1 ? 1有 t ? x ? 1 代入y ? 1 ? 2 t , 得到y ? ?2 x ? 3( x ? 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点)
y
(1,-1)

代入消元法
x

o

(2) x ? sin ? ? cos? ? 2 sin(? ? ), 4 所以x ? [? 2 , 2 ], 把x ? sin ? ? cos?平方后减去y ? 1 ? sin 2? 得到x ? y, x ? [? 2 , 2 ].
2

?

这是抛物线的一部分。

y

三角变换 消元法

? 2

o

2

参数方程化为普通方程的步骤

步骤:

1、写出定义域(x的范围)
2、消去参数(代入消元,三角变换消元)

注意:
在参数方程与普通方程的互化中, 必须使x,y前后的取值范围保持一致。

课堂练习:
1、若曲线 { 轨迹是( x ? 1 ? cos 2? y ? sin ?
2

(?为参数),则点( x, y )的

D )

A、直线x ? 2 y ? 2 ? 0, B、以(2,0)为端点的射线 C、圆( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1, D、以(2,0)和(0,1)为端点的线段

2、 若已知直线的参数方程 为{ 与曲线{ x ? 2 cos? y ? 2 sin ?

x ? 1? t y ? 1? t

(t为参数)则它

2 个. (?为参数)的交点有_____

3、普通方程化为参数方程
x2 y2 例4、求椭圆 ? ?1 的参数方程 9 4 ( 1 )设x ? 3 cos? , ?为参数。 (2)设y ? 2t , t为参数

1.如果没有明确x、y与参数的关系,则参数方程是有 限个还是无限个? 2.为什么(1)的正负取一个,而(2)却要取两个? 如何区分?

解:( 1 )把x ? 3 cos?代入椭圆方程,得到 9 cos ? y ? ? 1, 9 4 2 2 2 所以y ? 4(1 ? cos ? ) ? 4 sin ?即y ? ?2 sin ?
2 2

由参数?的任意性,可取 y ? 2 sin ? , x y 所以椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 x ? 3 cos? { (?为参数) y ? 2 sin ?
2 2

x 2 4t 2 (2)把y ? 2t代入椭圆方程,得 ? ?1 9 4 于是x ? 9(1 ? t ), x ? ?3 1 ? t
2 2 2 2 2

x y 所以,椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 2 2 ? ? ?x ? 3 1 ? t ? x ? ?3 1 ? t (t为参数)和? (t为参数) ? ? ? y ? 2t ? y ? 2t ?

3、普通方程化为参数方程
x2 y2 例4、求椭圆 ? ?1 的参数方程 9 4 ( 1 )设x ? 3 cos? , ?为参数。 (2)设y ? 2t , t为参数

1.如果没有明确x、y与参数的关系,则参数方程是有 无限个 限个还是无限个? 2.为什么(1)的正负取一个,而(2)却要取两个? 如何区分? 两个解的范围一样只取一个;不一样时,两个都要取.

高考链接

? x ? 1 ? 2t (09广东(文))若直线 ? (t为参数) ? y ? 2 ? 3t -6 与直线 4 x ? ky ? 1垂直,则常数 k =______.

课堂小结:
1、参数方程化为普通方程的步骤
(1)写出定义域(x的范围)
(2)消去参数(代入消元,三角变换消元)

在参数方程与普通方程的互化中,必须 注意: 使x,y前后的取值范围保持一致。

2、普通方程化为参数方程的步骤
把含有参数等式代入即可

课后作业:
x ? cos? 1 、 若已知曲线的参数方程 为{ (?为参数) y ? cos2? ? 1 与直线y ? a有两个交点, 则a的取值范围为_______

x ? 2 ? cos? 2、P( x, y)是曲线 { (?为参数)上任意 y ? sin ? 一点, 则( x ? 5) ? ( y ? 4) 的最大值为_________
2 2

3、(汕头市2010年普通高中高三教学质量测评(理)) ? x ? ?2 ? cos? ? ? [? ,2? )) 已知点P( x, y) 在曲线 ? (? 为参数, ? y ? sin ? y 上,则 的取值范围为______

x


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