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2015-2016学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 22《用向量方法求空间中的角课时作业 新人教A版选修2-1


课时作业(二十二)

用向量方法求空间中的角

A 组 基础巩固 1.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,BC1 与直线 AB1 夹 角的余弦值为( )

A. C.

5 5 2 5 5

B.

5 3

3 D. 5

→ → 解析:设 CB=1,则 A(2,0,0),B1(0,2,1),C1(0,2,0),B(0,0,1),BC1=(0,2,-1),AB1 =(-2,2,1). → → → → BC1·AB1 3 5 cos〈BC1,AB1〉= = = . → → 5×3 5 |BC1||AB1| 答案:A 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 C1C 的中点,则直线 BE 与平面 B1BD 所成的角的正弦 值为( ) 10 10 A.- B. 5 5 C.- 15 5 D. 15 5

解析: 建立如图空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 2, 则 D(0,0,0), B(2,2,0), B1(2,2,2), E(0,2,1). → → → ∴BD=(-2,-2,0),BB1=(0,0,2),BE=(-2,0,1). 设平面 B1BD 的法向量为 n=(x,y,z). → → ∵n⊥BD,n⊥BB1, ?-2x-2y=0, ?x=-y, ? ? ∴? ∴? ?2z=0. ?z=0. ? ? 令 y=1,则 n=(-1,1,0). → → n·BE 10 ∴cos〈n,BE〉= = , → 5 |n||BE| 设直线 BE 与平面 B1BD 所成角为 θ ,

-1-

→ 10 则 sinθ =|cos〈n,BE〉|= . 5 答案:B 3. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=2, BC=2, DD1=3, 则 AC 与 BD1 所成角的余弦值为( 3 70 A.0 B. 70 3 70 C.- 70 D. 70 70

)

解析:建立如图坐标系,则 D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0), → → ∴BD1=(-2,-2,3),AC=(-2,2,0). → → → → BD1·AC ∴cos〈BD1,AC〉= =0. → → |BD1||AC| → → ∴〈BD1,AC〉=90°,其余弦值为 0. 答案:A 4.正方形 ABCD 所在平面外有一点 P,PA⊥平面 ABCD.若 PA=AB,则平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

解析:建系如图,设 AB=1,则 A(0,0,0),B(0,1,0),P(0,0,1),D(1,0,0),C(1,1,0). 平面 PAB 的法向量为 n1=(1,0,0).设平面 PCD 的法向量 n2=(x,y,z), → ?n ·PD =0, 则? → ?n ·CD=0,
2 2

得?

? ?x-z=0, ?y=0. ?

令 x=1,则 z=1. ∴n2=(1,0,1),cos〈n1,n2〉= 1 2 = 2 . 2 2 .∴此角的大小为 45°. 2

∴平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的余弦值为

答案:B 5.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,B1C 和 C1D 与底面所成角分别为 60°和 45°,则异面直线
-2-

B1C 和 C1D 所成角的余弦值为(
A. C. 6 4 B. 10 4

)

3 3 D. 2 4 解析:建立如图的空间直角坐标系,

可知∠CB1C1=60°,∠DC1D1=45°, 设 B1C1=1,CC1= 3=DD1. ∴C1D1= 3,则有 B1( 3,0,0),C( 3,1, 3),C1( 3,1,0),D(0,1, 3). → → ∴B1C=(0,1, 3),C1D=(- 3,0, 3). → → → → B1C·C1D 3 6 ∴cos〈B1C,C1D〉= = = . → → 4 2 6 |B1C||C1D| 答案:A 6.已知直角△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,D 为 AB 的中点,沿中线将△ACD 折起使得 AB= 13,则二面角 A-CD-B 的大小为( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 解析:取 CD 中点 E,在平面 BCD 内过 B 点作 BF⊥CD,交 CD 延长线于 F.

据题意知 AE⊥CD,AE=BF= 3,EF=2,AB= 13. → → 且〈EA,FB〉为二面角的平面角, → → → → 2 2 由AB =(AE+EF+FB) 得 → → 13=3+3+4+2×3×cos〈AE,FB〉 , → → 1 ∴cos〈EA,FB〉=- . 2 → → ∴〈EA,FB〉=120°. 即所求的二面角为 120°. 答案:C 7.直线 l 的方向向量 a=(-2,3,2),平面 α 的一个法向量 n=(4,0,1),则直线 l 与平 面 α 所成角的正弦值为__________. 解析:设直线 l 与平面 α 所成的角是 θ ,a,n 所成的角为 β ,
-3-

sinθ =|cosβ |=? 6 答案: 17

??-2,3,2?·?4,0,1?? 6 ?=17. 17× 17 ? ?

→ → 8. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M, N 分别是棱 AA1 和 BB1 的中点, 则 sin 〈CM, D1N〉 =________.

解析:建立如图坐标系,设正方体棱长为 2. → → 可知CM=(2,-2,1),D1N=(2,2,-1). → → 1 cos〈CM,D1N〉=- . 9 → → 4 5 ∴sin〈CM,D1N〉= . 9 4 5 答案: 9 9.如图正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是平面 A1B1C1D1 的中心,则 BO 与平面 ABC1D1 所成角的正弦值为________.

解析:建立坐标系如图, ?1 1 ? 则 B(1,1,0),O? , ,1?, ?2 2 ? → DA1=(1,0,1)是平面 ABC1D1 的一个法向量. → 1 1 ? ? 又OB=? , ,-1?, ?2 2 ? 1 → → 2 |OB·DA1| 3 ∴BO 与平面 ABC1D1 所成角的正弦值为 = = . → → 6 6 |OB|·|DA1| 2 × 2
-4-

答案:

3 6

10. 如图, 在空间直角坐标系中, BC=2, 原点 O 是 BC 的中点, 点 A 的坐标是? 点 D 在平面 yOz 上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.

? 3 1 ? , ,0?, ?2 2 ?

→ (1)求向量OD的坐标; → → (2)设向量AD和BC的夹角为 θ ,求 cosθ 的值.

解:(1)过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E, 在 Rt△BDC 中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得 BD=1,CD= 3, 3 ∴DE=CD·sin30°= . 2 1 1 OE=OB-BE=OB-BD·cos60°=1- = . 2 2 1 3? ? ∴D 点的坐标为?0,- , ?, 2 2? ? → 1 3? ? 即向量OD=?0,- , ?. 2 2? ? → → ? 3 1 ? → (2)依题意,OA=? , ,0?,OB=(0,-1,0),OC=(0,1,0), ?2 2 ? → → → 3 3? → ? 所以AD=OD-OA=?- ,-1, ?,BC=(0,2,0). 2? ? 2 → → AD·BC 10 则 cosθ = =- . → → 5 |AD||BC| B 组 能力提升 11.如图所示,已知点 P 为菱形 ABCD 所在平面外一点,且 PA⊥平面 ABCD,PA=AD=AC, 点 F 为 PC 中点,则二面角 C-BF-D 的正切值为( )

A. C.

3 6 3 3

B.

3 4

2 3 D. 3
-5-

解析:设 AC∩BD=O,连接 OF, 以 O 为原点,OB,OC,OF 所在直线分别为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系,

设 PA=AD=AC=1,则 BD= 3, 1? ? 1 ? ? 3 ? 3 ? ? ? ∴B? ,0,0?,F?0,0, ?,C?0, ,0?,D?- ,0,0?. 2? ? 2 ? ? 2 ?2 ? ? ? → → ? 1 ? ∴OC=?0, ,0?,且OC为平面 BDF 的一个法向量. ? 2 ? → 3 1 ? → ? 3 1? ? 由BC=?- , ,0?,FB=? ,0,- ?可得平面 BCF 的一个法向量 n=(1, 3, 3). 2? ? 2 2 ? ?2 → → 21 2 7 ∴cos〈n,OC〉= ,sin〈n,OC〉= . 7 7 → 2 3 ∴tan〈n,OC〉= . 3 答案:D 12.如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的中点,则异面直 线 AB1 和 BM 所成的角的大小是________.

解析:不妨设棱长为 2, → → → → → 1→ 则AB1=BB1-BA,BM=BC+ BB1, 2 → → ?→ 1 → ? ? BB 1-BA?·?BC+ BB1? → → 2 ? ? cos〈AB1,BM〉= 2 2· 5 0-2+2+0 = =0. 2 2· 5 故 AB1 与 BM 的夹角为 90°. 答案:90° 13.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M、N 分别是 A1B、B1C1 的中 点.

-6-

(1)求证:MN⊥平面 A1BC; (2)求直线 BC1 和平面 A1BC 所成角的大小. 解析:(1)证明:根据题意 CA、CB、CC1 两两垂直,以 C 为原点,CA、CB、CC1 所在直线分 别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设 AC=BC=CC1=a, 则 B(0,a,0),B1(0,a,a),C(0,0,0),

?a a a? ? a ? C1(0,0,a),A1(a,0,a),M? , , ?,N?0, ,a?. ?2 2 2? ?
2

?





所以BA1=(a,-a,a),CA1=(a,0,a), → a? ? a MN=?- ,0, ?. 2? ? 2 → → → → 于是MN·BA1=0,MN·CA1=0, 即 MN⊥BA1,MN⊥CA1. 又 BA1∩CA1=A1,故 MN⊥平面 A1BC. (2)因为 MN⊥平面 A1BC, → 则MN为平面 A1BC 的法向量, → 又BC1=(0,-a,a),

a → → → 2 BC1·MN 1 则 cos〈BC1,MN〉= = = , → → 2 2 2a· a |BC1||MN| 2 → → 所以〈BC1,MN〉=60°. 故直线 BC1 和平面 A1BC 所成的角为 30°. 14.如图,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M 为 EC 的中点, 1 AF=AB=BC=FE= AD. 2


2

(1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (2)证明平面 AMD⊥平面 CDE; (3)求二面角 A-CD-E 的余弦值. 解析:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点.

-7-

1? ?1 设 AB=1,依题意得 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),M? ,1, ?. 2? ?2 → → (1)BF=(-1,0,1),DE=(0,-1,1), → → → → BF·DE 0+0+1 1 于是 cos〈BF,DE〉= = = . → → 2× 2 2 |BF||DE| 所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60°. → 1 → → → → → 1? → ? (2)证明:由AM=? ,1, ?,CE=(-1,0,1),AD=(0,2,0),可得CE·AM=0,CE·AD= 2? ?2 0. 因此,CE⊥AM,CE⊥AD.

15. 如图所示, 已知在四面体 ABCD 中, O 为 BD 的中点, CA=CB=CD=BD=2, AB=AD= 2. (1)求证:AO⊥平面 BCD; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值. 解:(1)证明:因为 BO=DO,AB=AD,所以 AO⊥BD. 因为 BO=DO,BC=CD,所以 CO⊥BD. 2 2 2 在△AOC 中,由已知可得 AO=1,CO= 3,而 AC=2,所以 AO +CO =AC , 所以∠AOC=90°,即 AO⊥OC. 因为 BD∩OC=O,所以 AO⊥平面 BCD.

(2)以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, → → 则 B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0, 3,0),A(0,0,1),BA=(-1,0,1),CD=(-1,- 3, 0), → → → → BA·CD 2 2 所以 cos〈BA,CD〉= = ,所以异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 . → → 4 4 |BA||CD|

-8-


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