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3.2.1 直线的点斜式方程


3.2 直线的方程

3.2.1 直线的点斜式方程

【知识提炼】 1.直线的点斜式方程和斜截式方程

点斜式
已知 斜率k 点P(x0,y0)和______

斜截式
b 斜率k和直线在y轴上的截距__

条件

图示

点斜式 方程 k(x-x0) y-y0= _______ 斜率存在

斜截式 y=kx+b _______

形式
适用 条件

2.直线在y轴上的截距 纵坐标b 定义:直线l与y轴交点(0,b)的________. 符号:可正,可负,也可为零.

【即时小测】 1.思考下列问题: (1)直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢? 提示:不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程 ,凡是垂直于x轴的直线, 其方程都不能用点斜式表示.

(2)直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗? 提示:直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个实数, 可正、可负、可为0.当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距 离;当截距为负时,它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.

2.过点M(-3,1),斜率为2的直线的方程是 A.y=2x+7 C.y=-2x+7 B.y=2x-7 D.y=-2x-7

(

)

【解析】选A.由直线的点斜式方程可得:y-1=2(x+3),即y=2x+7.

3.直线l的点斜式方程是y-2=-2(x+3),则此直线的斜率等于 A.3 B.-3 C.2 D.-2

(

)

【解析】选D.由直线的点斜式方程的形式可知该直线的斜率为 -2.

4.一条直线的方程为y=-2x-3,则该直线在y轴上的截距等于

.

【解析】由直线的斜截式方程的形式可知直线 y=-2x-3在y轴上的截距 等于-3. 答案:-3

5.直线l过点(1,-2),且直线的倾斜角为60°,则此直线的斜截式方程 为 .
3 ,所以直线的点斜式方 3 x3 -2.

【解析】因为该直线的斜率为k=tan60°= 程为y-(-2)=
3 (x-1),化为斜截式为y=

答案:y= 3 x- 3 -2

【知识探究】 知识点1 直线的点斜式方程

观察图形,回答下列问题:

问题1:上图中直线l的斜率如何用点P与点P0表示?

问题2:要得到直线的点斜式方程应具备什么前提条件?

【总结提升】 1.直线的点斜式方程的前提条件 (1)已知一点P0(x0,y0)和斜率k. (2)斜率必须存在. 只有这两个条件都具备,才可以写出点斜式方程.

2.直线的点斜式方程形式的关注点 方程y-y0=k(x-x0)与方程k=
y ? y0 不是等价的,前者是整条直线,后者 x ? x0

表示去掉点P0(x0,y0)的一条直线. 3.当k取任意实数时,方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点(x0,y0)的无数条 直线.

知识点2

直线的斜截式方程

观察图形,回答下列问题:

问题1:根据图中的条件,能否写出该直线的方程? 问题2:直线在y轴上的截距有几种情况?

【总结提升】 点斜式与斜截式的关系 (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,即过定点P(0,b).它 们都不能表示斜率不存在的直线. (2)在直线方程的各种形式中,点斜式是最基本的形式,它是推导其它 形式的基础. (3)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式,点斜式的形式不惟 一,而斜截式的形式是惟一的.

(4)直线方程的斜截式与一次函数解析式的区别和联系 ①斜截式方程中,k≠0时,y=kx+b即为一次函数,k=0时,y=b不是一次 函数. ②一次函数y=kx+b(k≠0)一定可以看成一条直线的斜截式方程.

【知识拓展】 1.截距的理解 (1)直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的 .直线与y轴的交点(0,b) 的纵坐标b称为此直线的纵截距,值得强调的是,截距是坐标,它可能是 正数,也可能是负数,还可能是0,不能将其理解为“距离”而恒为非负 数.

(2)直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距.并不是每 条直线都有横截距和纵截距,如直线x=1没有纵截距,直线y=2没有横截 距.

2.对直线l在y轴上的截距b的两点说明 (1)本质:直线l与y轴交点的纵坐标. (2)四种情况: ①当直线l与y轴正半轴相交时,截距b>0; ②当直线l与y轴负半轴相交时,截距b<0; ③当直线l经过原点时,截距b=0; ④当直线l与y轴平行时,l在y轴上没有截距.

【题型探究】 类型一 求直线的点斜式方程

【典例】1.(2015·杭州高一检测)经过点(-5,2)且平行于y轴的直线 方程为 .

2.直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l,则直线l 的点斜式方程为 .

3.(2015·景德镇高一检测)一直线l1过点A(2,-3),其倾斜角等于直线 l2:y=
1 x 的倾斜角的2倍,求这条直线l1的点斜式方程. 3

【解题探究】1.典例1中平行于y轴的直线的斜率存在吗? 提示:平行于y轴的直线的斜率不存在,则过点(-5,2)且斜率不存在的 直线方程为x=-5. 2.典例2中逆时针旋转90°后得直线l的倾斜角为多少? 提示:直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45°,逆时针旋转90°后直 线l的倾斜角为135°,所以直线l的斜率为-1.

3.典例3中直线l2的倾斜角为多少?直线l1的倾斜角等于多少? 提示:由点斜式方程可知直线l2的斜率为 所以直线l1的倾斜角为60°.
1 ,所以其倾斜角为30°, 3

【解析】1.因为直线平行于y轴,所以直线斜率不存在,所以方程为 x=-5. 答案:x=-5 2.直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45°.由题意知,直线l的倾斜 角为135°,所以直线l的斜率k′=tan135°=-1,又点P(3,4)在直线l 上,由点斜式方程知,直线l的方程为y-4=-(x-3). 答案:y-4=-(x-3)

1 3.由点斜式方程可知直线l2的斜率为 ,所以其倾斜角为30°,所以 3

直线l1的倾斜角为60°,其斜率k=tan60°= 3 ,由直线方程的点斜式 可得,直线l1的方程为y+3= 3 (x-2).

【方法技巧】求直线的点斜式方程的方法步骤

【拓展延伸】求直线的点斜式方程的注意点 (1)前提条件:只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程. (2)倾斜角为0°,即k=0时,这时直线l与x轴平行或重合,l的方程是yy0=0. (3)倾斜角为90°时,直线无斜率,这时直线l与y轴平行或重合,l的方 程是x-x0=0.

【补偿训练】(2015·福安高一检测)直线l过点P(2,-3)且与过点 M(-1,2),N(5,2)的直线垂直,求直线l的方程. 【解题指南】先求出过已知两点M,N的直线的斜率,再由已知条件判断 直线l的倾斜角,可得所求直线的方程.

2?2 【解析】直线MN的斜率k= =0,所以该直线平行于x轴.又直线l 5 ? ? ?1?

垂直于直线MN,因此直线l的倾斜角为90°,又直线l过点P(2,-3),所以 直线l的方程为x-2=0,即x=2.

类型二

求直线的斜截式方程

【典例】(2015·常德高一检测)已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方 程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程. 【解题探究】由直线l1的方程y=-2x+3,能得出此直线的斜率为多少吗? 由l2的方程y=4x-2,可知此直线在y轴上的截距为多少? 提示:直线l1的斜率为-2,直线l2在y轴上的截距为-2.

【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l∥l1,所以l的斜 率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=-2, 由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.

【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例中“直线l与l1平行”改为“直线l与l1垂直”, 其他条件不变,又如何求解? 【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l⊥l1,所以l的斜
1 1 ? . 由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b= k1 2 1 -2,由斜截式可得直线l的方程为y= x-2. 2

率k= ?

2.(变换条件)若将典例中“且与l2在y轴上的截距相同”改为“且与l2 在y轴上的截距互为相反数”,又如何求解? 【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l∥l1,所以l的斜 率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=2, 由斜截式可得直线l的方程为y=-2x+2.

【方法技巧】求直线的斜截式方程的策略 (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的 斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示. (2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程, 只需知道参数k,b的值即可. (3)利用直线的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,只需引入参数 b;同理如果已知截距b,只需引入参数k.

【补偿训练】(2015·潍坊高一检测)直线l与直线l1:y=3x+6在y轴上有 相同的截距,且l的斜率与l1的斜率互为相反数,求直线l的方程. 【解题指南】确定l1的斜率和它在y轴上的截距,再求出l的斜率和它 在y轴上的截距,由斜截式写方程. 【解析】由直线l1的方程可知它的斜率为3,它在y轴上的截距为6,所 以直线l的斜率为-3,在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l的方程为 y=-3x+6.

【延伸探究】 1.(变换条件)若将本题中的“直线l与直线l1:y=3x+6在y轴上有相同的 截距”,改为“截距互为倒数”,其他条件不变,又如何求直线l的方程? 【解析】由直线l1的方程可知它的斜率为3,它在y轴上的截距为6,所 以直线l的斜率为-3,在y轴上的截距为 为y=-3x+ 1 .
6 1 .由斜截式可得直线l的方程 6

2.(变换条件)若将本题中“l的斜率与l1的斜率互为相反数”改为“直 线l与l1垂直”,其他条件不变,又如何求解? 【解析】由直线l1的方程可知它的斜率为3,它在y轴上的截距为6,由 题意可得直线l的斜率为- ,在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l 的方程为y=- 1 x+6.
3 1 3

类型三

两直线平行与垂直的应用

【典例】1.(2015·鄂州高一检测)若直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2: y=4x-3垂直,则a= . .

2.若直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,则a=

3.(2015·安阳高一检测)已知直线l过点A(2,-3),若直线l与直线y= -2x+5平行,求其方程.

【解题探究】1.典例1中直线l1与直线l2垂直可得两直线的斜率有怎样 的关系? 提示:可得两直线的斜率乘积等于-1. 2.典例2中由两直线平行可得两直线的斜率有怎样的关系? 提示:可得两直线的斜率相等. 3.典例3中由直线l与直线y=-2x+5平行,可得到什么结论? 提示:可得两直线斜率相等.

【解析】1.由题意可知,kl1=2a-1,kl2=4.因为l1⊥l2,所以4(2a-1)=-1, 解得a= 答案: 3
8 3 3 .故当a= 时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直. 8 8

2.因为l1∥l2,所以a2-2=-1,且2a≠2,解得a=-1;所以a=-1时两直线平 行. 答案:-1

3.方法一:因为直线l与y=-2x+5平行. 所以kl=-2,由直线方程的点斜式知y+3=-2(x-2),即l:2x+y-1=0. 方法二:因为已知直线方程为y=-2x+5. 又l与其平行,则可设l为y=-2x+b, 因为l过点A,所以有-3=-2〓2+b,则b=1, 所以l:y=-2x+1,即2x+y-1=0.

【延伸探究】若把典例3中的平行改为垂直,此时直线l的方程又如何? 【解析】方法一:因为直线l与y=-2x+5垂直.
1 所以kl= 1 ,由直线方程的点斜式知y+3= (x-2), 2 2

即l:x-2y-8=0. 方法二:因为已知直线方程为y=-2x+5. 又l与其垂直,则可设l为y= x+b,
1 因为l过点A,所以有-3= 〓2+b,则b=-4, 2 1 所以l:y= x-4,即x-2y-8=0. 2 1 2

【方法技巧】两条直线平行和垂直的判定 已知直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2, (1)若l1∥l2,则k1=k2,此时两直线与y轴的交点不同,即b1≠b2;反之 k1=k2且b1≠b2时,l1∥l2.所以有l1∥l2?k1=k2且b1≠b2. (2)若l1⊥l2,则k1·k2=-1; 反之k1·k2=-1时,l1⊥l2. 所以有l1⊥l2?k1·k2=-1.

【变式训练】已知在△ABC中,A(0,0),B(3,1),C(1,3). (1)求AB边上的高所在直线的方程. (2)求BC边上的高所在直线的方程. (3)求过A与BC平行的直线方程. 【解题指南】先求直线的斜率,再代入点斜式方程求解.

【解析】(1)直线AB的斜率k1= 1 ? 0 ? 1 , AB边上的高所在直线斜率为
3?0 3

-3且过点C,所以AB边上的高所在直线方程为y-3=-3(x-1).

(2)直线BC的斜率k2=

3 ?1 =-1,BC边上的高所在直线的斜率为1且过点 1? 3

A,所以BC边上的高所在直线的点斜式方程为y=x. (3)由(2)知过点A与BC平行的直线的斜率为-1,其点斜式方程为y=-x.

易错案例

求直线的斜截式方程

【典例】(2015·韶关高一检测)已知直线l的斜率为3,且与两坐标轴

围成的三角形的面积为6,则直线l的方程为________.

【失误案例】

【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是误认为b是边长或是距离,只能取正值,混淆截 距的概念,没有真正理解截距的定义实质.

【自我矫正】由题意设直线方程为y=3x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=
b b 由于直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 6,故 1 ? | b | ? | ? |? 6, ? , 2 3 3

解得b2=36,故b=〒6, 所以直线方程为y=3x+6或y=3x-6. 答案:y=3x+6或y=3x-6

【防范措施】准确理解截距的概念 直线在y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标,可正,可负,可为零, 截距不是距离,若把截距理解为正值,则易漏解.


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