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解析几何中的最值问题


学 案(解析几何中的最值模型)
例 1:设 P 是曲线 y 2 ? 4( x ? 1) 上的一个动点,求点 P 到点(0,1)的距离与点 P 到 y 轴的距离之和的最小值. 例 2:已知点 A(1,0),圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ,动点 M 在圆 C 上,设∠CMA=θ,求θ的最大值. 例 3:已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B,|AB| ≤2p. (1) 求 a 的取值范围 (2) 若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大值. 例 4:已知 F 是椭圆 M :

y2 ? x 2 ? 1 的上焦点,椭圆的上准线与 y 轴交于点 C,过焦点 F 的动直线 l 交椭圆于 A、 2

B 两点,求△ABC 面积的最大值,并写出面积取得最大值时直线 l 的方程. 例 5:在平面直角坐标系 xOy 中,有一个以 F1 (0,? 3) 和 F2 (0, 3) 为焦点,离心率为

3 的椭圆,设椭圆在第 2

一象限的部分为曲线 C, 动点 P 在 C 上, C 在 P 点处的切线与 x、 y 轴的交点分别为 A、 B, 且向量 OM ? OA ? OB , 求:(1)点 M 的轨迹方程 (2) | OM | 的最小值 例 6:如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为 2r,短半轴长为 r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,记 CD=2x,梯形面积为 S. (1) 求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (2) 求面积 S 的最大值.

例2

例3

例4

例6

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1


A. 2 ? 1
2


) D. ) D. ?

1) 点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 上,点 B 在直线 y=x-1 上,则|AB|的最小值是(

B. 1 ?
2

2 2

C. 2

2 2

2) 设 a,b∈R, a ? 2b ? 6 ,则 a+b 的最小值是( A. ? 2 2 B. ?

5 3 3

C.-3

7 2

3) 抛物线 y ? x 2 上到直线 2 x ? y ? 4 的距离的最小值为__________.

4) 已知双曲线

3 x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F, 点 A(9,2), 点 P 在双曲线上, 则 | PA | ? | PF | 的最小值为__________ 5 9 16

5) 已知抛物线 y 2 ? 8x 内一点 P(2,3),在抛物线上求一点 Q,使|PQ|-|PF|最大.

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 B,D 两点,过 F2 的直线交椭圆于 6) 已知椭圆 3 2
A,C 两点,且 AC⊥BD,垂足为 P. (1)设 P 点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,证明:
2 x0 y2 ? 0 ?1; 3 2

(2)求四边形 ABCD 的面积的最小值.

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2

7) 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? x 2 上异于坐标原点 O 的两个不同动点 A、B 满足 AO⊥BO. (1)求△AOB 的重心 G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;

(2)△AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

x2 2 8) 设 P 为椭圆 2 ? y ? 1(a ? 1) 短轴上的一个端点,Q 为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值. a

9) 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,长轴 A1, A2 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点为 M,

| MA1 |:| A1F1 |? 2 : 1 .
(1)求椭圆的方程;

(2)若点 P 为 l 上的动点,求 ?F1PF2 的最大值.

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3

10) 已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 ,记动点 P 的轨迹为 W. (1)求 W 的方程;

(2)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值.

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