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2.4.1


向量的夹角:
已知两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a , OB ? b , 则∠AOB= θ(0?≤θ≤180?)叫做向量 与 a 的夹角 . b
B

当θ= 0? 时, a 与 b同向; 当θ= 180? 时, a 与 b反向; 当θ= 90? 时, a与 b 垂直,记作 a ? b 。
O

b
θ
A

a

a

b

a

b

a

b

问题:如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一 般向量,其结果又该如何表述?

W ? F ? S ? cos ?
a ? b ? | a | | b | cos ?
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积; 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为? ,我们把数量 | a || b | cos? 叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a · b ,即

a ? b ?| a || b | cos?

说明:
(1) 规定:零向量与任意向量的数量积为0,即
a ? 0 ? 0.

(2) a · b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略,也不能写 成a×b ,a×b 表示向量的另一种运算(外积).

问题3:向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的 结果有什么不同? 实数同向量积的线性运算的结果是向量 两向量的数量积是一个实数,是一个数量 问题4:影响数量积大小的因素有哪些?
a ? b ?| a || b | cos ?
这个数值的大小不仅和向量与的模有关,还和它们的夹角有关。

? 0? ? ? ? 90 ? 夹角 的范围 ? ? a ? b 的正负 正

? ? 90?
0

90? ? ? ? 180 ?



数量积符号由cos?的符号所决定

例1.已知 | a |? 5,| b |? 4 ,a 与 b 的夹角θ =120? , 求 a ?b 。
解:

a ? b ?| a || b | cos ?
=5 ? 4 ? cos120

1 ? 5 ? 4 ? (? ) 2 ? ?10

二、投影:
b
? A1

数量积的几何意义: B b B

O

? a A O
a

B1 A

a cos?

b cos?

a cos? ( b cos? )叫做向量 a 在 b 方向上
(向量 b 在 a 方向上)的投影.

a 上的投影是数量,不是向量, 什么时候为正,什么时候为负? b cos?
B b
?

向量 b 在方向

B b
?

B b

O

a

B1 A

B1

O

aA

? O( B1 )

a

A

b cos? ? 0
a

b cos? ? 0
b

b cos? ? 0
a

O

b

B

A

B

O

A

b cos? ? b

b cos? ? ? b

三、平面向量数量积的几何意义:
B

b
?
O

a

a ? b ? a b cos?
A

| b | cos?

数量积a ? b等于a的长度 a 与b在a的 方向上的投影数量 b cos ?的乘积.

练一练:
若 | a |? 4 , | b |? 8 , a与b夹角为 ? (1)当 ? ? 30 时a在b上的投影为 2 3
0

(2)当 ? ? 90 时a在b上的投影为
0 0

0

(3)当 ? ? 120 时a在b上的投影为 ? 2 (4)当 ? ? 120 时b在a上的投影为 ? 4
0

由向量数量积的定义,试完成下面问题:
0 (1)a ? b ? a ? b ? _______ .
证明向量 垂直的依据

| a || b | ; (2)若 a 与 b 同向,a ? b ? _______ ? | a || b | ; 若 a 与 b 反向,a ? b ? _______ | a | . | a |? a ? a a ? a ? _____
2

(3) | a ? b | ____ ≤ | a || b | .( 填 ? 或 ?)
注:常记 a ? a 为 a 。
2

(a)2 ?| a |2

四、平面向量数量积的运算率:
(1)交换律:a ? b ? b ? a
(? a) ? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b) (2)数乘结合律:

(3)分配律: (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c 数量积不满足结合律和消去率

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
a?c ? b?c ? a ? b

1.a ? a ? a ? a

2

2

2. a ? b ? a ? b ? a ? b

?

??

?

2

2

3. a ? b ? c ? d ? a ? c ? a ? d ? b ? c ? b ? d
2 2 2

? ?? ? 4. ? a ? b ? ? a ? 2a ? b ? b

平面向量数量积的重要性质: ? ? ? ? 是非零向量, e 是与 b 方向相同的 设 a 、b ? ? 单位向量, ?是 a 与 e 的夹角,则:

?1?a ? e ? e ? a ? a cos?
?2?a ? b ? a ? b ? 0
判断两个向量垂直的依据

? | a || b |, 当a与b同向时 ? ?3?a // b ?a ? b ? ? ? ? | a || b |, 当a与b反向时 ?

平面向量数量积的重要性质:

? ? ?2 ? 2 ?4 ?a ? a ? a ? a ? ? ? ?2 或a ? a?a ? a

求向量模的依据
0 0

?5?cos? ?

a ?b ab

? ? ?0 ,180

?

求向量夹角的依据

?6? a ? b

? ab

(2)判断:

1)若 a ? 0, 则对于任意的 b, 都有a ? b ? 0. 2)若 a ? 0, 则对于任意的 b, 都有a ? b ? 0. 3)若 a ? 0, 且 a ? b ? 0, 则b ? 0. 4)若 a ? b ? 0, 则a, b中至少一个为0. 5)若 a ? b ? b ? c, 则a ? c. 6)a ? b ? c ? a ? (b ? c). 7)对于任意的a, 都有 | a | ? a
2 2

4)若 a ? b ? 0, 则a ? 0或b ? 0或a ? b. 若 a ? b ? 0(a ? 0且b ? 0), 则a ? b.

5)a ? b ? b ? c ?| a | cos?1 ? | c | cos?2 .

6)a ? b ? c ? a ? (b ? c).

7) | a | ? a
2

2

注意: 1、两个向量的数量积是一个实数,不是向 量,符号由cosθ的符号确定; 2、两个向量的数量积称为内积,写成 a ? b ; 与代数中的数a· b不同,书写时要严格区分; 3、在实数中,若a≠0,且a· b=0,则b=0;但在数 量积中,若 a ? 0 ,且 a ? b ? 0 ,不能推出 b ? 0 。 因为其中cosθ有可能为0 4、已知实数a、b、c(b≠0),则有ab=bc 得a=c.但是有 a ? b ? b ? c 不能得 a ? c 5、在实数中(a· b)c=a(b· c), 但 (a ? b)c ? a(b ? c)

例2.我们知道,对任意 a, b ? R ,恒有

(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ,(a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 .
对任意向量 a, b是否也有下面类似的结论? ,

(1)(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ;
2

2

2

(2)(a ? b)(a ? b) ? a ? b .

2

2

例3.已知a ? 6, b ? 4, a与b的夹角为 60?,求(a ? 2b) ? (a ? 3b)

例4.已知 a ? 3, b ? 4, 且a与b不共线,k为何值时, 向量a ? k b与a ? k b互相垂直?

? 巩固提高

一、利用向量的垂直解题:
o

例 31: 、已知 a ? 5, b ? 4, a与b的夹角为60 ,问当k为何值时, 例 向量ka ? b与a ? 2b垂直?

? (k a ? b ) ? (a ? 2b ) ?0 ? (k a ? b ) ? (a ? 2b ) 解:
王新敞
奎屯 新疆

?k a ? (2k ?1 ) a ? b ? 2b ? 0
?k a ? (2k ?1 ) a b cos60 ? 2 b ? 0
o 2 2

2

2

1 ? 25k ? (2k ? 1 ) ? 5 ? 4 ? ? 2 ? 4 2 ? 0 ? k ? 14 2 15
14 ?当k ? 时 , 向 量 k a ? b与a ? 2b垂 直 。 15

二、利用 a ?
2 2

a ? a?a

2

求模:
2

? 例 2、已知 a ? b ? 5,向量a与b的夹角为 ,求 a ? b , a ?b ? 例 2: 3

解:因为 a ? a ? 25, b ? b ? 25

2

25 a ? b ? a ? b cos ? ? 5 ? 5 ? cos ? 3 2

?

? a?b ?

?a ? b?

2

? a ? 2a ? b ? b ? 5 3
2

2

2

a ?b ?

?a ? b?

? a ? 2a ? b ? b ? 5

2

2

三、利用 a ? b ? a b cos? 求夹角:

例3 3: 例 、设m和n是两个单位向量,其夹角为 , 3 求a=2m+n, b=2n-3m的夹角? 解:a ? b ? 2m ? n ? 2n ? 3m
2 2

?

?

??

?

? 4m ? n ? 2n ? 6m ? 3m ? n

? m ? n ? 2n ? 6m 2 2 ? 7 ? m ? n cos ? 2 n ? 6 m ? ? 3 2

2

2

三、利用 a ? b ? a b cos? 求夹角:

例3 3: 例 、设m和n是两个单位向量,其夹角为 , 3 求a=2m+n, b=2n-3m的夹角? 解:a ? 2m ? n ?
2

?

? 2m ? n ?
?

2

? 4m ? 4m ? n ? n
2

2

2

7 ? a ?b 1 2 ? 2 ? cos ? ? ? ? ? ?? ? ?0, ? ??? ? 2 7? 7 3 a b

? 4 m ? 4 m ? n cos ? n ? 7 同理 b ? 7 3

练习:已知 a ? 2, b ? 3, a与b的夹角为 120 ,求
o

?1?a ? b?2?a

2

? b ?3? 2a ? b ? a ? 3b
2
o

?

??

? ?4? a ? b ?5? a ? b

?3??2a ? b ?? ?a ? 3b ? ? 2a
2

?2?a

1 ?1?a ? b ? a b cos 120 ? 2 ? 3 ? (? ) ? ?3 解: 2 2 2
2

? b ? a ? b ? 4 ? 9 ? ?5
2

2

? 5a ? b ? 3b
2

2

? 2 a ? 5 a b cos120 ? 3 b ? 8 ?15 ? 27 ? ?34
o

?4? a ? b ?
?5? a ? b ?

( a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ? 4 ? 6 ? 9 ? 7
2

2

2

(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ? 4 ? 6 ? 9 ? 19
2

2

2

练习 : 1 、已知?ABC中, AB ? a , AC ? b , 当a ? b ? 0
或a ? b ? 0时,试判断?ABC的形状。

变式:已知?ABC中, AB ? a, BC ? b,当a ? b ? 0时, 试判断?ABC的形状。

利用平面向量数量积求解长度问题
| a |? a ? a
例1(2008上海):已知 a ? 1, b ? 2,向量a与b的夹角为 , 3 求 a?b , a?b

?

练习 (2008江苏): 已知 a ? 1, b ? 3,向量a与b的夹角为 120 , 求 5a ? b

变式:

若 a ? 3, b ? 2, a ? b ? 13,求:(1) a ? b

(2)a ? b与a ? b的夹角的余弦值.

? ? a ?b 利用平面向量数量积求解夹角问题 cos? ? ? ? | a || b |

例: 已知a、b都是非零向量,且a + 3b与7a ? 5b
王新敞
奎屯 新疆

垂直,a ? 4b与7a ? 2b垂直,求a与b的夹角

(2007上海):已知 a ? 2, b ? 1, a( ? a ? b) ?1 求a ? b.

3:已知 a ? 5, b ? 4,向量a与b的夹角为 , 3 如果(k a ? b)( ? a ? 2b),求实数k的值.

?

4:已知 a ? 6,向量a与b的夹角为 , 3 且(a ? 3b) (a ? 2b)=-72,求 b .

?

【总一总★成竹在胸】
对功W=|F||s|cos?结构分析
抽 象

几何 意义

数形

结合

向量数量积的定义 a · → → b=| a | | b | cos ?

公 式 变 形

特 殊 化

重 要 性 质

小结
向量的数量积计算时, 一要找准向量的模; 二要找准两个向量的夹角。

作业 P108 习题A组 1、2、3

结束


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